Автор работы: Пользователь скрыл имя, 26 Ноября 2012 в 23:22, контрольная работа
Работа содержит вопрос теории и две задачи.
Вопрос………………………………………………………………………..3
Задание 1……………………………………………………………………..6
Задание 2……………………………………………………………………..9
Список литературы…………………………………………………………....12
Приложение 1………………………………………………………………….13
Приложение 2………………………………………………………………….14
Содержание:
Список литературы…………………………………
Приложение 1………………………………………………………………….13
Приложение 2………………………………………………………………….14
Вопрос. Нелинейная регрессия. Линеаризация моделей.
Если между
экономическими явлениями существуют
нелинейные соотношения, то они выражаются
с помощью соответствующих
Различают два класса нелинейных регрессий:
1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например
– полиномы различных степеней –
– равносторонняя гипербола –
–полулогарифмическая функция – .
2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например
– степенная – ;
– показательная – ;
– экспоненциальная – .
Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов.
Так, парабола второй степени приводится к линейному виду с помощью замены: x=x1, x2=x2. В результате приходим к двухфакторному уравнению , оценка параметров которого при помощи МНК приводит к системе следующих нормальных уравнений:
А после обратной замены переменных получим
Равносторонняя гипербола приводится к линейному уравнению простой заменой: . Система линейных уравнений при применении МНК будет выглядеть следующим образом:
Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости , и другие.
Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не приводятся).
К внутренне линейным моделям относятся:
- степенная функция – ,
- показательная – ,
- экспоненциальная – ,
- логистическая – ,
- обратная – .
К внутренне нелинейным моделям можно отнести следующие модели:
- ,
- .
Степенная модель :
Y=A+bX, где Y=lny, A=lna, X=lnx
Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:
Показательная модель :
Y=A+xB, где Y=lny, A=lna, B=lnb
Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:
Экспоненциальная модель :
Y=a+bx, где Y=lny
Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:
Задание 1. В следующей выборке представлены данные по цене P некоторого товара и количеству (Q) данного товара, приобретаемому домохозяйством ежемесячно в течение года.
Месяц |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
P |
22 |
32 |
27 |
37 |
42 |
47 |
52 |
47 |
37 |
52 |
57 |
52 |
Q |
118 |
83 |
108 |
88 |
68 |
63 |
48 |
88 |
68 |
38 |
48 |
38 |
а) Постройте корреляционное поле и по его виду определите формулу
зависимости между P и Q.
б) Оцените по
МНК параметры уравнения
в) Оцените выборочный коэффициент корреляции.
г) Проверьте значимость уравнения регрессии на 5%ном уровне по критерию Стьюдента;
д) спрогнозируйте возможное количество приобретаемого товара при его цене 55 и постройте для него 95%ный доверительный интервал.
Решение:
а) Корреляционное поле построенное по исходным данным представлено на рисунке 1.
Уравнение зависимости Y от Х :
y = -2,12963x + 160,778
б) Оценки параметров парной линейной регрессии находятся по МНК
(подробные вычисления представлен в приложении).
.
в) выборочный коэффициент корреляции определяется по формуле:
Г)
Гипотеза Н0: r=0
табличное значение критерия стьюдента на уровне значимости α=5% и числе степеней свободы 10 =1,812 получаем что гипотеза H опровергается.
Д) x0=55
Зависимость Y от X:
X0=160,778+2,12963х
Y0= 43,6665
t табличное при α/2 и (n-2)=2,228
При цене 55 количество приобретаемого товара с вероятностью 95% находится в полученном интервале.
Задание 2. Приведены статистические данные за 25 лет по темпам прироста
заработной платы Y (%), производительности труда X1 (%), а также
уровню инфляции X2 (%).
Год |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Х1 |
3,5 |
2,8 |
6,3 |
4,5 |
3,1 |
1,5 |
7,6 |
6,7 |
4,2 |
2,7 |
4,5 |
3,5 |
Х2 |
4,5 |
3,0 |
3,1 |
3,8 |
3.8 |
1,1 |
2,3 |
3,6 |
7,5 |
8,0 |
3,9 |
4,7 |
Y |
9,0 |
6,0 |
8,9 |
9,0 |
7,1 |
3,2 |
6,5 |
9,1 |
14,6 |
11,9 |
9,2 |
8,8 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
5,0 |
2,3 |
2,8 |
1,5 |
6,0 |
2,9 |
2,8 |
2,6 |
1,5 |
0,9 |
0,6 |
0,7 |
3,1 |
6,1 |
6,9 |
3,5 |
7,1 |
3,1 |
3,7 |
3,9 |
4,0 |
4,8 |
4,8 |
4,2 |
4,9 |
3,2 |
12,0 |
12,5 |
6,7 |
8,5 |
5,9 |
6,8 |
5,6 |
4,8 |
4,5 |
6,7 |
5,5 |
4,0 |
3,3 |
а) Оцените по
МНК уравнение регрессии Y= b0 ++b1X1 +
+b2X2 ++ε .
