Философия математики, её возникновение и этапы эволюции

Введение

У философии и  математики немало сопряженных точек. Их определенно больше, чем во взаимных отношениях философии с другими  науками.

Благодаря отвлеченности  математического объекта от любых  природных, вещественных свойств, образуются абстракции высоких порядков, несущие  глубокие обобщения о реальности. Ибо математика, по признанию многих ее творцов, есть искусство давать одно и то же имя разным вещам. И чем  дальше отстоят вещи, тем эффективнее  математическое обобщение. Так оно  достигает предельных значений, оказываясь объектом столь же математической, столько философской компетенции: количественные и пространственные структуры, бесконечность, вероятность.

Философия ставит вопрос, что  есть метод, при этом, как заметили достаточно давно, ставя этот вопрос, или удивляясь, философ удивляется специфическим, философским образом. Его специфика в том, что философ  удивляется не специфическим редким предметам, способность философа в  том, что он удивляется привычным  вещам, которые мы постоянно знаем, к которым привыкли. Есть некий  набор мыслей. Мы немного по-другому  воспринимаем. Мы не приобрели опыт, но начали воспринимать иначе.

Теперь о математике. Философия  смотрит на мир вокруг и задаёт наивные вещи, вопросы о вещах, которыми мы умеем пользоваться. Математика вызывала удивление, причём начала это  делать почти сразу, как появилась. Стоит отметить, что математика появилась  одновременно c философией, во времена Греции.

Математика Древней  Греции характеризуется прежде всего  тесной связью с философией, причем эта связь разностороння и  простирается на все виды культуры. В этот период математика как наука  закладывала основные части своего фундамента: аксиоматику геометрии, дедуктивный вывод, понятие числа  и т.д. На развитие математики, конечно, в первую очередь влияли авторитет  и мировоззрение основателя школы. Однако в этих школах все же больше было идей, нежели предрассудков. Кроме  того, не существовало никакой другой более существенной формы развития науки кроме философских школ.

В эпоху средневековья  в математике не произошло существенных переворотов. Философия математики не вышла за рамки пифагореизма. Лишь в XIV-XV веках математика стала  рассматриваться как вторичное  знание, зависящее от внешних реальностей. В философии важными результатами естественнонаучного направления  были методы экспериментально-математического  исследования природы. В этот период отрицательное воздействие на прогресс математики и философии оказывают  как пренебрежение философским  анализом математического познания, так и отождествление философских  проблем математики с основоположениями  философской системы. Переход математики на новый этап исторического развития требовал переосмысления ее мировоззренческой  и методологической основ, разработки нового комплекса философских проблем  математики.

В эпоху просвещения  главным направлением математической деятельности в первые десятилетия XVIII века было овладение приемами дифференциального  и интегрального исчислений и  широкое использование их для  решения геометрических, механических, астрономических и оптических задач. Со стороны математиков наблюдается  падение интереса к философии. Изменилось отношение и философов к математике. Ничего существенно нового в разработку философских проблем математики внесено не было. Утрачивается единодушие в высокой оценке значимости математики в познании.

В период бурного  развития политической мысли, в эпоху  политических и философских революций  в математике происходила бурная борьба между материалистическим и  идеалистическим направлениями. Эта  борьба принесла свои плоды: возникновение  дифференциального и интегрального  исчислений, открытие неевклидовой геометрии, разрушение догматических воззрений  на природу математики. Такая эволюция математики стимулировала развитие техники, убеждая, кстати, в востребованности самой математики.

Во второй половине XIX столетия математика все настоятельнее  требовала таких ученых, которые  сочетали бы в себе теоретика, практика и организатора. Философскую основу продуктивной деятельности великих  математиков XIX века составляли материалистические принципы, которые не редко сочетались с элементами диалектики. Роль материализма состояла не в слепой победе над  идеализмом, а в очищении познания от догматических принципов, что  является непосредственным двигателем прогресса.

