Автокорреляционная функция. Спектральная плотность сигнала. Типичные сценарии перехода к хаосу

Автокорреляционная функция. Спектральная плотность сигнала.                                          Типичные сценарии перехода к хаосу.

 

ВВЕДЕНИЕ

Корреляция (correlation) -  статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин.

Корреляция является методом анализа сигналов. Приведем один из вариантов использования метода. Допустим, что имеется сигнал s(t), в котором может быть (а может и не быть) некоторая последовательность x(t) конечной длины Т, временное положение которой нас интересует. Для поиска этой последовательности в скользящем по сигналу s(t) временном окне длиной Т вычисляются скалярные произведения сигналов s(t) и x(t). Тем самым мы "прикладываем" искомый сигнал x(t) к сигналу s(t), скользя по его аргументу, и по величине скалярного произведения оцениваем степень сходства сигналов в точках сравнения.

Корреляционный анализ дает возможность  установить в сигналах (или в рядах цифровых данных сигналов) наличие определенной связи изменения значений сигналов по независимой переменной, то есть, когда большие значения одного сигнала (относительно средних значений сигнала) связаны с большими значениями другого сигнала (положительная корреляция), или, наоборот, малые значения одного сигнала связаны с большими значениями другого (отрицательная корреляция), или данные двух сигналов никак не связаны (нулевая корреляция).

В функциональном пространстве сигналов эта степень связи может выражаться в нормированных единицах коэффициента корреляции, т.е. в косинусе угла между векторами сигналов, и, соответственно, будет принимать значения от 1 (полное совпадение сигналов) до -1 (полная противоположность) и не зависит от значения (масштаба) единиц измерений. 

В варианте автокорреляции (autocorrelation) по аналогичной методике производится определение скалярного произведения сигнала s(t) с собственной копией, скользящей по аргументу. Автокорреляция позволяет оценить среднестатистическую зависимость текущих отсчетов сигнала от своих предыдущих и последующих значений (так называемый радиус корреляции значений сигнала), а также выявить в сигнале наличие периодически повторяющихся элементов.

Особое значение методы корреляции имеют при анализе случайных процессов для выявления неслучайных составляющих и оценки неслучайных параметров этих процессов.

 

АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СИГНАЛОВ

Понятие автокорреляционных функций сигналов.

Автокорреляционная функция (АКФ, CF - correlation function) сигналов s(t), конечного по энергии, является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, АКФ определяется интегралом от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время:

 

(1)

 

  Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига τ. Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при τ = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала и является максимально возможным (косинус угла взаимодействия сигнала с самим собой равен 1):

 

	(2)

АКФ относится к четным функциям, в чем нетрудно убедиться заменой переменной t = t- τ в выражении:

 

(3)

 

Максимум АКФ, равный энергии сигнала  при τ =0, всегда положителен, а модуль АКФ при любом значении временного сдвига не превосходит энергии сигнала.

В качестве примера на рисунке 1 приведены два сигнала – прямоугольный импульс и радиоимпульс одинаковой длительности Т, и соответствующие данным сигналам формы их АКФ.

Амплитуда колебаний радиоимпульса  установлена равной T амплитуды прямоугольного импульса, при этом энергии сигналов также будут одинаковыми, что подтверждается равными значениями центральных максимумов АКФ. При конечной длительности импульсов длительности АКФ также конечны, и равны удвоенным значениям длительности импульсов (при сдвиге копии конечного импульса на интервал его длительности как влево, так и вправо, произведение импульса со своей копией становится равным нулю). Частота колебаний АКФ радиоимпульса равна частоте колебаний заполнения радиоимпульса (боковые минимумы и максимумы АКФ возникают каждый раз при последовательных сдвигах копии радиоимпульса на половину периода колебаний его заполнения).

 

Рисунок 1 – АКФ для прямоугольного импульса и радиоимпульса одинаковой длительности Т.

 

АКФ сигналов, ограниченных во времени.

