Оценка технического состояния систем и объектов методом байеса

Министерство образования и  науки Российской Федерации

Саратовский государственный технический  университет

Балаковский институт техники, технологии и управления

 

 

 

ОЦЕНКА ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ И ОБЪЕКТОВ МЕТОДОМ  БАЙЕСА

 

 

Методические указания к выполнению практической работы

для студентов специальности 

120100 «Технология машиностроения»  

всех форм обучения

 

 

 

 

Одобрено

редакционно-издательским советом

Балаковского института  техники, технологии и управления

 

 

 

 

 

Балаково 2010

 

Введение

Возрастающие требования безопасности, безотказности и долговечности технического оборудования делают весьма важной оценку их технического состояния. В настоящее время промышленность несет огромные потери из-за недостаточной надежности и долговечности выпускаемых машин. Так, за весь период эксплуатации затраты на ремонт и техническое обслуживание машин в связи с их износом в несколько раз превышают стоимость новой машины.

Для уменьшения затрат на ремонт и  обслуживание машин необходимо применять  методы для оценки технического состояния исследуемых систем и объектов.

Цель работ

Изучение метода Байеса для оценки технического состояния исследуемых систем и объектов.

Основные понятия

Метод Байеса применяется при значительном объеме статистических данных. Пусть имеется диагноз D_i и простой признак k_j, встречающийся при этом диагнозе. Вероятность диагноза D_i при появлении признака k_j по формуле Байеса, равна:

.

(1)

где – вероятность диагноза , определяемая по статистическим данным (априорная вероятность диагноза). Так, если предварительно обследовано N объектов и у Ni объектов имелось состояние , то:

.

(2)

 – вероятность появления признака во всех объектах независимо от состояния (диагноза) объекта. Пусть из общего числа N объектов признак был обнаружен у объектов, тогда

.

(3)

 – вероятность появления признака у объектов с состоянием . Если среди Ni объектов, имеющих диагноз , у , проявился признак , то

.

(4)

В равенстве (1) – вероятность диагноза после того, как стало известно наличие у рассматриваемого объекта признака (апостериорная вероятность диагноза).

В случае, когда обследование проводится по комплексу признаков K, включающему признаки применяется обобщенная формула Байеса. Каждый из признаков имеет разрядов .

Формула Байеса для комплекса признаков имеет вид:

.

(5)

где – вероятность диагноза после того, как стали известны результаты обследования по комплексу признаков K;

 – предварительная вероятность диагноза (по предшествующей статистике).

Для диагностически независимых признаков, вероятность появления комплекса признаков у объекта с состоянием равна:

.

(6)

Вероятность появления комплекса  признаков K, равна:

.

(7)

Обобщенная формула Байеса может быть записана

.

(8)

где определяется равенством (6).

Для определения вероятности диагнозов  по методу Байеса необходимо составить диагностическую матрицу (табл. 1), которая формируется на основе предварительного статистического материала. В этой таблице содержатся вероятности разрядов признаков при различных диагнозах.

Таблица 1

Диагностическая матрица в методе Байеса

Диагноз Di	Признак kj									P(Di)
	k1			k2				k3
	P(k11| |Di)	P(k12| |Di)	P(k13| |Di)	P(k21| |Di)	P(k22| |Di)	P(k23| |Di)	P(k24| |Di)	P(k31| |Di)	P(k32| |Di)
D1
D2
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

 

Если признаки двухразрядные (простые признаки «да – нет»), то в таблице достаточно указать вероятность появления признака . Вероятность отсутствия признака будет равна: .

Однако более удобно использовать единообразную форму, полагая, например, для двухразрядного признака .

Сумма вероятностей всех возможных  реализаций признака равна единице.

Уточнение априорных вероятностей диагнозов

В процессе использования метода Байеса для диагностики технического состояния объектов, могут поступить новые статистические данные, которые изменят вероятности появления диагноза и вероятности присутствия признака. Поэтому важно предусмотреть возможность уточнения таблицы в процессе диагностики. Для этого следует хранить не только значения , но и общее число объектов, использованных для составления диагностической матрицы; число объектов с каждым диагнозом, а также число объектов с каждым диагнозом, обследованных по каждому признаку.

Если поступает новый объект с диагнозом , то проводится корректировка прежних априорных вероятностей диагнозов следующим образом:

.

(9)

где   - уточненная вероятность диагноза;

- число объектов с диагнозом  ;

- число объектов с диагнозом  ;

- общее число объектов.

Далее вводятся поправки к вероятностям признаков. Пусть у нового объекта с диагнозом выявлен разряд r признака . Тогда для дальнейшей диагностики принимаются новые значения вероятности для всех разрядов признака при диагнозе :

.

(10)

где  - уточненная вероятность признака;

- число объектов с диагнозом  , обследованных по признаку ;

- число объектов с диагнозом ;

Условные вероятности признаков  при других диагнозах корректировки не требуют.

