Теория массового обслуживания

 

; (3)

 

абсолютная пропускная способность:

 

А = ql; (4)

 

среднее число заявок, находящихся в очереди:

 

; (5)

 

среднее число заявок, находящихся под обслуживанием:

 

 (6)

 

среднее число заявок, находящихся  в системе(связанных с СМО):

 

; (7)

 

среднее время пребывания заявки в  системе:

 

Т_сист.= Т_ож. + t_об; (8)

 

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

 

. (9)

 

Если имеется неограниченное число  мест ожидания в очереди m, то вышеуказанные формулы справедливы только при ρ < 1, так как при ρ 1 нет установившегося режима (очередь неограниченно растет) и при q=1, A=λq=λ.

Многоканальная  модель  СМО с ожиданием

Процесс массового обслуживания при  этом характеризуется следующим: входной  и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями l и m соответственно; параллельно обслуживаться могут не более n клиентов. Система имеет n каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна 1/m.

 

Рис.3. Граф состояний многоканальной СМО с ожиданием

 

Состояния системы будем нумеровать по числу заявок, связанных с системой:

По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью λ, по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживаний, интенсивность которого равна µ, умноженному на число занятых каналов.

Решение будет действительным, если выполняется следующее условие: .

Вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим  формулам.

Вероятность того, что все посты  свободны:

при неограниченной длине очереди:

 (10)

 

при длине очереди ограниченной числом m:

; (11)

вероятность отказа система (все посты  заняты, все места в очереди  заняты):

; (12)

 

вероятность того, что занято k постов и r постов ожидания:

; (13)

; (14)

 

среднее число заявок в очереди:

, (15)

где  ;

 

среднее число занятых каналов:

 (16)

складывая среднее число заявок в очереди  и среднее число занятых каналов , получим среднее число заявок, связанных с системой:

 

; (17)

 

среднее время ожидания заявки в  очереди:

; (18)

 

средняя продолжительность пребывания заявки в системе:

t_сист = +1/m.. (19)

 

Условие выполнения задачи

 

Система массового  обслуживания представляет собой СТО, на котором имеется:

• 1 пост диагностирования автомобилей (Д);
• 1 пост развала-схождения (РС);
• n постов по ремонту автомобилей (Р).

На СТО  поступает поток автомобилей  с интенсивностью λ автомобилей в час.

Характеристики  постов следующие:

Пост	Максимально возможная очередь на посту	Среднее время обслуживания постом, мин	Процент от общего числа автомобилей, поступающих на различные посты
1	2	3	4
Д	m1	a	d %
РС	m2	b	e %
Р	m3	c	f %

 

Кроме того, было выявлено, на СТО поступают  автомобили различных марок, с разными  отказами.

 

Марка	Процент от общего числа автомобилей, поступающих на различные посты	Стоимость проведения диагностирования, у.е.	Стоимость проведения развала-схождения, у.е.
1	2	3	4
ВАЗ	50%	G	j
ГАЗ	20%	H	k
Иномарки	30%	I	l

 

Для разных марок имеется установленная  стоимость:

Процент отказов по системам
ДВС	КПП и трансм.	Сист. пит	Эл. об.	прочие
1	2	3	4	5
25%	20%	15%	15%	25%
25%	30%	10%	10%	25%
20%	30%	15%	5%	30%

 

Проводя массовые наблюдения было установлено, что в среднем o % после прохождения диагностики направляются в ремонт, из них с отказами по системам:

60% – ДВС;

30% – система питания;

10% – электрооборудования.

Кроме того, было выявлено, что p% автомобилей после ремонта отправляются на пост РС.

Необходимо определить:

Доход, полученный СТО за 30 дней при 12  часовом рабочем дне.

Среднее время простоя в очереди  на постах Д, РС и Р.

Среднее число занятых постов ремонта.