На практике обычно исследуются и анализируются сигналы, заданные на определенном интервале. Для сравнения АКФ сигналов, заданных на различных временных интервалах, практическое применение находит модификация АКФ с нормировкой на длину интервала. Так, например, при задании сигнала на интервале [a, b]:

 

(4)

АКФ периодических сигналов,

Энергия периодических  сигналов бесконечна, поэтому АКФ  периодических сигналов вычисляется  по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения сигнала и его сдвинутой копии в пределах периода:

(5)

 

При τ=0 значение нормированной на период АКФ равно средней мощности сигналов в пределах периода. При этом АКФ периодических сигналов является периодической функцией с тем же периодом Т.

С помощью функций автокорреляции можно проверять наличие периодических свойств в любых произвольных сигналах. Пример автокорреляционной функции периодического сигнала приведен на рисунке 2.

 

Рисунок 2 – Уравнение сигнала  и его автокорреляционной функции

 

Функции автоковариации (ФАК).

Они вычисляются аналогично, по центрированным значениям сигнала. Замечательной особенностью этих функций являются их простые соотношения с дисперсией σ²_s сигналов (квадратом стандарта - среднего квадратического отклонения значений сигнала от среднего значения). Как известно, значение дисперсии равно средней мощности сигналов, откуда следует:

(6)

 

Значения ФАК, нормированные на значение дисперсии, представляют собой функцию автокорреляционных коэффициентов:

 

(7)

 

Иногда эту функцию называют "истинной" автокорреляционной функцией. В силу нормировки ее значения не зависят от единиц (масштаба) представления значений сигнала s(t) и характеризуют степень линейной связи между значениями сигнала в зависимости от величины сдвига τ между отсчетами сигнала. Значения ρ_s(τ) = cosφ(τ) могут изменяться от 1 (полная прямая корреляция отсчетов) до -1 (обратная корреляция).

На рисунке 3 приведен пример сигналов s(k) и s1(k) = s(k)+шум с соответствующими этим сигналам коэффициентами ФАК - ρs и ρs1. Как видно на графиках, ФАК уверенно выявила наличие периодических колебаний в сигналах. Шум в сигнале s1(k) понизил амплитуду периодических колебаний без изменения периода. Это подтверждает график кривой Cs/σs1, т.е. ФАК   сигнала s(k) с нормировкой (для сопоставления) на значение дисперсии сигнала s1(k), где наглядно можно видеть, что шумовые импульсы при полной статистической независимости своих отсчетов вызвали увеличение значения Сs1(0) по отношению к значению Cs(0) и несколько "размыли" функцию коэффициентов автоковариации. Это вызвано тем, что значение ρ_s(τ) шумовых сигналов стремится к 1 при τ → 0 и флюктуирует относительно нуля при τ ≠ 0, при этом амплитуды флюктуаций статистически независимы и зависят от количества выборок сигнала (стремятся к нулю при увеличении количества отсчетов).

 

Рисунок 3 – Пример сигналов с соответствующими этим сигналам коэффициентами функции  автоковариации

 

АКФ дискретных сигналов.

При интервале дискретизации данных Δt = const вычисление АКФ выполняется по интервалам Δτ = Δt и обычно записывается, как дискретная функция номеров n сдвига отсчетов n Δτ:

 

(8)

 

Дискретные сигналы обычно задаются в виде числовых массивов определенной длины с нумерацией отсчетов к = 0,1,…К при Δt=1, а вычисление дискретной АКФ в единицах энергии выполняется в одностороннем варианте с учетом длины массивов. Если используется весь массив сигнала и число отсчетов АКФ равно числу отсчетов массива, то вычисление выполняется по формуле:

(9)

 

Множитель K/(K-n) в данной функции  является поправочным коэффициентом на постепенное уменьшение числа перемножаемых и суммируемых значений по мере увеличения сдвига n. Без этой поправки для нецентрированных сигналов в значениях АКФ появляется тренд суммирования

средних значений. При измерениях в единицах мощности сигнала множитель К/(K-n) заменяется на множитель 1/(K-n).

