American mathematicians Stan Wagon and Stanley Rabinowitz
produced a simple spigot algorithm in 1995. Its speed is comparable to arctg
algorithms, but not as fast as iterative algorithms.
e
Число е важная математическая
константа, являющаяся основанием натурального
логарифма. Оно примерно равно 2,71828. И является
пределом из (1 + 1/n)n , а n к бесконечности, выражение,
которое возникает при изучении сложных
процентов. Оно также может быть рассчитано
как сумма бесконечной серии
Константа может быть определена
по-разному; например, e
такое уникальное вещественное
число, что значение производной (наклон
касательной) функции f(x) = ex в точке x = 0 равно 1. Функция ex определена как экспоненциальная
функция. Её инверсия является натуральным
логарифмом, или логарифмом по основанию е. Натуральный
логарифм положительного числа k тоже может быть определён
непосредственно как площадь под кривой у=1/х между х=1 и х=k .
В таком случае, е – это число, у которого
натуральный логарифм равен 1. Существуют
и другие варианты.
Иногда его называют числом Эйлера в
честь Швейцарского математика Леонарда
Эйлера. е не путать с γ – постоянной Эйлера-Машерони,
которую иногда называют просто постоянной
Эйлера. Число е также известно как постоянное Напье.
Но Эйлер выбрал символ е, как говорят, в его честь. Число е имеет
огромное значение в математике, наряду
с 0, 1, и i. Все эти пять чисел играют
важную роль и встречаются во всей математике.
И являются постоянными, входящими в одну
формулировку тождества Эйлера. Как и число π, е является
иррациональным: это не отношение целых
чисел; и оно трансцендентное: это не корень
из любого ненулевого многочлена с рациональными
коэффициентами. Численное значение е усечено
до 50 десятичных знаков
2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 ...
История
Первые упоминания
о константе были опубликованы в 1618 году
в приложенной таблице логарифмов Джона
Напье. Однако, она не содержит
самой константы, а только список логарифмов,
рассчитанных по ней. Предполагается, что
таблица была написана Уильямом Отредом. Открытие постоянной
зачисляется к Якобу Бернулли, который
пытался найти значение следующего выражения
(что на самом деле и является е):
.
Первое известное использование
постоянной, обозначенной буквой б, обнаружено в переписке
Готфрида Лейбница с Христианом Гюйгенсом в 1690 и 1691 годах. Леонард
Эйлер применил букву е в качестве основы
для натуральных логарифмов, написав это
в письме к Христиану Гольдбаху 25 Ноября 1731 года. Эйлер начал использовать
букву е для константы в 1727
или 1728 году, в неопубликованной работе
о взрывных силах пушек, и первое появление е в издании Механика
Эйлера (1736). В последующие годы
некоторые исследователи использовали
букву c, но е была более распространена,
и в конечном итоге стала стандартом.
В компьютерной
культуре
В современной интернет-культуре,
частные лица и организации часто воздают
должное числу е.
Например, в заявке
на IPO Google в 2004 году, вместо типичной
круглой суммы денег, компания объявила
о своём намерении заработать $2.718281828,
что равно е млрд. Google также был ответственным
за рекламный щит, который появился в самом
сердце Силиконовой долины, затем в Кембридже,
штат Массачусетс; Сиэтле, штат Вашингтон; и Остине, Техас. В нем говорилось "{первые
10 знаков найдены в последовательности
цифр е}.com". Решение этой проблемы
и посещение рекламируемого (ныне несуществующего)
веб-сайта привело к ещё более сложной
проблеме, которая, в свою очередь, привела
к Google Labs, где посетителю предлагалось
предоставить резюме. Первые 10 цифр из е - 7427466391, которые начинаются
на 99-й разряд.
В другом случае, компьютерный
учёный Дональд Кнут давал номера версиям
своей программы Метафонт как приближение к е. Версии 2, 2,7, 2,71, 2,718,
и так далее. Аналогично, номера
версий его программы TeX приближаются
к .
Теория чисел
Вещественное число е является иррациональным.
Эйлер доказал это, показав,
что его простая цепная дробь бесконечна. Кроме
того, по теореме Линдеманн-Вейерштрасса, е является трансцендентным.
Это означает, что оно не является решением
любого непостоянного многочлена с рациональными
коэффициентами. Это первое число, трансцендентность
которого доказана без какой-либо определённой
цели Чарльзом Эрмитом в 1873 году.
Предполагается, что е является нормальным, это означает,
что, когда е выражается в любом возможном
базисе, цифры этого базиса равномерно
распределены (встречаются с равной вероятностью
в любой последовательности данной длины).