Задание

Из 1000 обследованных подшипников  передней подвески автомобилей 900 подшипников  выработали ресурс в исправном состоянии  и 100 – в неисправном.

Все подшипники были обследованы по следующим признакам:

– общий  уровень вибрации;

– температура;

– загрязнение  смазки.

У 70% исправных  подшипников общий уровень вибрации лежал в диапазоне от 0,25 до 0,5 g, у 20% исправных подшипников –  от 0,5 до 0,75 g и у 10% – >0,75g.

У 80% исправных  подшипников температура лежала в диапазоне 50–70 град, у 10% – в  диапазоне 70–90 град. И у 10% – >90 град.

У 90% исправных  подшипников загрязнение смазки было в пределах нормы.

У 80% неисправных  подшипников наблюдалась вибрация >0,75 g, у 15% неисправных подшипников вибрация в диапазоне 0,5–0,75g.

У 85% неисправных  подшипников температура была >90 град, у 8% неисправных подшипников  – в диапазоне 70–90 град.

У 70% неисправных  подшипников загрязнение смазки было выше нормы.

Рассчитать по вариантам согласно номера по журналу:

1. Вероятность  исправного или неисправного состояния подшипника при наблюдении признаков представленных в табл. 2.

2. Уточнить априорные вероятности появления исправного или неисправного состояния, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное или неисправное состояние и наблюдались признаки представленные в табл. 2.

Таблица 2

Исходные данные для расчета

№ вар.	Диапазон вибрации, g	Диапазон температуры	Загрязнение смазки	Состояние подшипника
1	0,25 – 0,5	50 – 70	в пределах нормы	исправен
2	0,5 – 0,75	50 – 70	в пределах нормы	исправен
3	>0,75	50 – 70	в пределах нормы	исправен
4	0,25 – 0,5	70 – 90	в пределах нормы	исправен
5	0,5 – 0,75	70 – 90	в пределах нормы	исправен
6	>0,75	70 – 90	в пределах нормы	исправен
7	0,25 – 0,5	>90	в пределах нормы	исправен
8	0,5 – 0,75	>90	в пределах нормы	исправен
9	>0,75	>90	в пределах нормы	исправен
10	0,25 – 0,5	50 – 70	выше нормы	исправен
11	0,5 – 0,75	50 – 70	выше нормы	исправен
12	>0,75	50 – 70	выше нормы	исправен
13	0,25 – 0,5	70 – 90	выше нормы	исправен
14	0,5 – 0,75	70 – 90	выше нормы	исправен
15	>0,75	70 – 90	выше нормы	исправен
16	0,25 – 0,5	>90	выше нормы	исправен
17	0,5 – 0,75	>90	выше нормы	исправен
18	>0,75	>90	выше нормы	исправен
19	0,25 – 0,5	50 – 70	в пределах нормы	не исправен
20	0,5 – 0,75	50 – 70	в пределах нормы	не исправен
21	>0,75	50 – 70	в пределах нормы	не исправен
22	0,25 – 0,5	70 – 90	в пределах нормы	не исправен
23	0,5 – 0,75	70 – 90	в пределах нормы	не исправен
24	>0,75	70 – 90	в пределах нормы	не исправен
25	0,25 – 0,5	>90	в пределах нормы	не исправен
26	0,5 – 0,75	>90	в пределах нормы	не исправен

Пример выполнения задания

Задание:

1. Рассчитать вероятность неисправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне >0,75 g, температуры >90 град., загрязнения в пределах.

2. Уточнить априорные вероятности  появления неисправного состояния, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было неисправное состояние и наблюдалась вибрация в диапазоне >0,75 g, температура >90 град., загрязнения в пределах.

 Решение:

1. Для определения вероятности неисправного состояния подшипника, необходимо по заданным статистическим данным заполнить диагностическую матрицу.

Согласно условию существует два  диагноза: исправное состояние  D₁ и неисправное состояние D₂. Вероятность диагноза D₁ определяется как отношение количества исправных подшипников к общему количеству подшипников. Аналогично определяется вероятность диагноза D₂.

Согласно условию существует три  признака, причем первый и второй признак  имеют три разряда, а третий два  разряда.

Заполним диагностическую таблицу исходя из заданных статистических данных, принятых признаках и диагнозах  и выделим признаки, которые наблюдались у неисправного подшипника (табл. 3).

Таблица 3

Диагностическая таблица

Диагноз Di	Признак kj								P(Di)
	k1			k2			k3
	P(k11| |Di)	P(k12| |Di)	P(k13| |Di)	P(k21| |Di)	P(k22| |Di)	P(k23| |Di)	P(k31| |Di)	P(k32| |Di)
D1	0,7	0,2	0.1	0,8	0,1	0,1	0,9	0,1	0,9
D2	0,05	0,15	0,8	0,07	0,08	0,85	0,3	0,7	0,1