Дедуктивные размышления в начальном курсе математики

Анализируя практику мышления, можно обнаружить самые разнообразные виды умозаключений.

Они различаются:

1. числом посылок - одна, две и более;
2. типом суждений - простое или сложное;
3. видом суждений - атрибутивное или реляционное;
4. степенью вероятности вывода - достоверный или вероятный.

Всякое умозаключение  вообще представляет собой логическое следование одних знаний из других, в зависимости от характера этого  следования, от направленности хода мысли  в умозаключении. Можно выделить три коренных, фундаментальных типа, которые и будут положены в основу последующего анализа выводного знания. Это дедукция, индукция и традукция.

Наряду с делением умозаключений по строгости вывода огромное значение имеет их классификация  по направленности логического следования, то есть по характеру связи между знанием различной степени общности, выраженному в посылках и заключении. С этой точки зрения различают три вида умозаключений:

1. дедуктивные (от общего знания к частному);
2. индуктивные (от частного знания к общему);
3. умозаключения по аналогии (от частного знания к частному).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 3. Структура дедуктивных умозаключений.

Умозаключение — это  способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося.

Этот способ представляет собой переход от некоторых высказываний, фиксирующих наличие некоторых ситуаций в действительности, к новому высказыванию и соответственно к знанию о наличии ситуации, которую описывает это высказывание.

Переход от некоторых  высказываний (посылок умозаключения) к высказыванию (заключению) в умозаключении  может совершаться на основе интуитивного усмотрения какой-то связи - такие умозаключения называют содержательными; или путем логического выведения одного высказывания из других - это умозаключения формально-логического характера. В первом случае оно представляет собой, по существу, психический акт. Во втором случае его можно рассматривать как определенную логическую операцию. Последняя и является предметом изучения логики.⁵

В содержательных умозаключениях мы оперируем, по существу, не с самими высказываниями, а прослеживаем связь между ситуациями действительности, которые эти высказывания представляют. Это и отличает содержательные умозаключения от умозаключений как операций логического характера, называемых иногда формализованными умозаключениями. В этих умозаключениях операции совершаются именно над высказываниями самими по себе, причем по правилам, которые вообще не зависят от конкретного содержания высказываний. Для содержательных умозаключений нет никаких определенных критериев этого рода и всегда возможен спор - рассуждает ли человек правильно или нет. Именно формализованные умозаключения являются предметом изучения логики. И именно их мы имеем в виду в дальнейшем.

В умозаключении, как  мы уже говорили, различают посылки - высказывания, представляющие исходное знание, и заключение - высказывание, к которому мы приходим в результате умозаключения.

В естественном языке  существуют слова и словосочетания, указывающие как на заключение («значит», «следовательно», «отсюда видно», «поэтому»), так и на посылки умозаключения («так как», «поскольку», «ведь»). Представляя суждение в некоторой стандартной форме, в логике принято указывать вначале посылки, а потом заключение, хотя в естественном языке их порядок может быть произвольным: вначале заключение - потом посылки; заключение может находиться «между посылками».

Понятие умозаключения  как логической операции тесно связано  с понятием логического следования. Учитывая эту связь, мы различаем  правильные и неправильные умозаключения.

Умозаключение, представляющее собой переход от посылок к заключению, является правильным, если между посылками и заключением имеется отношение логического следования. В противном случае - если между посылками и заключением нет такого отношения - умозаключение неправильно.

В делении умозаключений  на правильные и неправильные мы должны различать отношение логического следования двух видов – дедуктивное и индуктивное. Первое гарантирует истинность заключения при истинности посылок. Второе - при истинности посылок - обеспечивает лишь некоторую степень правдоподобия заключения (некоторую вероятность его истинности). Соответственно этому умозаключения делятся на дедуктивные и индуктивные. Первые иначе еще называют демонстративными (достоверными), а вторые - правдоподобными (проблематичными).⁶

Мы можем заключить, что учителю, как специалисту, необходимо знать и уметь строить умозаключения. Именно от качества знания этого вопроса зависит реализация поставленных нами целей и задач. Но для того, чтобы более подробно рассмотреть этот вопрос на практике, нам надо увидеть роль и место, занимаемое дедуктивными умозаключениями в курсе математики начальных классов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 4. Дедуктивные рассуждения  в курсе математики начальных  классов.

