Двучленные уравнения 3-й степени с действительными коэффициентами

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 04 Июня 2013 в 06:24, реферат

Описание работы

Так называются уравнения вида: ах3 = b,
где а и b — произвольные действительные числа, отличные от нуля.
Решение таких уравнений мы рассмотрим на некоторых частных примерах.

Файлы: 1 файл

реферат матем-ка.docx

— 33.82 Кб (Скачать файл)

Двучленные уравнения 3-й степени  с действительными коэффициентами

Так называются уравнения вида: ах3 = b,

где а  и b — произвольные действительные числа, отличные от нуля.

Решение таких уравнений мы рассмотрим на некоторых частных примерах.

Пример   1.   Решить уравнение х3 = 8.

Перепишем данное уравнение в виде х3 — 8 = 0. Используя формулу для разности кубов, получим: (х — 2) (х2 + 2х + 4) = 0. Если х — 2 = 0, то  х = 2; если же х2 + 2х + 4 = 0, то  х = — 1 ± √1—4 = — 1 ± √—3 = > — 1 ± √3 i. Таким образом, данное уравнение имеет три корня:

X1  = 2;    x2 = — 1 — √3 i  ;   x3 = — 1 + √3 i.

Действительным  среди них является лишь один корень х1 = 2

 

Пример 2. Решить уравнение — 1/2  х3 = 4.

Умножив обе части этого уравнения на —2, мы придем к уравнению х3 = —8. Это уравнение принципиально не отличается от ранее рассмотренного уравнения х3 = 8. Поэтому мы приводим его решение без объяснений:

Х3 + 8 = 0,

(х + 2)(х2 — 2х + 4) = 0, 

X1 = — 2; x2 = 1 — √3 i ;  x3 = 1 + √3 i.

Действительным  среди них является лишь один корень х1 = — 2

 

Пример 3.  Решить уравнение 1/3 х3  = — 2.

Умножив обе части этого уравнения  на 3, получим х3 = — 6, откуда х3 + 6 = 0. Рассматривая число 6 как куб числа 3√6, разложим х3 + 6 на множители:

(х3 + 6) = (х + 3√6) [х2 — 3√6 х + (3√6)2].

Следовательно, либо х + 3√6 = 0, либо х2 — 3√6 х + (3√6)2 = 0. Первое из этих  уравнений имеет корень x1 = — 3√6.  Второе уравнение дает:

 

 

Двучленные уравнения 4-й степени  с действительными коэффициентами

Так называются уравнения вида: aх4 = b,

где а  и b — произвольные действительные числа, отличные от нуля.

Решение таких уравнений мы тоже рассмотрим на некоторых частных примерах.

 

Пример   1.   Решить уравнение х4 = 16.

Перепишем данное уравнение в  виде:  x4 — 16 = 0.

Левую часть  этого уравнения разложим на множители:

x4 — 16 = (х2— 4) (х2+ 4) = (х + 2) (х — 2) (х2 + 4).

Отсюда  следует, что корнями уравнения х4= 16 будут:

x1 = —2,   x2 = 2,   x3 = 2i,   x4 = —2i.

Действительными среди этих корней являются лишь два корня: x1 = —2   и x2= 2.

 

Пример    2.    Решить  уравнение х4 = —16.

В множестве действительных чисел это уравнение не имеет корней, так как четная степень любого действительного числа неотрицательна. В множестве комплексных чисел это уравнение, как мы сейчас покажем, имеет 4 различных корня.

Перепишем данное уравнение  в  виде: х4 + 16 = 0.

Выражение х4 + 16 можно рассматривать как сумму квадратов чисел х2 и 4. Дополнив эту сумму до точного квадрата, получим:

x4 + l6 =  х4+16 + 2 • 4 • х2— 2 • 4 • х2  = (х2+4)2 — 8х2.

Теперь  используем формулу для разности квадратов двух чисел:

2+4)2 — 8х2= (х2 + 4 + √8х2  ) (х2  +4 — √8х2   ) = (х2 + 2√2 х + 4) (х2 — 2√2 х + 4).

Итак, х4 + 16 = (х2 + 2√2 х + 4) (х2 — 2√2 х + 4).

Поэтому уравнение х4 = —16 можно представить в виде:

2 + 2√2 х + 4) (х2 — 2√2 х + 4) = 0.

Если  х2 + 2√2 х + 4  = 0, то  x1,2 = —√2 ± √2—4  ,    или

x1 = —√2 — √2 i,

x2 = —√2  + √2 i

если  же  х2 — 2√2 х + 4 = 0, то x3,4 = √2 ± √2—4 ,  или

x3 = √2 — √2 i,

x4 = √2  + √2 i

Мы получили четыре корня уравнения х4 = —16. Среди них нет ни одного действительного корня.

 

Пример 3. Решить уравнение 3х4 = —6. Принципиально это уравнение не отличается от предыдущего. Поэтому мы приводим его решение без объяснений:

Таким образом, данное уравнение имеет четыре различных  корня. Среди них нет ни одного действительного корня.

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

«Алгебра  и элементарные функции», Кочетков Е.С.; Кочеткова Е.С. 1970

 


Информация о работе Двучленные уравнения 3-й степени с действительными коэффициентами