Изучение зависимости сопротивления от параметров проводника

Лабораторная  работа №5

«Изучение зависимости  сопротивления от параметров проводника»

 

Цель: Изучить зависимость  электрического сопротивления проводника от его сечения, длины и рода проводника.

Оборудование: Исследуемый  проводник, амперметр, вольтметр, омметр, источник постоянного тока.

 

Теоретический материал

1. Электропроводность металлов.

 

Классическая электронная  теория металлов представляет твердый проводник в виде системы, состоящей из узлов кристаллической ионной решетки, внутри которой находится электронный газ из коллективизированных (свободных) электронов. В свободное состояние от каждого атома металла переходит от одного до двух электронов. К электронному газу применялись представления и законы статистики обычных газов. При изучении хаотического (теплового) и направленного под действием силы электрического поля движения электронов был выведен закон Ома. При столкновениях электронов с узлами кристаллической решетки энергия, накопленная при ускорении электронов в электрическом поле, передается металлической основе проводчика, вследствие чего он нагревается. Рассмотрение этого вопроса привело к выводу закона Джоуля—Ленца. Таким образом, электронная теория металлов дала возможность аналитически описать и объяснить найденные ранее экспериментальным путем основные законы электропроводности и потерь электрической энергии в металлах. Оказалось возможным также объяснить и связь между электропроводностью и теплопроводностью металлов. Кроме того, некоторые опыты подтвердили гипотезу об электронном газе в металлах, а именно:

1. При длительном пропускании электрического тока через цепь, состоящую из одних металлических проводников, не наблюдается проникновения атомов одного металла в другой.

2. При нагреве металлов до высоких температур скорость теплового движения свободных электронов увеличивается, и наиболее быстрые из них могут вылетать из металла, преодолевая силы поверхностного потенциального барьера.

3. В момент неожиданной остановки быстро двигавшегося проводника происходит смещение электронного газа по закону инерции в направлении движения. Смещение электронов приводит к появлению разности потенциалов на концах заторможенного проводника, и стрелка подключаемого к ним измерительного прибора отклоняется по шкале.

4. Исследуя поведение металлических проводников в магнитном поле, установили, что вследствие искривления траектории электронов в металлической пластинке, помещенной в поперечное магнитное поле, появляется поперечная ЭДС и изменяется электрическое сопротивление проводника.

Однако выявились и  противоречия некоторых выводов  теории с опытными данными. Они состояли в расхождении температурной зависимости удельного сопротивления, наблюдаемой на опыте и вытекающей из положений теории; в несоответствии теоретически полученных значений теплоемкости металлов опытным данным. Наблюдаемая теплоемкость металлов меньше теоретической и такова, как будто электронный газ не поглощает теплоту при нагреве металлического проводника. Эти противоречия удалось преодолеть, рассматривая некоторые положения с позиций квантовой механики. В отличие от классической электронной теории в квантовой механике принимается, что электронный газ в металлах при обычных температурах находится в состоянии вырождения. В этом состоянии энергия электронного газа почти не зависит от температуры, т. е. тепловое движение почти не изменяет энергию электронов. Поэтому на нагрев электронного газа теплота не затрачивается, что и обнаруживается при измерении теплоемкости металлов. В состояние, аналогичное обычным газам, электронный газ приходит при температуре порядка тысяч Кельвинов. Представляя металл как систему, в которой положительные ионы скрепляются посредством свободно движущихся электронов, легко понять природу всех основных свойств металлов: пластичности, ковкости, хорошей теплопроводности и высокой электропроводности.

 

2. Свойства проводников.

К важнейшим параметрам, характеризующим свойства проводниковых материалов, относятся:

1. удельная проводимость g или обратная ей величина — удельное сопротивление r,
2. температурный коэффициент удельного сопротивления ТК_r или a_r,
3. коэффициент теплопроводности g_т,
4. контактная разность потенциалов и термоэлектродвижущая сила (термо-ЭДС),
5. работа выхода электронов из металла,
6. предел прочности при растяжении s_р и относительное удлинение перед разрывом Dl/l.