Возникновение философии  математики

Вопрос о взаимосвязи математики и философии впервые был задан  довольно давно. Аристотель, Бэкон, Леонардо да Винчи - многие великие умы человечества занимались этим вопросом и достигали выдающихся результатов. Это не удивительно: ведь основу взаимодействия философии с какой-либо из наук составляет потребность использования аппарата философии для проведения исследований в данной области; математика же, несомненно, более всего среди точных наук поддается философскому анализу (в силу своей абстрактности). Наряду с этим прогрессирующая математизация науки оказывает активное воздействие на философское мышление.

Совместный путь математики и философии  начался в Древней Греции около VI века до н. э. Не стесненное рамками  деспотизма, греческое общество той  поры было подобно питательному раствору, на котором выросло многое, что  дошло до нас в сильно измененном временем виде, однако сохранив основную, заложенную греками идею: театр, поэзия, драматургия, математика, философия. В  этой работе я попытался проследить за процессом формирования, развития и взаимного влияния математики и философии Древней Греции, а  также привести различные точки  зрения на движущие силы и результаты этого процесса. Известно, что греческая  цивилизация на начальном этапе  своего развития отталкивалось от цивилизации  древнего Востока. Каково же было математическое наследство, полученное греками?

Из дошедших до нас математических документов можно заключить, что  в Древнем Египте были сильно отрасли  математики, связанные с решением экономических задач. Папирус Райнда (ок. 2000 г. до н. э.) начинался с обещания научить «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию  их сущностей, познанию всех тайн». Фактически излагается искусство вычисления с  целыми числами и дробями, в которое  посвящались государственные чиновники  для того, чтобы уметь решать широкий  круг практических задач, таких, как  распределение заработной платы  между известным числом рабочих, вычисление количества зерна для  приготовления такого-то количества хлеба, вычисление поверхностей и объемов  и т.д. Дальше уравнений первой степени  и простейших квадратных уравнений  египтяне, по-видимому, не пошли. Все  содержание известной нам египетской математики убедительно свидетельствует, что математические знания египтян  предназначались для удовлетворения конкретных потребностей материального  производства и не могли сколько-нибудь серьезно быть связанными с философией.

Математика Вавилона, как и египетская, была вызвана к жизни потребностями  производственной деятельности, поскольку  решались задачи, связанные с нуждами  орошения, строительства, хозяйственного учета, отношениями собственности, исчислением времени. Сохранившиеся  документы показывают, что, основываясь  на 60-ричной системе счисления, вавилоняне могли выполнять четыре арифметических действия, имелись таблицы квадратных корней, кубов и кубических корней, сумм квадратов и кубов, степеней данного числа, были известны правила  суммирования прогрессий. Замечательные  результаты были получены в области  числовой алгебры. Хотя вавилоняне и  не знали алгебраической символики, но решение задач проводилось  по плану, задачи сводились к единому  «нормальному» виду и затем решались по общим правилам, причем истолкование преобразований «уравнения» не связывалось  с конкретной природой исходных данных. Встречались задачи, сводящиеся к  решению уравнений третьей степени  и особых видов уравнений четвертой, пятой и шестой степени.

Если же сравнивать математические науки Египта и Вавилона по способу  мышления, то нетрудно будет установить их общность по таким характеристикам, как авторитарность, некритичность, следование за традицией, крайне медленная  эволюция знаний. Эти же черты обнаруживаются и в философии, мифологии, религии  Востока. Как писал по этому поводу Э. Кольман, «в этом месте, где воля деспота  считалась законом, не было места  для мышления, доискивающегося до причин и обоснований явлений, ни тем более для свободного обсуждения».

Философия математики на различных этапах исторического развития

Греческая математика и её философия

Философия впервые  в истории человечества возникла в странах Древнего Востока - Египте, Вавилоне, Индии, Китае. Здесь же впервые  зарождаются и системы математических знаний. Последние носили преимущественно  характер эмпирических сведений, полученных в процессе производственной деятельности и были направлены на решение конкретных практических задач. Исходные направления  философской мысли в ряде случаев  соприкасались с элементами математического  познания, но эта связь не выступала  в такой отчётливой форме, не оказывала  заметного стимулирующего воздействия  на последующее развитие как философии  так и математики по сравнению  с тем, что мы имеем в науке  Древней Греции. Это может служить  некоторым оправданием тому, чтобы, опуская длительную историю формирования философских и математических знаний в странах Востока, непосредственно  приступить к исследованию поставленной проблемы в древнегреческой науке.