б) Оцените значимость построенного уравнения на 5%ном
уровне.
в) Проведите проверку наличия гетероскедастичности и автокорреляции.
г) Сделайте выводы о качестве полученной модели. Укажите способы
ее улучшения.
Решение:
а)
25,00 |
83,60 |
109,50 | |
XTX= |
83,60 |
364,88 |
347,77 |
109,50 |
347,77 |
544,71 |
0,596707 |
-0,05719 |
-0,08344 | |
XTX^-1= |
-0,05719 |
0,012481 |
0,003527 |
-0,08344 |
0,003527 |
0,016358 |
190,1 | |
XTY= |
680,35 |
915,2 | |
|
|
-1,83883 |
В= |
0,848562 |
1,508047 |
у=0,848562x1+1,508047*x2-1,
б)
R= 0,880718
Проверка значимости η значимо отличается от нуля если F>Fα,k1,k2-табличного
Fтаб при k1 =p и k2=n-p-1 равно 3,44
k1=2 и k2=25-2-1=22
в)
Гипотеза об отсутствии гетероскеданстичности не опровергается.
dн=1,206
dв=1,550
получаем что, принимается альтернативная гипотеза о наличии положительной корреляции.
г) Существует гипотеза о наличии положительной корреляции, следовательно модель не качественная. Наиболее простым и целесообразным преобразованием, направленным на устранение автокорреляции, является авторегрессионная схема
первого порядка AR(1).
Список литературы
2010. с. (Заочная форма обучения / РГАТА).
Приложение 1.
Задание 1.
Q |
P х |
x^2 |
x*y |
y^2 |
Y расч |
(Y-Y расч)^2 |
(Х-Xcp)^2 |
(Y-Ycp)^2 |
|
118 |
22 |
484 |
2596 |
13924 |
113,9261 |
16,5963353 |
400 |
2177,77809 |
|
83 |
32 |
1024 |
2656 |
6889 |
92,62984 |
92,73381843 |
100 |
136,111189 |
|
108 |
27 |
729 |
2916 |
11664 |
103,278 |
22,29737844 |
225 |
1344,44469 |
|
88 |
37 |
1369 |
3256 |
7744 |
81,98169 |
36,22005526 |
25 |
277,777889 |
|
68 |
42 |
1764 |
2856 |
4624 |
71,33354 |
11,11248893 |
0 |
11,1110889 |
|
63 |
47 |
2209 |
2961 |
3969 |
60,68539 |
5,357419452 |
25 |
69,4443889 |
|
48 |
52 |
2704 |
2496 |
2304 |
50,03724 |
4,150346818 |
100 |
544,444289 |
|
88 |
47 |
2209 |
4136 |
7744 |
60,68539 |
746,0879195 |
25 |
277,777889 |
|
68 |
37 |
1369 |
2516 |
4624 |
81,98169 |
195,4876553 |
25 |
11,1110889 |
|
38 |
52 |
2704 |
1976 |
1444 |
50,03724 |
144,8951468 |
100 |
1111,11089 |
|
48 |
57 |
3249 |
2736 |
2304 |
39,38909 |
74,14777103 |
225 |
544,444289 |
|
38 |
52 |
2704 |
1976 |
1444 |
50,03724 |
144,8951468 |
100 |
1111,11089 |
|
856 |
504 |
22518 |
33077 |
68678 |
1493,981482 |
1350 |
7616,66667 |
||
71,33333 |
42 |
1876,5 |
2756,417 |
5723,167 |
|||||
b1 |
b0 |
||||||||
-2,12963 |
160,7778 |
(x0-xcp)^2 = |
169 | ||||||
Приложение 2.
Задание 2.