Удельная  проводимость и   удельное сопротивление  проводников. Связь плотности тока J (в амперах на квадратный метр) и напряженности электрического поля (в вольтах на метр) в проводнике дается известной формулой:

J=gE

(2-1)

 

(дифференциальная форма  закона Ома); здесь g (в сименсах на метр) параметр проводникового материала, называемый его удельной проводимостью: в соответствии с законом Ома у металлических проводников не зависит от напряженности электрического поля Е при изменении последней в весьма широких пределах. Величина r = 1/g, обратная удельной проводимости и называемая удельным сопротивлением, для имеющего сопротивление R проводника длиной l с постоянным поперечным сечением S вычисляется по формуле

r = RS/l

(2-2)

 

Удельное сопротивление  измеряется в ом-метрах. Для измерения r проводниковых материалов разрешается пользоваться внесистемной единицей Ом×мм²/м; очевидно, что проволока из материала длиной 1 м с поперечным сечением 1 мм² имеет сопротивление в омах, численно равно r материала в Ом×мм²/м.

Диапазон значений удельного  сопротивления r металлических проводников (при нормальной температуре) довольно узок: от 0,016 для серебра и до примерно 10 мкОм×м для железохромоалюминиевых сплавов, т.е. он занимает всего три порядка. Удельная проводимость металлических проводников согласно классической теории металлов может быть выражена следующим образом:

g = (e2n0l)/(2mvT)

(2-3)

 

где е — заряд электрона; n₀ — число свободных электронов в единице объема металла; l — средняя длина свободного пробега электрона между двумя соударениями с узлами решетки; т — масса электрона; v_T — средняя скорость теплового движения свободного электрона в металле.

Преобразование выражения (2-3) на основе положений квантовой механики приводит к формуле

g = K02/3l

(2-4)

 

где K — численный коэффициент;  остальные обозначения — прежние.

Для различных металлов скорости хаотического теплового движения электронов v_T (при определенной температуре) примерно одинаковы. Незначительно различаются также и концентрации свободных электронов п₀ (например, для меди и никеля это различие меньше 10 %). Поэтому значение удельной проводимости у (или удельного сопротивления r) в основном зависит от средней длины свободного пробега электронов в данном проводнике l, которая, в свою очередь, определяется структурой проводникового материала. Все чистые металлы с наиболее правильной кристаллической решеткой характеризуются наименьшими значениями удельного сопротивления; примеси, искажая решетку, приводят к увеличению r. К такому же выводу можно прийти, исходя из волновой природы электронов. Рассеяние электронных волн происходит на дефектах кристаллической решетки, которые соизмеримы с расстоянием около четверти длины электронной волны. Нарушения меньших размеров не вызывают заметного рассеяния волн. В металлическом проводнике, где длина волны электрона около 0,5 нм, микродефекты создают значительное рассеяние, уменьшающее подвижность электронов, и, следовательно, приводит к росту r материала.

 

Рис. 2-1. Зависимость удельного сопротивления r меди от температуры

 

Температурный коэффициент  удельного сопротивления металлов. Число носителей заряда (концентрация свободных электронов) в металлическом  проводнике при повышении температуры  практически остается неизменным. Однако вследствие усиления колебаний узлов  кристаллической решетки с ростом температуры появляется все больше и больше препятствий на пути направленного движения свободных электронов под действием электрического поля, т. е. уменьшается средняя длина свободного пробега электрона l. уменьшается подвижность электронов и, как следствие, уменьшается удельная проводимость металлов и возрастает удельное сопротивление (рис. 2-1). Иными словами, температурный коэффициент удельного сопротивления металлов, (кельвин в минус первой степени)

TKr =ar = (1/r) (dr/dT)

(2-5)

 

