Расчет тарифных ставок при страховании жизни

Ст. преподаватель  кафедры математических методов  в экономике

Рассадина Е.С.

Лабораторная  №1

Расчет тарифных ставок при страховании жизни

Страхование жизни обуславливает  ряд особенностей, которые влияют на выбор форм и методов анализа  подготовки и проведения страховых  операций. Можно выделить основные факторы, которые влияют на методику расчета тарифных ставок по страхованию жизни:

1. Объектом договора по данному виду страхования является жизнь, здоровье и трудоспособность граждан. Количественные показатели, характеризующие продолжительность жизни и смертность среди населения страны централизовано собираются и обрабатываются в федеральных и региональных органах статистики. На основании подобных данных составляются таблицы смертности, которые используются страховщиками при расчете нетто-ставок по страхованию жизни.
2. Договоры страхования жизни, обычно, заключаются на длительный срок.  Период времени между уплатой взносов и моментом выплат достигает нескольких лет. В течение этого срока за счет инфляции и прибыли, получаемой от инвестирования временно свободных средств, стоимость страховых взносов изменяется. Чтобы учесть подобные изменения применяются методы финансовых исчислений (дисконтирование).

В страховании жизни  неопределенность связана со случайным  характером продолжительности человеческой жизни. Поэтому страховщики должны располагать данными для расчета вероятностей дожития до определенного возраста лиц различного пола. Источником таких данных являются таблицы смертности, составляемые на основе переписи населения.

Таблица смертности – числовая модель процесса вымирания по возрастам некоторой абстрактной совокупности людей.

Основным показателем  таблицы смертности является число  людей  в возрасте лет, оставшихся в живых из первоначальной совокупности (обычно равной 100 000 человек). Величины (кроме ) определяют расчетным путем на основе заданных вероятностей смерти ( ) в возрасте лет, или на основе количества умерших ( ). Указанные вероятности получают на основе данных статистики населения с последующим усреднением и сглаживанием.

Показатели таблицы  смертности связаны следующими соотношениями:

Задание: Открыть файл таблица смертности.xls и посчитать и .

 

Для определения страховых  тарифов также необходимо знать страховые вероятности в страховании жизни и действия над ними:

1. – вероятность прожить n лет лицом, дожившим до возраста х лет.
2. – вероятность человеком, дожившим до х лет, прожить еще 1год.
3. – вероятность умереть в интервале возрастов от x лет до n лет.
4. – вероятность дожить до возраста х лет и умереть в возрасте x+m лет в течении 1 года.
5. – вероятность дожить до x+m лет и умереть в возрасте от x+m лет до x+m+n лет.

Задание: Рассчитать страховые вероятности по следующим данным (№ варианта соответствует порядковому номеру в журнале преподавателя):

№ варианта	x	n	m
1	35	40	5
2	21	35	30
3	40	42	2
4	80	85/5	1
5	62	65/3	12
6	55	60/10	2
7	25	33	7
8	36	40	10
9	72	80/10	9
10	50	90/5	35

 

Для упрощения расчетов и сокращения записи формул в таблицах смертности используются коммутационные функции, а также рассчитанные по ним коммутационные числа. Их смысл сложно интерпретировать, поэтому они должны восприниматься как чисто технические вспомогательные средства. Их можно разделить на две группы. В основу первых положены числа доживающих до определенного возраста, вторых – числа умерших. И те и другие показатели берутся из таблицы смертности.

При расчете коммутационных чисел учитывается принятая страховой  компанией норма накопления.

Предварительно запишем  несколько промежуточных величин, которые рассчитываются на основе таблицы смертности:

 где  - число доживающих до возраста х лет;

- дисконтный множитель, (i – норма накопления).

- сумма значений  , где w – предельный возраст, учитываемый в таблице смертности.

, где  - число умирающих при переходе от возраста х к возрасту х+1.

- сумма значений  .

- сумма значений  .