Формула (9) применяется довольно редко, в основном для детерминированных сигналов с небольшим числом отсчетов. Для случайных и зашумленных сигналов уменьшение знаменателя (K-n) и числа перемножаемых отсчетов по мере увеличения сдвига приводит к нарастанию статистических флюктуаций вычисления АКФ. Большую достоверность в этих условиях обеспечивает вычисление АКФ в единицах мощности сигнала по формуле:

 

(10)

 

т.е. с нормированием на постоянный множитель 1/K и с продлением сигнала нулевыми значениями (в левую сторону при сдвигах k-n или в правую сторону при использовании сдвигов k+n). Эта оценка является смещенной и имеет несколько меньшую дисперсию, чем по формуле (9). Разницу между нормировками по формулам (9) и (10) можно наглядно видеть на рисунке 4.

 

Рисунок 4 - Разницу между нормировками по формулам (9) и (10)

 

Практически, дискретная АКФ имеет  такие же свойства, как и непрерывная АКФ. Она также является четной, а ее значение при n = 0 равно энергии или мощности дискретного сигнала в зависимости от нормировки.

 

АКФ зашумленных сигналов.

Зашумленный сигнал записывается в  виде суммы v(k) = s(k)+q(k). В общем случае, шум не обязательно должен иметь  нулевое среднее значение, и нормированная по мощности автокорреляционная функция цифрового сигнала, содержащая N – отсчетов, записывается в следующем виде:

 

(11)

 

(11’)

 

Пример зашумленного сигнала и его АКФ в сопоставлении с не зашумленным сигналом приведен на рисунке 5. Из формул (11) следует, что АКФ pасшумленного сигнала состоит из АКФ сигнальной компоненты полезного сигнала с наложенной затухающей до значения 2 S_k q_k +2 q_k² шумовой функцией. При больших значениях K, когда q_k → 0, имеет место Bv(n) ≈ Bs(n). Это дает возможность не только выделять по АКФ периодические сигналы, практически полностью скрытые в шуме (мощность шумов много больше мощности сигнала), но и с высокой точностью определять их период и форму в пределах периода.

 

Рисунок 5 - Пример зашумленного сигнала и его АКФ в сопоставлении с не зашумленным сигналом

 

Кодовые сигналы.

Являются разновидностью дискретных сигналов. На определенном интервале кодового слова М∙Δt они могут иметь только два амплитудных значения: 0 и 1 или 1 и –1. При выделении кодов на существенном уровне шумов форма АКФ кодового слова имеет особое значение. С этой позиции наилучшими считаются такие коды, значения боковых лепестков АКФ которых минимальны по всей длине интервала кодового слова при максимальном значении центрального пика. К числу таких кодов относится код Баркера, приведенный в таблице 1.

 

 Таблица 1- Код Баркера.

 

Как видно из таблицы, амплитуда  центрального пика кода численно равна  значению М, при этом амплитуда боковых  осцилляций при n ≠ 0 не превышает 1.

 

СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СИГНАЛА

Пусть сигнал s(t) задан в виде непериодической функции, причем он существует только на интервале (t₁ ,t₂) (пример - одиночный импульс). Выберем произвольный отрезок времени T, включающий в себя интервал (t₁ ,t₂) (рисунок 6).

Рисунок 6 – Одиночный импульс

 

Обозначим периодический  сигнал, полученный из s(t), в виде s_T(t). Тогда для него можно записать ряд Фурье:

 

(12)

Где:

Подставим выражение  для С_n в ряд:

 

(13)

 

Для того, чтобы перейти к функции s(t) следует в выражении s_T(t) устремить период к бесконечности. При этом число гармонических составляющих с частотами w =n2p /T  будет бесконечно велико, расстояние между ними будет стремиться к нулю: