Балансовые модели экономики. Модель Леонтьева

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Балансовые модели экономики. Модель Леонтьева

 

 

 

1. Модель Леонтьева межотраслевого  баланса

 

Эффективное ведение народного хозяйства предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядности выражения взаимной связи между отраслями пользуются определённого вида таблицами, называемыми таблицами межотраслевого баланса. Идея таких таблиц была сформулирована в работах русских экономистов, а первая таблица была опубликована ЦСУ в 1926 году. Однако вполне развитая математическая модель межотраслевого баланса, допускающая широкие возможности анализа, появилась позже (1936 г.) в трудах американского экономиста русского происхождения В. Леонтьева. Изложим наиболее простой вариант такой модели, сохраняющий её основное математическое содержание.

Вся экономика страны представляется в виде n «чистых», однородных отраслей, взаимодействующих между собой. Разумеется, такое представление об отрасли является в значительной степени абстракцией, так как в реальной экономике отрасль определяется не только названием выпускаемого продукта, но и ведомственной принадлежностью своих предприятий. Будем вести речь о некотором определённом промежутке времени [T0, T1], обычно рассматривается процесс производства за один год.

Введём следующие обозначения.

Пусть xi – общий объём продукции i – й отрасли за данный промежуток времени – так называемый валовой выпуск отрасли i;

xij – объём продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства;

yi – объём конечной продукции i – й отрасли для непроизводственного, конечного потребления. Этот объём составляет обычно более 75% всей произведённой продукции. В него входят: создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т.д.), поставки на экспорт.

Указанные величины можно свести в таблицу.

 

Производственное потребление	Конечное потребление	Валовой выпуск
x11 x12…..x1n x21 x22…x2n ………………. xn1 xn2…xnn	y1 y2 … yn	x1 x2 … xn

леонтьев межотраслевой балансовый экономика

Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при любом i = 1,…, n должно выполняться соотношение (равенство–баланс):

 

(1)

 

В нормально функционирующей экономике должно быть сбалансирован объём, производимый отраслями продукции, и внутриотраслевое потребление вместе с конечным потреблением (свободный рынок). Будем называть (1) уравнением баланса. Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки, киловатт-часы и т.п.) или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевой балансы. Для определённости в дальнейшем будем иметь в виду стоимостной баланс.

Балансовое уравнение содержит две неизвестные величины xi и xij и одну известную – конечное потребление yi и, вследствие этого (не хватает уравнений) уравнение (1) не имеет единственного решения, и поэтому не может быть использовано для моделирования процессов сбалансированности процессов производства и потребления. В. Леонтьев, рассматривая развитие американской экономики в предвоенный период, обратил внимание на важное обстоятельство. А именно, величина , показывающая затраты продукции i – й отрасли на единицу продукции j-й отрасли, сохраняет приблизительно постоянное значение в течение нескольких лет, что связано с технологиями производства, которые меняются сравнительно медленно. Итак, будем полагать, что aij = const. В соответствии со сказанным сделаем такое допущение: для выпуска любого объёма xj продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве , где aij = const. Другими словами, материальные издержки пропорциональны объёму производимой продукции. Это допущение постулирует, как говорят, линейность существующей технологии. Принцип линейности распространяется и на другие виды издержек, например, на оплату труда, а также на нормативную прибыль. Итак, согласно гипотезы линейности, имеем:

 

(2)

 

Коэффициенты aij называются коэффициентами прямых затрат (коэффициентами материалоёмкости)

В предположении линейности соотношение (1) принимает вид:

 

(3)

 

Уравнение (3) уже содержит одну неизвестную xi, и поэтому оно может быть использовано для моделирования (планирования) процессов сбалансированности процессов производства и потребления.

Перейдём к матрично-векторному описанию поставленной задачи. Пусть

– вектор валового выпуска, – матрица прямых затрат (структурная матрица), – вектор конечного продукта, тогда уравнение (3) получает матричный вид:

 

(4)

 

Соотношение (4) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы A и векторов X, Y это соотношение называют также моделью (уравнением) Леонтьева.

Уравнение межотраслевого баланса можно использовать для целей планирования. В этом случае задача ставится так: для предстоящего планового периода [T0, T1] задаётся вектор Y конечного потребления. Требуется определить вектор X валового выпуска. Другими словами, нужно решить задачу: сколько следует производить продукции различных видов, чтобы обеспечить заданный уровень конечного потребления? В этом случае необходимо решить систему линейных уравнений (4) с неизвестным вектором X при заданной матрице A и векторе Y. При этом нужно иметь в виду следующие особенности системы (4):

Все компоненты матрицы A и вектора Y неотрицательны (это вытекает из экономического смысла A и Y). Для краткости, когда будем говорить о неотрицательности самой матрицы A и вектора Y, то записывать это будем так: A≥0, Y≥0.

Все компоненты вектора X также должны быть неотрицательными X≥0.