Античность
Великая Пирамида
в Гизе, построенная c. 2589-2566 до н.э., имеет
периметр около 1760 локтей и высоту около
280 локтей; соотношение 1760/280 ≈ 6.2857 примерно
равно 2 ≈ 6.2832.
На основе этого коэффициента, некоторые
египтологи пришли к выводу, что строители
пирамид знали о и намеренно включили
пропорции круга в пирамиду. Другие утверждают,
что это просто совпадение, поскольку
нет доказательств, что строители пирамид
знали о , и потому,
что размеры пирамиды основаны
на других факторах.
Самые ранние письменные значения найдены в Египте
и Вавилоне, как в пределах 1% истинной
стоимости. В Вавилоне, глиняная табличка, от 1900-1600 г. до н. э. геометрически
определяет как
25/8 = 3.1250. В Египте, Папирус, датированный
примерно в 1650 году до н.э., но скопированный
из документа, датированного 1850 г. до н.
э. содержит формулу площади круга, которая
определяет как
(16/9)2 ≈ 3.1605.
В Индии около 600 г. до н.э., тексты на санскрите,
богатые математическим содержанием,
определяют как
(9785/5568)2 ≈ 3.088. В 150 году нашей эры, или, может
быть, и раньше, индийские источники определяют ≈ 3.1622. Два стиха в Библии на иврите (в письменной
форме между 8-м и 3-м веках до н.э.) описывают
торжественный бассейн в Храме Соломона
диаметром в десять локтей и окружностью
тридцать локтей; стихи определяют около трех, если бассейн круглый.
Определение
обычно определяется отношением длины
окружности C к его диаметру (d):
Соотношение C/d является постоянным, независимо
от размера круга. Например, если круг
имеет диаметр в два раза больше диаметра
другого круга, он также будет иметь в
два раза большую длину окружности, сохраняя
соотношение C/d. Это определение неявно использует плоскую (евклидову) геометрию; хотя понятие
окружности может быть распространено
на любую изогнутую (неевклидову) геометрию,
эти круги, больше не удовлетворяют формуле = C/d. Существуют
и другие определения , которые не упоминают
о кругах. Например, в два
раза меньше положительного x, при cos(x)
равном 0.
Свойства
-это иррациональное число, означающее,
что оно не может быть записано в виде
отношения двух целых чисел (фракций, таких
как 22/7, которые обычно используются для
приближенного ).Так как иррационально,
оно имеет бесконечное число цифр в его
десятичной записи, и оно не заканчивается
с бесконечно повторяющимся узором цифр.
это трансцендентное число, а значит это не решение любого непостоянного
многочлена с рациональными коэффициентами,
такого как . Трансцендентность имеет
два важных следствия:
во-первых, пи не может быть выражена с
помощью любой комбинации из рациональных
чисел и квадратных корней, или n-х корней,
во-вторых, невозможно решить задачу о
"квадратуре круга". Другими словами,
невозможно построить с помощью только
циркуля и линейки квадрат, площадь которого
равна площади данного круга. "Квадратуре
круга " была одной из важнейших задач
по геометрии классической древности.
Любители математики в современной эпохе,
иногда пытались решить данную задачу,
и иногда утверждали об успехе, несмотря
на то, что это невозможно.
Компьютерная
эра и итерационные алгоритмы
Развитие компьютеров в середине 20-го
века снова спровоцировали охоту за цифрами
числа пи. Американские математики Джон
Ренч и Леви Смит достигли 1120 цифр в 1949
году, используя настольный калькулятор.
С помощью арктангенса (arctg) бесконечного
ряда, команда под руководством Джорджа
Ритвиснера и Джона фон Неймана в том же
году расчитала 2037 цифр с расчётом семидесяти
часов компьютерного времени на компьютер
ENIAC. Запись, рассчитывая на arctg серии, была
нарушена неоднократно (7,480 знаков в 1957
году; 10 000 знаков в 1958 году; 100 000 знаков
в 1961 году) до 1 млн. знаков была рассчитана
ещё в 1973 году.
Два дополнительных события в районе 1980
года снова ускорили возможность вычисления . Во-первых, открытие новых итерационных алгоритмов
для вычислительных пи, которые были намного
быстрее, чем бесконечные ряды; и во-вторых,
изобретение быстрых алгоритмов умножения,
которые могли бы увеличивать число очень
быстро. Такие алгоритмы особенно важно
в современных вычислениях , потому
что большинство времени компьютера
посвящено умножению. Они включают в себя
алгоритм Карацуба.