положителен. Согласно выводам  электронной теории металлов значения a_r., чистых металлов в твердом состоянии должны быть близки к температурному коэффициенту расширения идеальных газов, т.е. 1/273»0,0037 К^-1. При изменении температуры в узких диапазонах на практике допустима кусочно-линейная аппроксимация зависимости r (Т); в этом случае принимают, что

r2 = r1 [1+ar (T2 –T1)]

(2-6)

 

где r₁ , и r₂ — удельные сопротивления проводникового материала при температурах Т₁, и T₂, соответственно (при этом T₂ > Т₁);

a_r — так называемый средний температурный коэффициент удельного сопротивления данного материала в диапазоне температур от Т₁, до Т₂.

Изменение удельного сопротивления  металлов при плавлении. При переходе из твердого состояния в жидкое у  большинства металлов наблюдается  увеличение удельного сопротивления r, как это видно, например для меди, из рис. 2-1; однако у некоторых металлов r при плавлении уменьшается. Удельное сопротивление увеличивается при плавлении у тех металлов, у которых при плавлении увеличивается объем, т. е. уменьшается плотность; и, наоборот, у металлов, уменьшающих свой объем при плавлении, — галлия, висмута, сурьмы r уменьшается.

Удельное  сопротивление сплавов. Как уже указывалось, примеси и нарушения правильной структуры металлов увеличивают их удельное сопротивление. Значительное возрастание r наблюдается при сплавлении двух металлов в том случае, если они образуют друг с другом твердый раствор, т. е. при (утверждении совместно кристаллизуются, и атомы одного металла входят в кристаллическую решетку другого.

Теплопроводность   металлов. За передачу теплоты через металл в основном ответственны те же свободные электроны, которые определяют и электропроводность металлов и число которых в единице объема металла весьма велико. Поэтому, как правило, коэффициент теплопроводности g_T металлов намного больше, чем коэффициент теплопроводности диэлектриков. Очевидно, что при прочих равных условиях, чем больше удельная электрическая проводимость у металла, тем больше должен быть и его коэффициент теплопроводности. Легко также видеть, что при повышении температуры, когда подвижность электронов в металле и соответственно его удельная проводимость g уменьшаются, отношение коэффициента теплопроводности металла к его удельной проводимости g_T/g должно возрастать. Математически это выражается законом Вчдемана—Франца—Лоренца:

gT/g = LoT

(2-7)

 

где Т —термодинамическая температура, К; L_o —число Лоренца, равное

Lo=(p2k2)/(3e2)

(2-8)

 

Подставляя в формулу (2-8) значения постоянной Больцмана k = 1.38 ×10^-23 Дж/К и заряда электрона е = 1,6×10^-19 Кл, получаем Lo = 2,45×10^-8 B²K².

Термоэлектродвижущая   сила. При соприкосновении двух различных металлических проводников  между ними возникает контактная разность потенциалов. Причина появления этой разности потенциалов заключается в различии значений работы выхода электронов из различных металлов, а также в том, что концентрация электронов, а следовательно, и давление электронного газа у разных металлов и сплавов могут быть неодинаковыми. Из электронной теории металлов следует, что контактная разность потенциалов между металлами А и В равна

UAB=UB - UA + (kT/e) ln (n0A/n0B)

(2-9)

где U_A и U_B — потенциалы соприкасающихся металлов; n_0A и n_0B — концентрации электронов в металлах А и В; k — постоянная Больцмана; e —абсолютная величина заряда электрона.

Если температуры «спаев»  одинаковы, то сумма разности потенциалов в замкнутой цепи равна нулю. Иначе обстоит дело, когда один из спаев имеет температуру T₁ , а другой —температуру Т₂ (рис. 2-2).

Рис. 2-2. Схема термопары

 

В этом случае между спаями возникает термо-ЭДС, равная

U = (k/e) (T1 - T2 ) ln (n0A/n0B)

(2-10)