Основы теории напряженного состояния

Page 1

Лекция № 5
Теория напряженного состояния. Понятие о тензоре напряжений, главные напряжения.
Линейное, плоское и объемное напряженное состояние. Определение напряжений при
линейном и плоском напряженном состоянии. Решения прямой и обратной задач.
5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки
Напряжения являются результатом взаимодействия частиц тела при его нагружении.
Внешние силы стремятся изменить взаимное расположение частиц, а возникающие при
этом напряжения препятствуют их смещению. Расположенная в данной точке частица по-
разному взаимодействует с каждой из соседних частиц. Поэтому в общем случае в одной
и той же точке напряжения различны по различным направлениям.
В сложных случаях действия сил на брус (в отличие от растяжения или сжатия) вопрос об
определении наибольших напряжений, а также положения площадок, на которых они дей-
ствуют, усложняется. Для решения этого вопроса приходится специально исследовать за-
коны изменения напряжений при изменении положения площадок, проходящих через
данную точку. Возникает проблема исследования н а п р я ж е н н о г о с о с т о я н и я в
точке деформируемого тела.
Напряженное состояние в точке
– совокупность напряжений, действующих
по всевозможным площадкам, проведенным через эту точку.
Исследуя напряженное состояние в данной
точке деформируемого тела, в ее окрестно-
сти выделяют бесконечно малый (элемен-
тарный) параллелепипед, ребра которого
направлены вдоль соответствующих коор-
динатных осей. При действии на тело
внешних сил на каждой из граней элемен-
тарного параллелепипеда возникают на-
пряжения, которые представляют нормаль-
ными и касательными напряжениями –
проекциями полных напряжений на коор-
динатные оси.
Нормальные напряжения обозначают буквой σ с
индексом, соответствующим нормали к площадке,
на которой они действуют. Касательные напряже-
ния обозначают буквой τ с двумя индексами: первый соответствует нормали к площадке, а
второй – направлению самого напряжения (или наоборот).
Таким образом, на гранях элементарного параллелепипеда, выделенного в
окрестности точки нагруженного тела, действует девять компонентов напря-
жения. Запишем их в виде следующей квадратной матрицы:
32

---

Page 2

x
xy
xz
yx
y
yz
zx
zy
z
T
σ
⎛
⎞
σ
τ
τ
⎜
⎟
= τ
σ
τ
⎜
⎟
⎜
⎟
τ
τ
σ
⎝
⎠
.
Эта совокупность напряжений называется тензором напряже ний .
Тензор напряжений полностью описывает напряженное состояние в точке, то есть если
известен тензор напряжений в данной точке, то можно найти напряжения на любой из
площадок, проходящих через данную точку (заметим, что т е н з о р представляет собой
особый математический объект, компоненты которого при повороте координатных осей
подчиняются специфическим правилам тензорного преобразования, при этом тензорное
исчисление составляет отдельный раздел высшей математики и здесь не рассматривается).
Не все девять компонентов напряжений, действующих на гранях параллеле-
пипеда, независимые (несвязанные друг с другом). В этом легко убедится,
составив уравнения равновесия элемента в отношении его вращений относи-
тельно координатных осей. Записав уравнения моментов от сил, действую-
щих по граням параллелепипеда, и пренебрегая их изменением при переходе
от одной грани к другой ей параллельной, получим, что
,
,
xy
yx
xz
zx
yz
τ = τ
τ = τ τ = τ
zy
.
Данные равенства называют законом парн ости касательных на -
пряже н ий .
Закон парности касательных напряжений
: по двум взаимно перпендикуляр-
ным площадкам касательные напряжения, перпендикулярные линии пересе-
чения этих площадок, равны между собой.
В окрестности исследуемой точки можно выделить бесконечное множество
взаимно перпендикулярных площадок. В том числе можно найти и такие
площадки, на которых действуют только нормальные напряжения, а каса-
тельные напряжения равны нулю. Такие площадки называют главным и
(более точно–площадки главных напряжений).
Главные площадки
– три взаимно перпендикулярные площадки в окрестно-
сти исследуемой точки, на которых касательные напряжения равны нулю.
Главные напряжения
– нормальные напряжения, действующие по главным
площадкам (то есть площадкам, на которых отсутствуют касательные напря-
жения).
На главных площадках нормальные напряжения (главные напряжения) принимают свои
экстремальные значения – максимум σ
1
, минимум σ
3
и минимакс σ
2
(σ
1
≥σ
2
≥σ
3
). Тензор
напряжений, записанный через главные напряжения, принимает наиболее простой вид:
1
2
3
0
0
0
0
0
0
T
σ
σ
⎛
⎞
⎜
⎟
=
σ
⎜
⎟
⎜
⎟
σ
⎝
⎠
.
33

