Расчет балки стенки обратным методом

Задача 3

Тема:  Расчет балки стенки обратным методом

Условие: 

1. Проверить, является  ли заданна функция напряжений  бигармонической.

2. Найти выражения для  напряжений решаемой задачи. Построить  их эпюры вдоль координатных  осей x и y.

3. Из статических граничных  условий определить нагрузку, действующую  на каждую грань балки-стенки  и построить эпюру нагрузки.

4. Из полученных эпюр  определить положение опасных  точек и из условия прочности  определить допускаемое значение  параметра нагрузки q.

5. Определить перемещения  в балке-стенке.

Исходные данные:

Функция напряжений q(x,y):

a=1,25; *=a/b=0,8; Rp=0,040 МПа; Rc=0,5 МПа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Проверяем, является ли данная функция бигармонической.

 

Сначала находим 4ые производную и смотрим выполняется ли уравнение (1)

 

 

 

 

 

 

Теперь смешанная:

 

 

Т.е заданная функция является бигармонической.

2. Определение внутренних  усилий и построение их эпюр.

N_x = φ_,yy; N_y = φ_,xx;  N_x = -φ_,xy     (2)

Из (2) находим:  

                  N_y = -q            (3)

                 

 

Составим уравнение каждого  края для построения эпюр.

Уравнение верхнего края:

y = +b, подставляем в (3)

 

 

 

Для Nx имеем:

 

Уравнение нижнего края:

y = -b, подставляем в (3)

 

 

 

Для Nx имеем:

 

Уравнение левого края:

x = -a, подставляем в (3)

 

 

 

Для Nxy имеем:

 

Уравнение правого края:

x = +a, подставляем в (3)

 

 

 

Для Nxy имеем:

 

Уравнение вдоль оси y. x=0:

подставляем в (3):

 

 

 

Уравнение вдоль оси x. y=0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Определение нагрузки, действующей на балку стенку.

Граничные условия:

х = +- a  N_x=P_x    N_yx=P_yx

y = +- b  N_y=P_y    N_xy=P_xy

 Таким образом на краях балки стенки, внешние и внутренние усилия совпадают.

 Чтобы определить направление  нагрузки, используем правило знаков:

Внешние и внутренние усилия на краях  положительные, если они, как и внешняя  нормаль к краям балки стенки, имеют одинаковое или противоположное  направление с соответствующими координатными осями.

 

 

 

 

 

 

 

Для нормальной нагрузки:

положительная – растягивает

отрицательная – сжимает

 

 

 

 

 

 

 

4.Расчет на прочность

Находим точки, где усилия максимальны.

В итоге – левые и правые точки верхнего края

N_x = +- 0,8q   N_y = -q     N_xy = -q    (x=+-a , y=+b)

Определяем напряжение в опасных точках:

 

Далее главные напряжения:

 

 

 

Должно быть

Следовательно:

 

0

 

Пусть Rp=0,1Rc

Условие прочности Мора:

 

У нас:

 

 

 

5.Определение перемещений  балки-стенки.

Если известна функция усилий φ(x,y), то:

 

 

β₀ – жесткость балки-стенки на растяжение/сжатие

U₀, V₀, β, β₀ – постоянные интегрирования

U – перемещение в направлении оси x

V – перемещение в направлении оси x

Определим перемещения, считая эти  постоянные = 0. Мы узнаем как деформируется  незакрепленная балка-стенка.

 

 

 

Пусть μ = 0,17 (железобетон)

Обозначим:

 

Имеем

 *=a/b=0,8

 

 

Верхний край:  y = +b

 

x = -a

 

x = 0

 

x = +a

 

 

Левый край:  x = -a

 

 

y = -b

 

y = 0

 

y = +b

 

 

Правый край:  x = +a

 

 

y = -b

 

y = 0

 

y = +b

 

 

 

 

Нижний край:  y = -b

 

x = -a

 

x = 0

 

x = +a

 

 

 

Левый край:  x = -a

 

 

y = -b

 

y = 0

 

y = +b

 

 

Правый край:  x = +a

 

y = -b

 

y = 0

 

y = +b

 

 

 

~ ~