X2 |
Y |
X1^2 |
X2^2 |
X1*X2 |
Y*X1 |
Y*X2 |
Yрас |
(Y-Yрас)^2 |
(Y-Yср)^2 |
4,5 |
9 |
12,25 |
20,25 |
15,75 |
31,5 |
40,5 |
7,917349 |
1,17213427 |
1,948816 |
3 |
6 |
7,84 |
9 |
8,4 |
16,8 |
18 |
5,061285 |
0,8811866 |
2,572816 |
3,1 |
8,9 |
39,69 |
9,61 |
19,53 |
56,07 |
27,59 |
8,182056 |
0,51544316 |
1,679616 |
3,8 |
9 |
20,25 |
14,44 |
17,1 |
40,5 |
34,2 |
7,710278 |
1,66338387 |
1,948816 |
3,8 |
7,1 |
9,61 |
14,44 |
11,78 |
22,01 |
26,98 |
6,522291 |
0,33374792 |
0,254016 |
1,1 |
3,2 |
2,25 |
1,21 |
1,65 |
4,8 |
3,52 |
1,092865 |
4,44001917 |
19,39522 |
2,3 |
6,5 |
57,76 |
5,29 |
17,48 |
49,4 |
14,95 |
8,078749 |
2,49244935 |
1,218816 |
3,6 |
9,1 |
44,89 |
12,96 |
24,12 |
60,97 |
32,76 |
9,275505 |
0,03080186 |
2,238016 |
7,5 |
14,60 |
17,64 |
56,25 |
31,5 |
61,32 |
109,5 |
13,03548 |
2,44771376 |
48,94402 |
8 |
11,9 |
7,29 |
64 |
21,6 |
32,13 |
95,2 |
12,51666 |
0,38027375 |
18,45562 |
3,9 |
9,2 |
20,25 |
15,21 |
17,55 |
41,4 |
35,88 |
7,861082 |
1,79270061 |
2,547216 |
4,7 |
8,8 |
12,25 |
22,09 |
16,45 |
30,8 |
41,36 |
8,218958 |
0,33760992 |
1,430416 |
6,1 |
12 |
25 |
37,21 |
30,5 |
60 |
73,2 |
11,60307 |
0,15755604 |
19,32482 |
6,9 |
12,5 |
5,29 |
47,61 |
15,87 |
28,75 |
86,25 |
10,51839 |
3,92679048 |
23,97082 |
3,5 |
6,7 |
7,84 |
12,25 |
9,8 |
18,76 |
23,45 |
5,815308 |
0,78267976 |
0,817216 |
7,1 |
8,5 |
2,25 |
50,41 |
10,65 |
12,75 |
60,35 |
10,14115 |
2,69336249 |
0,802816 |
3,1 |
5,9 |
36 |
9,61 |
18,6 |
35,4 |
18,29 |
7,927488 |
4,11070637 |
2,903616 |
3,7 |
6,8 |
8,41 |
13,69 |
10,73 |
19,72 |
25,16 |
6,201774 |
0,35787471 |
0,646416 |
3,9 |
5,6 |
7,84 |
15,21 |
10,92 |
15,68 |
21,84 |
6,418527 |
0,66998629 |
4,016016 |
4 |
4,8 |
6,76 |
16 |
10,4 |
12,48 |
19,2 |
6,399619 |
2,55878159 |
7,862416 |
4,8 |
4,5 |
2,25 |
23,04 |
7,2 |
6,75 |
21,6 |
6,672639 |
4,72035849 |
9,634816 |
4,8 |
6,7 |
0,81 |
23,04 |
4,32 |
6,03 |
32,16 |
6,163501 |
0,28783075 |
0,817216 |
4,2 |
5,5 |
0,36 |
17,64 |
2,52 |
3,3 |
23,1 |
5,004105 |
0,24591225 |
4,426816 |
4,9 |
4 |
0,49 |
24,01 |
3,43 |
2,8 |
19,6 |
6,144594 |
4,59928214 |
12,98882 |
3,2 |
3,3 |
9,61 |
10,24 |
9,92 |
10,23 |
10,56 |
5,617463 |
5,3706329 |
18,52442 |
109,5 |
190,1 |
364,88 |
544,71 |
347,77 |
680,35 |
915,2 |
190,1002 |
46,9692185 |
209,3696 |
4,38 |
7,604 |
14,5952 |
21,7884 |
13,9108 |
27,214 |
36,608 |
7,604007 |