Обратим внимание на смысл коэффициентов aij прямых затрат в случае стоимостного (а не натурального) баланса. В этом случае из (2) видно, что aij совпадает со значением xij при xj = 1 (1 рубль). Таким образом, aij есть стоимость продукции отрасли i, вложенной в 1 руб. продукции j-й отрасли.

 

2. Продуктивные модели  Леонтьева

 

Определение. Матрица A ≥0 (все элементы неотрицательны) называется продуктивной, если для любого Y≥0 существует неотрицательное решение Х≥0 любого из уравнений

 

(5)

 

Уравнение эквивалентно уравнениям:

 

(5’)

 

В этом случае и модель Леонтьева, определяемая матрицей A, также называется продуктивной.

Итак, модель Леонтьева продуктивна, если любой вектор Y≥0 конечного потребления можно получить при подходящем валовом выпуске X≥0.

Существует несколько критериев продуктивности структурной матрицы. Приведем некоторые из них.

Первый критерий продуктивности.

Теорема 1 (первый критерий продуктивности). Если A ≥0 и для некоторого положительного вектора Y* (Y*>0) уравнение (5) имеет решение X*≥0, то матрица A продуктивна (теорему не доказываем).

Заметим, что на самом деле X*>0, что следует из уравнения: и его составляющих: A ≥0, X*≥0, Y*>0.

Второй критерий продуктивности.

Уравнение Леонтьева (5) можно записать в следующем виде:

, (6)

 

где E – единичная матрица. Возникает, естественно, вопрос об обращении матрицы (E–A). Ясно, что если обратная матрица (E–A)-1 существует, то из (6) вытекает

 

(7)

 

Матрица (E–A)-1 называется матрицей полных затрат.

Следующая теорема даёт более эффективное условие продуктивности, чем теорема 1.

Теорема 2 (второй критерий продуктивности). Матрица A≥0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E–A)-1 существует и неотрицательна.

Доказательство.

а). Пусть матрица (E–A)-1 существует и неотрицательна (≥0), тогда произведение двух матриц из формулы (7) ≥ 0, поскольку Y≥ 0, откуда следует продуктивность матрицы A и, следовательно, существование неотрицательного решения X≥0.

б). Обратно, пусть матрица A продуктивна, покажем, что существует обратная матрица (E–A)-1≥0.

Рассмотрим следующие матричные системы уравнений:

 

,

 

где e1, e2,…, en – векторы-столбцы единичной матрицы. Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы A имеет неотрицательное решение, т.е. существуют такие векторы-столбцы c1 ≥0, c2≥0,…, cn≥0, что

 

(8)

 

Обозначим через C матрицу, составленную из столбцов c1, c2,…, cn. Тогда вместо равенств (8) можно написать одно матричное уравнение:

 

.

 

Следовательно, матрица (E–A) имеет обратную C, причём C≥0, т.к. все её столбцы c1 ≥0, c2≥0,…, cn≥0, которую принято обозначать, C = (E–A)-1.

Доказательство теоремы полностью завершено.

Третий критерий продуктивности.

Продолжим анализ продуктивности модели В. Леонтьева.

Пусть a некоторое число. Рассмотрим числовой ряд:

 

1+ a+ a2+…,

 

если ׀ a׀ <1, то ряд представляет собой бесконечно убывающую прогрессию, и её сумма равна (1 – a)-1. Покажем, что аналогичная формула имеет место, когда a заменяется матрицей A.

Лемма. Если бесконечный ряд из матриц

 

E + A + A2 +… +An +… (9)

 

сходится, то его сумма есть матрица (E – A)-1.

Доказательство. Пусть ряд (9) сходится. Вначале покажем, что в этом случае матрица (Е – А) имеет обратную матрицу, т.е. (Е – А) – невырожденная. Будем рассуждать от обратного предположения, допустим, что матрица (Е – А) вырожденная. Рассмотрим тождество:

 

(10)

 

Из теории линейных алгебраических уравнений известно, что уравнение с вырожденной матрицей B обязательно имеет ненулевое решение (если B – вырожденная матрица, то число уравнений меньше числа неизвестных и часть неизвестных являются свободными). Следовательно, существует вектор X ≠ 0, такой, что (Е – А) X=0. Применим к вектору X ≠0 преобразование (10):

 

,

 

в результате получим

 

  (11)

 

Общий член матричного ряда (9) равен An и, т.к. ряд (9) сходится, то по необходимому признаку сходимости ряда (9) – матрица с нулевыми элементами. Следовательно, с увеличением числа k – членов ряда (9) и X = 0, что противоречит условию X ≠0.

Таким образом, матрица (Е – А) – невырожденная и имеет обратную матрицу. Из тождества (10) находим:

 

.

 

С учётом того, что , получим

 

Итак, сумма ряда (9) существует и равна (E – A)-1. Лемма доказана.