Особенность дедуктивных  рассуждений в начальных классах  заключается, прежде всего, в их тесной связи с индуктивными. Собственно поэтому и создается впечатление, что дедуктивные рассуждения как таковые отсутствуют в курсе математики начальных классов. Здесь дело в том, что для сознательного проведения дедуктивных умозаключений при решении задач необходима большая подготовительная работа, направленная на сознательное усвоение общего вывода, свойства, закономерности. Этого требуют особенности мышления младшего школьника, которое отличается конкретностью. Но сознательное усвоение общего вывода позволяет пользоваться в дальнейшем дедуктивным рассуждением. Для того чтобы учащиеся более осознанно могли пользоваться дедуктивными умозаключениями при решении задач, необходимо проводить пропедевтику по исследуемой теме. Начинать надо с самого элементарного и далее продвигаться к более сложным заданиям, таким, как решение нестандартных математических задач.

Например: приступая к  составлению таблиц, необходимо сосредоточить  внимание учащихся на общем выводе. Уже в самом начале обучения мы проводим пропедевтику использования дедуктивных умозаключений. Вот образец рассуждений:

1. Если к числу прибавим один, то получим следующее число;
2. К одному прибавим один, получим следующее число два;
3. К двум прибавим один, получим следующее число три.

При решении примеров на порядок действий рассуждения учащихся носят дедуктивный характер. В качестве общей посылки выступает правило выполнения порядка действий в выражении, в качестве частной – конкретное числовое выражение, при нахождении значения которого учащиеся руководствуются правилом порядка действий. Данные знания понадобятся нам в дальнейшем при решении задач и различными формами работы над ней.

Для того чтобы заинтересовать детей математической логикой мы должны разработать интересные и  увлекательные задания, которые дети с удовольствием выполняли бы и которые послужили бы пропедевтикой для решения нестандартных задач. Приведем некоторые задания для примера:

«Ответьте, правильно  ли данное рассуждение (умозаключение), Если нет, то почему?»

1. Пианино – это музыкальный инструмент. У Вовы дома музыкальный инструмент. Значит, у него дома пианино.
2. Классные комнаты надо проветривать. Квартира – это не классная комната. Значит, ее не надо проветривать.
3. Умножение – это сложение одинаковых слагаемых. В примере 100+100+100+100 все слагаемые одинаковые. Значит сумма 100+100+100+100 – это произведение 100*4.

Можно использовать также  задания на продолжение рассуждений, например:   Закончи следующие рассуждения:

1. Домашние животные полезны. Лошадь и осел – домашние животные …
2. Все деревья растения. Тополь и березы растения …
3. Если одно число при счете называют раньше, чем другое, то это число меньше. При счете 3 называют раньше 5 …⁷

Описанная выше работа ни в коем случае не превышает требование программы по математике для начальных классов, так как, уделяя значительное внимание формированию у учащихся осознанных и прочных, доведенных до автоматизма навыков вычисления, программа предполагает вместе с тем и доступное детям обобщение учебного материала, понимание общих принципов и законов, лежащих в основе изучаемых математических фактов, и осознание тех связей, которые существуют между рассматриваемыми явлениями. А данную работу нельзя проводить, не формируя у детей умения рассуждать.

Логико-психологические  проблемы начальной математики как учебного предмета, в последнее время у нас и за рубежом часто обсуждаются. Вопрос стоит о недостатках традиционных программ преподавания математики в школе. Эти программы не обеспечивают должного развития математического мышления учащихся, не обладают преемственностью и цельностью по отношению к начальной и средней школ.

В недрах самой математики сейчас существенно переоценивается  понятие о ее предмете, об исходных и всеобщих его признаках (работы Н.Бурбаки). Это обстоятельство тесно  связано с определением природы самой математической абстракции, способов ее выведения, то есть с логической стороной проблемы, которую нельзя не учитывать при создании учебного предмета.

Развитие мышления, совершенствование  умственных операций, способности рассуждать прямым образом зависят от методов обучения. Умение мыслить логически, выполнять умозаключения без наглядной опоры, сопоставлять суждения по определенным правилам - необходимое условие успешного усвоения учебного материала. Широкие возможности в этом плане дает решение логических задач.

