Теория катастроф

Теория катастроф — раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений. 
Термины «катастрофа» и «теория катастроф» были введены Рене Томом (René Thom) и Кристофером Зиманом (Christopher Zeeman) в конце 1960-х — начале 1970-х годов («катастрофа» в данном контексте означает резкое качественное изменение объекта при плавном количественном изменении параметров, от которых он зависит). Одной из главных задач теории катастроф является получение так называемой нормальной формы исследуемого объекта (дифференциального уравнения или отображения) в окрестности «точки катастрофы» и построенная на этой основе классификация объектов.

Теория катастроф  нашла многочисленные применения в  различных областях прикладной математики, физики, а также в экономике.

Семь элементарных катастроф по Тому

Теория катастроф анализирует  критические точки (репетиции) потенциальной  функции, то есть точки, где не только первая производная функции равна  нулю, но и равны нулю же производные  более высокого порядка. Динамика развития таких точек может быть изучена  при помощи разложения потенциальной  функции в рядах Тейлора посредством  малых изменений входных параметров. Если точки роста складываются не просто в случайный узор, но формируют  структурированную область стабильности, эти точки существуют как организующие центры для особых геометрических структур с низким уровнем катастрофичности, с высоким уровнем катастрофичности в окружающих их областях фазового пространства. Если потенциальная функция  зависит от трёх или меньшего числа  активных переменных, и пяти или  менее активных параметров, то в  этом случае существует всего семь обобщённых структур описанных геометрий  бифуркаций, которым можно приписать  стандартные формы разложений в  ряды Тейлора, в которые можно  разложить репетиции при помощи диффеоморфизма (гладкой трансформации, обращение которой также гладко). Сегодня эти семь фундаментальных  типов катастроф известны под  именами, которые им дал Рене Том.

Потенциальные функции с одной активной переменной 
Катастрофа типа «Складка» 
Стабильная и нестабильная части экстремума, исчезаемого при бифуркации типа «складка»

При отрицательных  значениях параметра a, потенциальная  функция имеет два экстремума — один стабильный (устойчивое равновесие) и один нестабильный (неустойчивое равновесие). Если параметр a медленно изменяется, система может находиться в точке стабильного минимума. Но если a = 0, стабильные и нестабильный экстремумы встречаются и аннигилируют. Это — точка бифуркации. При a > 0 не существует стабильного решения.

Если физическая система проходит через точку  бифуркации типа «свёртка», и поэтому  параметр a достигает значения 0, стабильность решения при a < 0 внезапно теряется, и система может осуществить внезапный переход в новое, весьма отличное от предыдущего состояние. Это бифуркационное значение параметра a иногда называется «точкой фиксации».

Катастрофа типа «Сборка» 
 
Диаграмма катастрофы «сборка» с точкой возврата, на которой показаны кривые переменной x, удовлетворяющие выражению для параметров (a, b), кривые показаны для непрерывно изменяющегося параметра b при различных значениях параметра a. Вне геометрического места точек возврата для каждой точки (a, b) в фазовом пространстве существует только одно экстремальное значение переменной x. Внутри точек возврата существует два различных значения x, которые дают локальные минимумы функции V(x) для каждой пары (a, b). При этом указанные значения разделены локальным максимумом.

Катастрофа типа «Ласточкин хвост» 
 
Управляющее пространство в данном типе катастроф является трёхмерным. Каскад бифуркаций в фазовом пространстве состоит из трёх поверхностей бифуркаций типа «свёртки», которые встречаются на двух кривых бифуркаций с точками возврата, которые в конечном итоге встречаются в одной точке, представляющей собой бифуркацию типа «ласточкин хвост».

По мере прохождения  значений параметров по поверхностям областей бифуркаций типа «свёртка»  пропадает один минимум и один максимум потенциальной функции. В  области бифуркаций с точкой возврата два минимума и один максимум замещаются одним минимумом; за ними бифуркации типа «свёртка» исчезают. В точке  ласточкиного хвоста два минимума и  два максимума встречаются в  одном значении переменной x. Для  значений a > 0 за ласточкиным хвостом существует либо одна пара (минимум, максимум), либо не существует вообще никаких бифуркаций. Это зависит от значений параметров b и c. Две поверхности бифуркаций типа «свёртка» и две линии бифуркаций с точками возврата встречаются при a < 0, а потому исчезают в самой точке ласточкиного хвоста, заменяясь одной поверхностью бифуркаций типа «свёртка». Последняя картина Сальвадора Дали под названием «Ласточкин хвост» создана под влиянием этого типа катастроф .

Катастрофа типа «Бабочка» 

В зависимости от значений параметров потенциальная  функция может иметь три, два  или один локальный минимум, причём все минимумы разделены областями  с бифуркациями типа «свёртка». В  точке с поэтичным наименованием  «бабочка» встречаются три различные  пространства (трёхмерных плоскости) таких  бифуркаций типа «свёртка», две поверхности  бифуркаций с точками возврата и  кривая бифуркаций типа «ласточкин хвост». Все эти бифуркации пропадают  в одной точке и преобразуются  в простую структуру с точкой возврата тогда, когда значение параметра a становится положительным.

Потенциальные функции с двумя активными переменными

Омбилические катастрофы являются примерами катастроф второго  порядка. Они, к примеру, могут наблюдаться  в оптике при отражении света  от трёхмерных поверхностей. Сами по себе такие катастрофы тесно связаны  с геометрией почти сферических  поверхностей. Рене Том предложил рассматривать гиперболическую омбилическую катастрофу как разрушение волны, а эллиптическую омбилическую катастрофу ― как процесс создания структур, похожих на волосяной покров.

Гиперболическая омбилика

Эллиптическая омбилика

Параболическая омбилика

Применения теории катастроф

Создание и развитие этой части математического анализа было связано с широкими возможностями наглядного анализа некоторых сложных явлений, особенно тех, которые встречаются при описании самых разных естественных явлений (радуга, каустика, устойчивость сложных систем, колебания и разрушение в строительной механике, поведение в этологии, и даже бунты в тюрьмах).