Геометрические характеристики плоских сечений

Геометрические характеристики плоских сечений

Геометрические характеристики – числовые величины (параметры), определяющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородного по упругим свойствам деформируемого элемента конструкции (и, как следствие,

характеризующие сопротивление элемента различным видам деформации).

 

 

Площадь поперечного сечения

 - площадь поперечного сечения. Размерность  м2.

Статические моменты

 - статический момент относительно  оси х,

 - статический момент относительно  оси y.

Статический момент относительно данной оси – сумма произведений элементарных площадей dAна их расстояние до данной оси, взятая по всей площади сечения А.

На основании теоремы Вариньяна (из курса теоретической механики) следует, что

,       ,                 (1.4)

а для сложного сечения (состоящего из нескольких простых, каждое из которых имеет площадь Аi и координаты собственного центра тяжести yci , xci)

,  .                               (1.5)

Статический момент относительно какой-либо оси равен произведению всей площади фигуры на расстояние от ее центра тяжести до этой оси.

Размерность статических моментов площади  м3. Статические моменты площади могут быть положительны, отрицательны  и равные нулю. Оси, относительно которых статические моменты площади равны нулю, называются центральными осями (это две взаимноперпендику-лярные оси, проходящие через центр тяжести поперечного сечения).

 

         Осевые моменты инерции

 - осевой момент инерции относительно  оси х,

 - осевой момент инерции относительно  оси y.

Осевой момент инерции относительно рассматриваемой оси – сумма произведений элементарных площадей dA на квадрат их расстояний до этой оси, взятая по всей площади сечения А.

Осевые моменты инерции имеют размерность  м4 и всегда положительны

Центробежный момент инерции

 - центробежный момент инерции.

Центробежный момент инерции относительно осей координат – сумма произведений элементарных площадей dA на их расстояния до этих осей, взятая по всей площади сечения А.

Центробежный момент инерции имеют размерность  м4 и  может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными центральными осями.

Главные центральные оси  – это оси, осевые моменты инерции относительно которых принимают свои экстремальные значения (максимум и минимум).

Полярный момент инерции

                                                                                    (1.6)

.                   (1.7)

Полярный момент инерции относительно данной точки – сумма произведений элементарных площадей dA на квадраты их расстояний ( ) до этой точки, взятая по всей площади сеченияА.

Моменты сопротивления

Осевой момент сопротивления относительно рассматриваемой оси – величина равная моменту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию до наиболее удаленной от этой оси точки

;  .                                  (1.8)

Полярный момент сопротивления

                                                    (1.9)

Осевой и полярный моменты инерции имеют размерность м3.

Радиус инерции

Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, называется величина, определяемая из соотношения:

;  .                                   (1.10)

Вычисление геометрических характеристик простых фигур

Прямоугольное сечение.

Определим осевой момент инерции прямоугольника относительно оси х.

Разобьем площадь прямоугольника на элементарные площадки с размерами b (ширина) и dy (высота). Тогда площадь такого элементарного прямоугольника (заштрихована)  равна  . Подставляя значение dA в формулу для определения осевого момента инерции, получим:      

 

    (1.11)                                                                                                             

По аналогии запишем

.                                                (1.12)

 

Круглое сечение

Сначала удобно найти полярный момент инерции. Затем, учитывая, что для круга  , а  , найдем  .

Разобьем круг на бесконечно малые кольца толщиной d  и радиусом  ; площадь такого кольца  . Подставляя выражение для площади кольца в выражение для   и интегрируя, получим:    Тогда

                                  (1.13)

 

 

Лекция 2. Геометрические характеристики плоских сечений{jcomments on}

 

Основным объектом, изучаемым в курсе сопротивление материалов, является стержень.

Сопротивление стержня различным видам деформации часто зависит не только от его материалов и размеров, но и от очертаний оси, формы поперечных сечений и их расположения. Рассмотрим основные геометрические характеристики поперечных сечений бруса, определяющие сопротивление различным видам деформаций.

Статические моменты площади. Центр тяжести площади.

Рассмотрим произвольную фигуру (поперечное сечение бруса), связанную с координатными осями   и   (рис. 2.1). Выделим элемент площади   с координатами  ,  . По аналогии с выражением для момента силы относительно какой-либо оси можно составить выражения и для момента площади, которое называется моментом площади. Так, произведение элемента площади   на расстояние   от оси  .

                                                (2.1)

называется статическим моментом элемента площади относительно оси  .

Рис. 2.1

Аналогично:

                                                (2.2)

 

 

Просуммировав такие произведения по всей площади фигуры, получим соответственно статические моменты относительно осей   и  :

;                                           (2.3)

 

 

Пусть  ,   - координаты центра тяжести фигуры. Продолжая аналогию с моментами сил, на основании теоремы о моменте равнодействующей можно написать следующие выражения:

                                                    (2.4)

 

 

где   - площадь фигуры. Очевидно, что статические моменты площади относительно осей проходящих через центр тяжести (центральных осей) равны нулю.

Координаты центра тяжести:

                  .                                             (2.5)

В качестве примера вычислим статический момент треугольника (рис. 2.2) относительно оси, проходящей через основание. На расстоянии   от нее выделим элементарную площадку в виде полоски, параллельной оси  . Площадь полоски

.

Учитывая, что

,

имеем

. 

 

 

Рис. 2.2 

Еще проще решить эту задачу, пользуясь формулой (2.4).

Учитывая, что

;              ,

статический момент

Для вычисления статических моментов сложной фигуры ее разбивают на простые части (рис. 2.3), для каждой из которых известна площадь   и положение центра тяжести   и  . Статический момент площади всей фигуры относительно данной оси определяется как сумма статических моментов каждой части:

Рис. 2.3 

                          (2.6)

 

 

 

 

По формулам (2.5) и (2.6) легко найти координаты центра тяжести сложной фигуры:

;                                  (2.7)