Расчет металлического баллона давления с кольцом, подкрепленного кольцевыми слоями композиционного материала

   (1.9)

Аналогично  найдем выражения для моментов. На базе линейного распределения напряжений σ_α, σ_β по высоте сечения оболочки и гипотезы о прямых нормалях имеем:

  (1.10)

Положительные направления моментов показаны на рис.7.

Рисунок 7 –  Положительные направления усилий, действующих в элементе нагруженной  оболочки

 

Суммируя  по высоте сечения соответствующие  касательные напряжения, определим  поперечные силы:

  (1.11)

Направления этих усилий совпадают с напряжениями.

Как следует  из уравнений (1.9) и (1.10) сдвигающие силы N_αβ и N_βα и крутящие моменты в двух взаимно перпендикулярных сечениях неодинаковы, так как R₁≠R₂. Только в случае сферической оболочки, когда R₁=R₂, условия равенства усилий имеют место. Однако влияние членов на величину усилий несущественно, так как зачастую z<<R, поэтому этими добавками можно пренебречь и получить, что

N_αβ = N_βα = N  и  M_αβ = M_βα = M.      (1.12)

Установленные в уравнениях (8)-(11) усилия являются компонентами полного моментного напряженного состояния.

Уравнения равновесия получаются из рассмотрения элемента (dα, dβ) оболочки с учетом условий равновесия, как это делалось ранее в теории тонких пластин:

 (1.13)

В эти  уравнения входят восемь неизвестных N_α, N_β, N, M_α, M_β, Q_α, Q_β и M.

 

1.4 Геометрические уравнения  теории оболочек

Необходимо  связать геометрические параметры: перемещения и деформации. Для этого рассматривается конечный элемент трехмерного тела, а затем (как и в случае тонких пластин) на базе гипотез проводится аналогия между U, V, W и ε_α  ε_β ε_γ

Полная  деформация:

ε=ε_αl² + ε_βm² + ε_γn² + γ_αβ lm + γ_βγmn +γ_γαnl,    (1.14)

 

где l=Cos(dS,x), m=Cos(dS,y), n=Cos(dS,z), а

Здесь А, В и С – коэффициенты искажения, преобразующие криволинейные отрезки координатных линий в линейные. Или в сокращенной форме:

ε_α = ε_α0 +zχ_α; ε_β = ε_β0 +zχ_β; γ_αβ = γ₀ χ,     (1.15)

где задействованы  линейные и угловые деформации срединной  поверхности оболочки, выражения  для которых приведены ниже:

Смысл полученных выражений: изменения размеров элемента срединной поверхности оболочки определяются системой уравнений (1.16), т.е. относительными удлинениями ε_α0 и ε_β0, а также относительным сдвигом γ₀. Но этих величин мало для определения деформации всего элемента, так как он может получить искривления. Эти искривления характеризуются изменением кривизны, как в направлении α (χ_α), так и в направлении β (χ_β), а также “кручением” (χ).

 

1.5 Физические уравнения  общей теории оболочек

В результате использования статической гипотезы, когда напряженное состояние оболочки определяется только нормальными напряжениями σ₁,σ₂ и сдвиговыми напряжениями τ₁₂, из объединенного закона Гука имеем:

(1.17)

Полученные  в (17) напряжения связаны с усилиями:

В результате физические соотношения, связывающие  усилия и деформации, будут иметь  вид:

    (1.18)

где ε – деформации, χ – кривизны и кручение, С – мембранные жесткости, К- смешанные жесткости, D – изгибные жесткости оболочки.

Система уравнений образует физические уравнения  общей теории упругих оболочек, а  полученные 19 уравнений включают 19 неизвестных, т.е. три усилия N, три момента M, две перерезывающие силы Q, три деформации ε, две кривизны и одно кручение χ, два угла поворота θ, три перемещения U, V, W.

 

1.6 Граничные условия  в общей теории оболочек

Для определения  произвольных постоянных, содержащихся в общем интеграле дифференциальных уравнений теории упругих оболочек, используются граничные условия, т.е. значения расчетных величин в зависимости от способа закрепления краев оболочки. Рассмотрим наиболее распространенные способы их закрепления:

- жестко заделанный край - напряженное состояние на крае α=const (аналогично на крае β=const) определяется четырьмя условиями: прогибы и перемещения отсутствуют (U=0, V=0, W=0), а также углы поворота плоскости сечения

- свободный край – напряженное состояние на крае α=const (аналогично на крае

 

β=const) определяется четырьмя условиями:

N_α=0,   M_α=0,   

Здесь и - погонные обобщенные перерезывающие и сдвигающие силы;

- шарнирно опертый край (например, по линии α=const) – W=0, U=0, M_α=0, V=0.

- свободное опирание (например, по линии β=const) – W=0, M_β=0, U=0, N_β=0;

- шарнирно опертый край, имеющий возможность свободно смещаться в касательной плоскости – W=0, M_β=0, N_β=0, N=0.

 

2 БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ  ОБОЛОЧЕК

2.1 Уравнения, описывающие  оболочку

Рассмотрим  цилиндрическую оболочку (рис.8) и элемент abcd ее поверхности, образованный пересечением двух меридианов (образующих цилиндра, определяемых центральным углом dθ) и двух параллельных окружностей, разделенных расстоянием dx. Используем цилиндрическую систему координат (x,θ). Квадрат линейного элемента dS поверхности равен:

DS²=dx²+R²dθ².        (2.1)

Следовательно, коэффициенты квадратичной формы A=1, B=R=const, а R₁=∞ и R₂=R.

Рисунок 8 – Цилиндрическая оболочка (а) и представление ее безмоментного состояния

Уравнения безмоментной теории для цилиндрической оболочки примут вид:

       (2.2)

Кольцевые усилия N_β зависят лишь от величины нормальной составляющей

 

 

 

 

нагрузки. Подставим  третье уравнение системы (2.2) во второе и определим сдвигающее усилие N.