Задание: В файле таблица смертности.xls рассчитать коммутационные числа ( ) для нормы накопления:

№ варианта	Норма накопления, %
1	5
2	6
3	7
4	8
5	9
6	10
7	11
8	12
9	13
10	14

 

Страхование на дожитие.

Страхователь и страховщик договариваются между собой о  том, что второй выплатит первому  страховую сумму S, если он доживет до возраста n. В обмен на данные условия страхователь предлагает заплатить страховщику нетто-премию, которая равна произведению страхового тарифа  и размера выплаты ( ). Нетто-премия может уплачиваться единовременно, а может в рассрочку, что ведет к различной методике расчета:

1. Нетто-премия уплачивается единовременно. В этом случае страхователь обязательно ее заплатит, иначе договор не будет заключен. Страховая выплата зависит от того, доживет ли страхуемый до n лет или нет. Поэтому, при ее расчете применяется математическое ожидание от суммы выплаты ( ). Страховая выплата произойдет только через n лет после заключения договора, поэтому ее необходимо привести к моменту уплаты нетто-премии ( ). Используя принцип финансовой эквивалентности (обязательства должны быть равны), получается:

.

2. Нетто-премия уплачивается в рассрочку. Здесь нетто-премия представляет собой поток платежей от страхователя страховщику, при этом все платежи составляющие нетто-премию в данном виде страхования – суммы фактические, а не вероятные, так как если человек умрет раньше времени, то он не получит страховую сумму, а у страховщика останется часть нетто-премий, которые он никому не должен. Пусть, страховые премии уплачиваются в течении t лет, в начале каждого года. Тогда – премия уплаченная в первом году, – премия уплаченная во втором году и т.д.

Если платежи одинаковы, то

или

 

Страхование жизни.

 Этот вид страхования  называют также страхованием на случай смерти. Страховая сумма, равная S, выплачивается в случае смерти застрахованного. Страховой договор заключается страхователем в x лет на срок n лет. Здесь также следует рассмотреть два случая:

1. Нетто-премия уплачивается единовременно. Тогда обязательства страхователя равны произведению страхового тарифа и страховой суммы ( ). Нетто-премия – основное условие заключение договора, поэтому ее величина для страховщика реальная, а не вероятная. Если выплаты страховых сумм происходят в конце года, и страхователь умрет в 1-ый год, то страховая сумма будет равна ( – вероятность умереть в возрасте х лет); если во второй год, то страховщик должен будет заплатить ; если умрет в третий год – страховая выплата = и так далее. В силу финансовой эквивалентности и элементарных алгебраических преобразований получим:

.

Если страхование пожизненное, то _.

2. Нетто-премия вносится в рассрочку. Пусть рассрочка осуществляется посредством равных платежей (P) пренумерандо (в начале года) в течении t лет. В данном случае нетто-премия представляет собой поток платежей, ограниченный периодом t. При этом каждый член этого потока, является случайной величиной, так как при наступлении страхового случая платежи прекратятся, а страховщик должен будет уплатить всю страховую сумму страхователю. Наступление каждого последующего платежа не определено, так как неизвестно наступит ли страховой случай. Страховщик должен учитывать, что если он произойдет, то он потеряет не только страховую сумму, но и премии.

Исходя из принципа финансовой эквивалентности и элементарных алгебраических преобразований можно записать следующие выражение:

Задание:

1. Определить единовременную нетто-ставку, предполагающую уплату взноса в начале срока страхования, если страховщик заключил договор страхование на дожитие с мужчиной х-летнего возраста на n лет. Страховая сумма договора составляет S млн.рублей.
2. Определить единовременную нетто-ставку и величину взноса, если мужчина, достигший х-летнего возраста решил оформить страховку на случай своей смерти сроком на n лет на сумму S млн.рублей.

№ варианта	x	n	S	i, %
1	45	5	2	5
2	20	50	7	6
3	80	10	10	7
4	55	20	5	8
5	63	7	1	9
6	18	72	3	10
7	22	28	12	11
8	33	33	0,5	12
9	70	10	3	13
10	85	5	8	14