Возможную выгоду, которая могла  быть если бы не было отказов автомобилей  в вышеперечисленных услугах  автомобилей за 30 дней при 12  часовом  рабочем дне.

Пояснение.

Для решения  этой задачи необходимо сделать три  расчета:

1. Рассчитать одноканальную систему с ожиданием (диагностика).
2. Рассчитать многоканальную систему с ожиданием (ремонт).
3. Рассчитать одноканальную систему с ожиданием (развал/схождение).

Выходы из одних постов могут быть частично (дано в % в условии) входами в другие подсистемы.  Их надо добавить к входящему потоку в данную подсистему.

В расчетах необходимо выйти  на  абсолютную пропускную способность (А), а потом от нее брать соответствующие доли потоков для расчетов потоков в другие посты (согласно условию). Абсолютная пропускная способность позволит рассчитать и количество отказов по маркам автомобилей и по видам технических воздействий.

Зная цену соответствующего вида услуг и значения абсолютной пропускной способности  можно определить доходы системы.

 

РАСЧЁТ ОДНОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ  С ОЖИДАНИЕМ (ДИАГНОСТИКА)

 

№ вар.	λ	n	m1	m2	m3	a	b	C	d	e	F	G	H	I	J	K	l	O	p
1	8	8	5	2	3	19	31	101	12	7	81	32	30	39	20	15	32	25	19

Пользуясь уравнениями для процесса гибели и размножения получим:

Тогда вероятность что занят 1 канал  и k-1 мест в очереди:

 

Вероятность отказа в обслуживании заявки:

 

Относительная пропускная способность системы:

Абсолютная пропускная способность:

А = 0,3938×8 = 3,15

Среднее число  заявок, находящихся в очереди:

Среднее число заявок, находящихся под обслуживанием:

 

Среднее число заявок, находящихся в системе(связанных с СМО):

 

Среднее время пребывания заявки в системе:

Т_сист.= Т_ож. + t_об = 1,087 + 0,32= 1,404 

Средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

. 

Если имеется неограниченное число  мест ожидания в очереди m, то вышеуказанные формулы справедливы только при ρ < 1, так как при ρ 1 нет установившегося режима (очередь неограниченно растет) и при q=1, A=λq=λ.

РАСЧЁТ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ОЖИДАНИЕМ (РЕМОНТ)

 

Вероятность того, что все посты  свободны:

при неограниченной длине  очереди:

_{= -0,00011}

при длине очереди ограниченной числом m:

вероятность отказа система (все посты заняты, все места в очереди заняты):

Вероятность того, что занято k постов и r постов ожидания:

 

Среднее число заявок в очереди:

 

где  ;

 

Среднее число занятых каналов:

 

складывая среднее число  заявок в очереди  и среднее число занятых каналов , получим среднее число заявок, связанных с системой:

 

; 

 

Среднее время ожидания заявки в очереди:

; 

 

Средняя продолжительность пребывания заявки в системе:

 

 

РАСЧЁТ ОДНОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ  С ОЖИДАНИЕМ (РАЗВАЛ-СХОЖДЕНИЕ)

 

Пользуясь уравнениями для процесса гибели и размножения получим:

Тогда вероятность что занят 1 канал  и k-1 мест в очереди:

Вероятность отказа в обслуживании заявки:

Относительная пропускная способность системы:

Абсолютная пропускная способность:

А = 0,239×8 = 1,915

Среднее число  заявок, находящихся в очереди:

Среднее число заявок, находящихся под обслуживанием:

 

Среднее число  заявок, находящихся в системе(связанных  с СМО):

 

Среднее время пребывания заявки в системе:

Т_сист.= Т_ож. + t_об = 0,2132 + 0,52= 0,73 

Средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

. 

Если имеется неограниченное число  мест ожидания в очереди m, то вышеуказанные формулы справедливы только при ρ < 1, так как при ρ 1 нет установившегося режима (очередь неограниченно растет) и при q=1, A=λq=λ.