---

Page 3

В зависимости от того, сколько главных напряжений действует в окрестности
данной точки, различают три вида напряженного состояния:
1)
линейное (одноосное)
– если одно главное напряжение отлично от нуля, а
два других равны нулю (
);
1
2
3
0,
0,
0
σ ≠
σ = σ =
2)
плоское (двухосное)
– если два главных напряжения отличны от нуля, а
одно равно нулю (
1
2
3
0,
0,
0
σ ≠
σ ≠
σ =
);
3)
объемное (трехосное)
– если все три главных напряжения отличны от нуля
(
).
1
2
3
0,
0,
0
σ ≠ σ ≠ σ ≠
5.2. Напряжения на наклонных площадках при линейном напряженном состоянии
Элементы, находящиеся в линейном напряженном состоянии, можно выделить в окрест-
ности некоторых точек стержня, работающего на изгиб, иногда – при сложном нагруже-
нии, но главным образом на растяжение или сжатие.
Рассмотрим стержень, испытывающий простое
растяжение. Нормальные напряжения в его по-
перечных сечениях определяются следующим
образом:
0
0
0
N
F
A
A
σ =
=
.
Касательные напряжения здесь равны нулю.
Следовательно, эти сечения являются главными
площадками (σ
1
=σ
0
).
Перейдем теперь к определению напряжений на
неглавных, наклонных площадках. Выделим
площадку, нормаль к которой составляет с осью
стержня угол α. Проведенную таким образом
наклонную площадку будем обозначать α-пло-
щадкой, а действующие на ней полные, нор-
мальные и касательные напряжения – p
α
, σ
α
, τ
α
соответственно. При этом площадь α-площадки
(A
α
) связана с площадью поперечного сечения
стержня (A
0
) следующим образом:
0
cos
A
A
α
=
α
.
Для определения напряжений воспользуемся методом мысленных сечений.
Считая, что наклонная площадка рассекла стержень на две части, отбросим
одну из них (верхнюю) и рассмотрим равновесие оставшейся (нижней). Осе-
34

---

Page 4

вая сила (N) в сечении представляет собой равнодействующую полных на-
пряжений p
α
. Следовательно,
N p A
α
α
=
⋅
.
Отсюда
0
0
cos
cos
N
N
p
A
A
α
α
=
=
⋅
α = σ ⋅
α
.
Нормальные и касательные напряжения определим, проецируя полное на-
пряжение на нормаль и плоскость α-площадки соответственно:
cos ;
sin ,
p
p
α
α
α
α
σ =
⋅
α
τ =
⋅
α
или, учитывая, что
0
cos
p
α
=σ ⋅
α
2
0
0
cos ;
sin2 .
2
α
α
σ = σ ⋅
α
σ
τ =
⋅
α
Из анализа формул видно, что
1) при α=0 в поперечных сечениях стержня τ
α
=0, σ
α
=σ
0
(σ
1
=σ
0
, σ
2
=0, σ
3
=0);
2) при α=π/2 в поперечных сечениях стержня τ
α
=0, σ
α
=0;
3) при α=±π/4 в поперечных сечениях стержня возникают максимальные касательные на-
пряжения τ
α
= τ
max
= σ
0
/2 (нормальные напряжения σ
α
= σ
0
/2).
5.3. Напряжения на наклонных площадках при плоском напряженном состоянии
Плоское (двухосное) напряженное состояние встречается при кручении, изгибе и сложном
сопротивлении и является одним из наиболее распространенных видов напряженного со-
стояния.
Определим напряжения на наклонных пло-
щадках при плоском напряженном состоя-
нии. Рассмотрим элементарный параллеле-
пипед, грани которого являются главными
площадками. По ним действуют положи-
тельные напряжения σ
1
и σ
2
, а третье глав-
ное напряжение σ
3
=0.
Проведем сечение, нормаль к которому по-
вернута на угол α от большего из двух глав-
ных напряжений (σ
1
) против часовой стрел-
ки (положительное направление α). Напря-
жения σ
α
и τ
α
на этой площадке будут вызываться как действием σ
1
, так и
действием σ
2
.
Запишем п р а в и л а з н а к о в . Будем считать положительными следующие направления
напряжений и углов: нормальные напряжения σ – растягивающие; касательные напряже-
ния τ – вращающие элемент по часовой стрелке; угол α – против часовой стрелки от наи-
большего из главных напряжений (α≤45
o
).
35

---

Page 5

Плоское напряженное состояние может быть представле-
но как суперпозиция (наложение) двух ортогональных
(взаимноперпендикулярных) одноосных напряженных
состояний. При этом:
,
,
α
α
′
′′
+ σ
′
′′τ
α
α
α
α
σ = σ
τ = τ +
α
′
α
где
– напряжения, вызванные действием σ
,
α
′σ τ
1
;
– напряжения, вызванные действием σ
,
α
′′ ′′
σ τ
2
.
Напряжения при одноосном напряженном состоянии (от
действия σ
1
) связаны между собой как
2
cos ;
n2 .
α
α
1
1
si
2
α
α
′σ = σ ⋅
σ
′τ =
⋅
α
Напряжения
, вызванные действием σ
,
α
′′ ′′
σ τ
2
, можно найти аналогично, но
при этом необходимо учесть, что вместо угла α в формулы необходимо под-
ставить угол
(
)
o
90
=
β −
−α
– угол между α-площадкой и напряжением σ
2
.
Отсюда получим
(
)
(
)
2
o
2
2
2
o
2
2
cos
90
sin ;
sin2
90
sin2 .
2
2
α
α
α
α
⎡
⎤
′′
′′
σ = σ ⋅
−
−α ⇒
σ = σ ⋅
α
⎣
⎦
σ
σ
⎡
⎤
′′
′′
τ =
⋅
⋅ −
−α ⇒
τ = −
⋅
α
⎣
⎦
Окончательно можем записать
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
cos
sin
cos2 ;
2
2
sin2
sin2
sin2 .
2
2
2
α
α
σ +σ
σ −σ
σ = σ ⋅
α + σ ⋅
α =
+
⋅
α
σ
σ
σ −σ
τ =
⋅
α −
⋅
α =
⋅
α
(5.1)
На площадке, перпендикулярной данной, значения напряжений можно найти
из этих же формул, подставляя вместо угла α величину угла
:
(
)
o
90
=
β −
−α
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
sin
cos
cos2 ;
2
2
sin2
sin2
sin2 .
2
2
2
β
β
σ −σ
σ + σ
σ = σ ⋅
α + σ ⋅
α =
+
⋅
α
σ
σ
σ −σ
τ = −
⋅
α +
⋅
α = −
⋅
α
(5.2)
Если сложить левые и правые части выражений для напряжений на α- и β-площадках, по-
лучим следующие равенства:
1)
, из которого следует, что сумма нормальных напряжений по двум вза-
имно перпендикулярным площадкам есть величина и н в а р и а н т н а я , то есть не зависит
от поворота площадки.
1
α
β
σ + σ = σ + σ
2
36

---

Page 6

2) τ
α
=–τ
β
, которое еще раз указывает на закон парности касательных напряжений (знак
«минус» связан с вышеприведенным правилом знаков для касательных напряжений).
Решая совместно уравнения (5.1) и (5.2) относительно напряжений σ
1
и σ
2
,
получим выражения для определения главных на пряже н ий при
плоском напряженном состоянии по известным напряжениям на
произвольных взаимноперпендикулярных площадках:
(
)
2
2
1
4
2
2
max
min
α
β
α
β
α
σ + σ
σ
=
± ⋅ σ −σ
+ ⋅τ .
(5.3)
Обозначения главных напряжений σ
max
, σ
min
здесь оправданы тем, что одно из трех глав-
ных напряжений равно нулю.
Направ ление главных пл ощадок найдем, исключая из выражений
(5.1), (5.2) величины σ
1
, σ
2
и решая полученное уравнение относительно
угла α:
2
tg2
α
α
β
⋅τ
α = −
σ −σ
.
(5.4)
Задачи, рассматриваемые в теории напряженного состояния, могут даваться в
прямой и обратной постановке.
П р я м а я з а д а ч а
. В точке известны положения главных площадок и соот-
ветствующие им главные напряжения; требуется найти нормальные и каса-
тельные напряжения по площадкам, наклоненным под заданным углом α к
главным (аналитическое решение прямой задачи дается формулами (5.1) и
(5.2)).
О б р а т н а я з а д а ч а
. В точке известны нормальные и касательные напря-
жения, действующие по двум взаимно перпендикулярным произвольным
площадкам, проходящим через данную точку; требуется найти направление
главных площадок и главные напряжения (аналитическое решение обратной
задачи дается формулами (5.3) и (5.4)).
Отметим, что именно о б р а т н а я з а д а ч а оказывается наиболее распространенной в
сопротивлении материалов, так как наиболее часто удается определить (теоретически или
экспериментально) нормальные и касательные напряжения (σ
α
, τ
α
, σ
β
, τ
β
) на некоторых
произвольных площадках. Затем по этим данным требуется найти положение главных
площадок и величину главных напряжений, по которым и производится дальнейший рас-
чет на прочность.
37