Итерационные алгоритмы были опубликованы
в 1975-1976 американским физиком Евгением
Саламиным и австралийским ученым Ричардом
Брентом. Они избегают зависимости от
бесконечных рядов. Итеративный алгоритм
повторяет конкретное вычисление каждой
итерации с использованием выходных сигналов
от предшествующих этапов и даёт результат
на каждом этапе, который сходится к необходимому
значению. Подход на самом деле был изобретён более 160 лет назад Карлом
Фридрихом Гауссом, который сейчас называется
арифметико-геометрическим средним (AGM
метод) или алгоритм Гаусса-Лежандра, с
изменениями Саламина и Брента, он также
упоминается как Брент-Саламин алгоритм.
Итерационные алгоритмы широко использовались
после 1980 года, так как они быстрее, чем
бесконечные ряды алгоритмов: а бесконечный
ряд, как правило, увеличивает количество
правильных цифр аддитивно в ряду, итерационные
алгоритмы, как правило, умножают количество
правильных цифр на каждом шагу. Например,
Брент-Саламин алгоритм удваивает количество
цифр в каждой итерации. В 1984 году Канадские
братья Джон и Питер Борвейна произвели
итерационный алгоритм, который в четыре
раза увеличивал количество цифр в каждом
шаге, а в 1987 году, который увеличивал количество
цифр в пять раз в каждом шаге. Итерационные
методы были использованы японским математиком
Ясумасой Канадой, чтобы задать несколько
записей для вычисления между
1995 и 2002 годами. Эта быстрая сходимость
имеет свою цену: итерационные алгоритмы
требуют значительно больше памяти, чем
бесконечные ряды.
Принятие символа
Самое ранее известное использование
греческой буквы для представления
отношения длины окружности к её диаметру
было математиком Уильямом Джонсом в 1706
году в его работе Synopsis Palmariorum Matheseos; или Новое Введение
в Математику. Впервые греческая буква
появилась во фразе "1/2 Периферии ()", половина круга
единичного радиуса. Джонс, возможно, выбрал
π, потому что это был первый случай в греческом
написании слова периферии. Тем не менее,
он пишет, что его уравнения для от "готового пера действительно гениального
Джона Машина", а следовательно Мачин,
возможно, уже использовал греческую букву
перед Джонсом. Она действительно использовалась
ранее для геометрических понятий. Уильям
Отред использовал и , эквивалентные греческим p и d, чтобы выразить
соотношение периферии и диаметра в 1647
году и более поздних выпусках Clavis Mathematicae.
После Джонс представил греческую букву
в 1706 году, но она не была принята другими
математиками до тех пор, пока Эйлер не
начал использовать её, начиная с 1736 в
работе Mechanica. До этого математики иногда
использовали буквы, такие как c или p. Эйлер
вёл много переписок с другими математиками
Европы, поэтому греческая буква распространилась
очень быстро. В 1748 году Эйлер использовал
Pi в своей широко читаемой работе "Введение
в анализ бесконечно малых" (он писал:
"для краткости мы будем обозначать
это число, как ; так как равна половине длины окружности радиуса
1") и это было повсеместно принято впоследствии
в западном мире.
Мотивы для вычисления
Для большинства численных расчётов,
связанных с несколько
цифр обеспечивают достаточную точность.
По словам Йорга Арндта
и Кристофа Хейнела, тридцать девять цифр
достаточно для выполнения большинства
космологических расчётов. Несмотря на
это, люди работали усердно над вычислением
тысяч и миллионов цифр числа пи. Эти усилия
могут быть частично приписаны к тяге
человека побить рекорды, и такие достижения
с часто
попадают в заголовки во
всем мире. Обширные расчёты были также
использованы для тестирования суперкомпьютеров
и высокоточных алгоритмов умножения.
Бесконечные
ряды
Расчёт был революционизирован путём развития
бесконечных рядов в 16 и 17 веках. Бесконечный
ряд является суммой условий бесконечной
последовательности. Бесконечные ряды
позволили математикам вычислить с гораздо
большей точностью, чем Архимед и другие,
которые использовали
геометрические методы. Хотя бесконечные
ряды использовались для вычисления особенно
европейскими математиками,
такими как Джеймс Грегори и Готфрид Вильгельм
Лейбниц, подход был впервые обнаружен
в Индии где-то между 1400 и 1500 годами. Первое
письменное описание бесконечного ряда,
который может использоваться, чтобы вычислить , был заложен в Санскрите в стихе
Tantrasamgraha индийского астронома Nilakantha Somayaji,
примерно в 1500 году. Не было представлено
никаких доказательств, но они были представлены
в более поздней индийской работе, Yuktibhāṣā,
приблизительно 1530 года. Несколько бесконечных
рядов описаны, в том числе синус, косинус,
тангенс, которые сейчас называют ряд Madhava или ряд Грегори-Лейбница. Ряд madhava оценивал до 11 цифр около 1400 года,
но это значение было улучшено около 1430
года персидским математиком Jamshīd Аль-Kāshī,
с помощью полигонального алгоритма.