На первый взгляд понятия "отношение", "структура", "законы композиции", имеющие сложные  математические определения, не могут  быть связаны с формированием  математических представлений у  маленьких детей.

Прежде всего, следует иметь в виду, что от момента рождения до 7 - 10 лет у ребенка возникают и формируются сложнейшие системы общих представлений об окружающем мире и закладывается фундамент содержательно-предметного мышления.

В последние десятилетия  особенно интенсивно вопросы формирования интеллекта детей и возникновения у них общих представлений о действительности, времени и пространстве изучались известным швейцарским психологом Жаном Пиаже и его сотрудниками. Некоторые его работы имеют прямое отношение к проблемам развития математического мышления ребенка.⁸

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 5. Роль математики  в развитии логического мышления  детей.

Математика способствует развитию творческого мышления, заставляя  искать решения нестандартных задач, размышлять над парадоксами, анализировать содержание условий теорем и суть их доказательств, изучать специфику работы творческой мысли выдающихся ученых. В математике логическая строгость и стройность умозаключений призвана воспитывать общую логическую культуру мышления;  и основным моментом воспитательной функции математического образования считается развитие у учащихся способностей к полноценной аргументации. В обыденной жизни и в ряде естественнонаучных дискуссий аргументацию почти не удается сделать исчерпывающей, в математике же дело обстоит иначе: «Здесь аргументация, не обладающая характером полной, абсолютной исчерпанности, оставляющая хотя бы малейшую возможность обоснованного возражения, беспощадно признается ошибочной и отбрасывается как лишенная какой бы то ни было силы … Изучая математику, школьник впервые в своей жизни встречает столь высокую требовательность к полноценной аргументации».⁹ А. Я. Хинчин сформулировал некоторые конкретные требования, выполнение которых обеспечивает полноту аргументации. Среди них – борьба против незаконных обобщений и необоснованных аналогий, борьба за полноту дизъюнкций, за полноту и выдержанность классификаций.

Математический стиль  мышления, по характеристике А. Я. Хинчина. Определяется следующими особенностями:

1. Доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждений;
2. Лаконизм - сознательное стремление всегда находить кратчайший из ведущих к данной цели логический путь;
3. Четкое разбиение хода рассуждений;
4. Скрупулезная точность символики.

Указанные черты стиля  математического мышления школьников, позволяют развитию их интеллектуального  потенциала. На уроках математики учащиеся оперируют всеми формами мышления: понятиями, суждениями, умозаключениями.¹⁰

Никто не будет спорить  с тем, что каждый учитель должен развивать логическое мышление учащихся. Об этом говорится в методической литературе, в объяснительных записках к учебным программам. Однако, как  это делать, учитель не всегда знает. Нередко это приводит к тому, что развитие логического мышления в значительной мере идет стихийно, поэтому большинство учащихся, даже старшеклассников, не овладевает начальными приемами логического мышления (анализ, сравнение, синтез, абстрагирование).

Роль математики в  развитии логического мышления исключительно велика. Причина столь исключительной роли математики в том, что это самая теоретическая наука из всех изучаемых в школе. В ней высокий уровень абстракции и в ней наиболее естественным способом изложения знаний является способ восхождения от абстрактного к конкретному. Как показывает опыт, в младшем школьном возрасте одним из эффективных способов развития мышления является решение школьниками нестандартных логических задач.

Кроме того, решение нестандартных  логических задач способно привить интерес ребенка к изучению  математики. В этом отношении весьма характерен следующий пример. Крупнейший математик современности, создатель московской математической школы, академик Николай Николаевич Лузин, будучи гимназистом, получал по математике сплошные двойки. Учитель прямо сказал родителям Н.Н. Лузина, что их сын в математике безнадежен, что он туп и что вряд ли он сможет учиться в гимназии. Родители наняли репетитора, с помощью которого мальчик еле-еле перешел в следующий класс.

Однако репетитор этот оказался человеком умным и проницательным. Он заметил невероятную вещь: мальчик  не умел решать простые, примитивные  задачи, но у него иногда вдруг получались задачи нестандартные, гораздо более  сложные и трудные. Он воспользовался этим и сумел заинтересовать математикой этого, казалось бы, бездарного мальчика. Благодаря такому творческому подходу педагога из мальчика впоследствии вышел ученый с мировым именем, не только много сделавший для математики, но и создавший крупнейшую советскую математическую школу.