. (2.3)

Определив N, находим интегрированием N_α из первого уравнения системы (2.2).

.     (2.4)

Геометрические  уравнения цилиндрической оболочки при уже отмеченных условиях, определяющих ее параметры и замене координат α на x и β на θ.

     (2.5)

Компоненты  произвольной внешней нагрузки могут  быть представлены в виде разложений в ряды Фурье:

  (2.6)

Здесь n принимает значения 0, 1, 2, 3…, p_1n, p_2n и p_3n – известные коэффициенты разложения функции, зависящие только от х. При n=0 нагрузка имеет осесимметричный характер.

В дальнейшем будем рассматривать лишь один какой-нибудь член ряда. Для n-го члена можно записать:

p₁=p_1nCosnθ,  p₂=p_2nSinnθ,  p₃=p_3nCosnθ.    (2.7)

Непосредственно из третьего уравнения системы (2.2) получаем:

N_β= p_3nCosnθ R.        (2.8)

Так как  , то из (2.2) определим сдвигающую нагрузку:

     (2.9)

 

Найдем  производную 

и подставим  ее в уравнение (2.4).

 (2.10)

В частном  случае, когда p_1n=0, p_2n=const и p_3n=const можно легко провести интегрирование уравнений (2.9) и (2.10), а задав C₁(θ)=D₁Sin θ и C₂(θ)=D₂Cos θ, где D₁ и D₂ – произвольные постоянные, можно получить выражение для усилий:

   (2.11)

В общем  случае N, N_α, функции C₁(θ) и С₂(θ), а в частном случае D₁ и D₂  (2.11) определяются из граничных условий.

Определим перемещения оболочки при нагрузке, заданной в частном случае (p_1n=0, p_2n=const, p_3n=const). Имеем:

      (2.12)

Для нахождения относительных деформаций в выбранной  системе координат при рассмотрении деформации выделенного элемента  получим выражение для продольной относительной деформации:

.     (2.13)

Если  в этом выражении ограничиться только первым линейным членом, то

.         (2.14)

 

Компонент деформации в окружном направлении  определится как

.      (2.15)

Из закона Гука для двухосного напряженного состояния следует, что

.

Тогда

.    (2.16)

2.2 Осесимметричная деформация  ортотропной слоистой цилиндрической оболочки

Для системы  относительных поверхностных координат  вдоль образующей и в кольцевом  направлении имеем α = x/R и β=y/R. Тогда выражение для первой квадратичной формы примет следующий вид:

,

где коэффициенты первой квадратичной формы являются постоянными и равны 

A=B=R , при этом R₁=∞,  а R₂=R.

Для осесимметричного нагружения имеем следующие перемещения  в оболочке:

U=U(α), W=W(α), V=0.

При компонентах  внешней нагрузки q_α=q_β=0 основные соотношения теории цилиндрической безмоментной оболочки имеют вид:

Геометрические  соотношения:

 

   (2.17)

Физические  соотношения:

     (2.18)

Уравнения равновесия:

 (2.19)

Итак, полученная система из шести уравнений имеет шесть неизвестных:

Решение полученной системы уравнений ведется  в перемещениях. Из первых двух уравнений равновесия (2.20) определяются N_α и Q_α и подставляются в третье. Далее в полученные уравнения подставляются в оставшиеся выражения,  в результате чего получаются уравнения равновесия в перемещениях:

Исключив  из них перемещение U, т.е. из (2.21) находим

.      (2.23)

Подставим (2.22) в (2.23)  и с учетом того, что С₁₂=С₂₁, а также смешанные жесткости К₁₂=К₂₁, получаем уравнение относительно прогибов W:

или    

,    (2.24)

где

Полученное  уравнение (2.24) представляет собой основное уравнение для осесимметрично нагруженной  ортотропной оболочки.

В случае однородной по толщине (однослойной) оболочки уравнение для прогибов будет  иметь вид:

 

,        (2.25)

где  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 РАСЧЁТ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

В данной работе рассматривается двухслойная  оболочка, усиленная по средней части  металлическим кольцом. Оболочка состоит из двух слоев: ортотропного (композитного) и изотропного (металлического) (рисунок 9).

Данные  для расчёта представлены в таблице 1.

Таблица 1 – Данные для выполнения расчетного задания

Вариант	R, мм	P, МПа.	Внутренний слой		Наружний слой		Fk, мм2
			h1, мм	материал	h2, мм	материал
01	100	5	1,0	Алюминиевый сплав Е=72000 ГПа. m=0,3	1,5	Стеклопластик, φ=90º Е1 =57 ГПа Е2 =9 ГПа. m21 =0,21	100

 

Рисунок 9 –  Двухслойная структура оболочки баллона давления

Определим характеристики материалов двухслойной оболочки – приведенные модули упругости металлического и композиционного материала.

Для металла: _m

Для композитаmm

mm

 

 

 

 

_mm

Определим все  жесткости, которые будут входить  в уравнение изгиба оболочки.

С₁₁ = Е∙h₁ + Е₂∙h₂ = 70993 МПа∙мм

С₁₂ = Е∙h₁∙m + Е₂∙h₂∙m₂₁ =26591 МПа∙мм

С₂₂ = Е∙h₁ + Е₁∙h₂ = 165217 МПа∙мм

К₁₁ =1/2∙[Е∙h₁²+E₂∙h₂(2∙h₁+h₂)] = 63350 МПа∙мм²

К₁₂ =1/2·(Е·h₁²·m+Е₂·h₂·m₂₁ (2∙h₁+h₂)) = 14009 МПа∙мм²