Совместный путь математики и философии начался  в Древней Греции около VI века до н.э. Не стеснённое рамками деспотизма, греческое общество той поры было подобно питательному раствору, на котором выросло многое, что дошло  до нас в сильно измененном временем виде, однако сохранив основную, заложенную греками идею: театр, поэзия, драматургия, математика, философия.

Анализ древнегреческой  математики и философии следует  начать с милетской школы, заложившей основы математики как доказательной  науки.

Милетская школа - одна из первых древнегреческих математических школ, оказавшая существенное влияние  на развитие философских представлений  того времени. Она существовала в  Ионии в конце V - IV вв. до н.э. Основными  деятелями её являлись Фалес (около 624-547 гг. до н. э), Анаксимандр (около 610-546 гг. до н. э) и Анаксимен (около 585-525 гг. до н. э).

Наиболее полные сведения имеются о математической деятельности Фалеса, об Анаксимандре известно только то, что он занимался  геометрией (составил первый "очерк  геометрии"), конкретных указаний о  математической деятельности Анаксимена не сохранилось.

Громадный сдвиг, осуществлённый в греческой математике, заключается  в идее доказательства или дедуктивного вывода. Доказательство первых геометрических теорем приписывается выдающемуся  греческому философу Фалесу. Согласно Проклу, Фалес впервые доказал, что  вертикальные углы равны, что углы при  основании равнобедренного треугольника равны и что диаметр делит  круг пополам. Если верно, что дедуктивный  метод в математику был внесён Фалесом, то надо констатировать, что  математика в Греции, начиная с  этого момента, развивалась чрезвычайно  быстрыми темпами, и прежде всего  в плане логической систематизации.

Появление потребности  доказательства в греческой математике получает удовлетворительное объяснение, если учесть взаимодействия мировоззрения  на развитие математики. В этом отношении  греки существенно отличаются от своих предшественников. В их философских  и математических исследованиях  проявляются вера в силу человеческого  разума, критического отношения к  достижениям предшественников, динамизм мышления, у греков влияние мировоззрения  превратилось из сдерживающего фактора математического познания в стимулирующий, в действенную силу прогресса математики.

В том, что обоснование  приняло именно форму доказательства, а не остановилось на эмпирической проверке, решающим является появление  новой, мировоззренческой функции  науки. Фалес и его последователи  воспринимают математические достижения предшественников, прежде всего для  удовлетворения технических потребностей, но наука для них - нечто большее, чем аппарат для решения производственных задач. Отдельные, наиболее абстрактные  элементы математики вплетаются в натурфилософскую систему, и здесь выполняют роль антипода мифологическим и религиозным  верованиям. Эмпирическая подтверждаемость для элементов философской системы  была недостаточной в силу общности их характера и скудности подтверждающих их факторов. Математические знания же к тому времени достигли такого уровня развития, что между отдельными положениями  можно было установить логические связи. Такая форма обоснований оказалась  объективно приемлемой для математических положений.

Появление математики как систематической науки оказало  в свою очередь громадное влияние  на философское мышление, которое  оказалось в некотором смысле подчиненным математике. "Математика появилась как знание совершенно особой природы, достоверность которого не вызывает сомнения, исходные посылки  которого ясны, а выводы совершенно непреложны ", - пишет Е.А. Беляев.

На примере милетской  школы можно лишь убедиться в  активном влиянии мировоззрения  на процесс математического познания только при радикальном изменении  социально-экономических условий  жизни общества. Однако остаются открытыми  вопросы о том влияет ли изменение  философской основы жизни общества на развитие математики, зависит ли математическое познание от изменения  идеологической направленности мировоззрения, имеет ли место обратное воздействие  математических знаний на философские  идеи. Можно попытаться ответить на поставленные вопросы, обратившись  к деятельности пифагорейской школы.