Контрольная работа по "Экономике"

Вариант 3 (k = 3)

 

Задача №1

Вероятность того, что в страховую компанию (СК) в течение года обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна 0,18. Для второго клиента вероятность такого обращения равна 0,23. Для третьего клиента – 0,13. Найти вероятность того, что в течение года в СК обратится хотя бы один клиент, если обращения клиентов – события независимые.

 

Решение:

P(A)=0,18

P(B)=0.23

P(C)=0.13

P(D)=? При D=A+B+C

 

P(D)=1-P()=1-P()P()P()=1-(1-0,18)*(1-0,23)*(1-0,13)=1-(0,82*0,77*0,87)=1-0,549318=0,450682≈0,45 или 45%.

 

Ответ: вероятность того, что в течение года в страховую компанию обратится хотя бы один клиент, равна 0,45 или 45%

 

Задача №2

В магазин поступают телевизоры с  трех заводов: 33% с первого завода, 28% - со второго, остальные с третьего. При этом первый завод выпускает 23% телевизоров со скрытым дефектом, второй, соответственно, 13%, а третий - 18%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор в этом магазине? Если в телевизоре обнаружен дефект, то на каком заводе, скорее всего, изготовлен этот телевизор?

 

Решение:

Введем  следующие обозначения событий:

H₁ – приобретен телевизор изготовленный на первом заводе;

Р(H₁)=0,33;

А₂ – приобретен телевизор изготовленный на втором заводе;

Р(H₂)=0,28;

А₃ – приобретен телевизор изготовленный на третьем заводе;

Р(H₃)=0,39;

 

A – приобретен исправный телевизор

Р(A/H₁)=0,77

Р(A/H₂)=0,87

Р(A/H₃)=0,82

 

Р(В)=Р(H₁)*Р(A/H₁)+Р(H₂)*Р(A/H₂)+Р(H₃)*Р(A/H₃)= 0,33*0,77+0,28*0,87+0,39*0,82=0,818

 

 

P(/H₁)=1-0,77=0,23

P(/H₁)=1-0,87=0,13

P(/H₁)=1-0,82=0,18

 

По формуле Байеса:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: вероятность приобрести исправный телевизор в этом магазине равна 0,818 или 81,8%. Если в телевизоре обнаружен дефект, то он, скорее всего, изготовлен на первом заводе.

 

Задача №3

При данном технологическом процессе 78% всей продукции - 1-го сорта. Найти наивероятнейшее число первосортных изделий из 230 изделий и вероятность этого события.

 

Решение:

р=0,78 – вероятность того, что случайно отобранное изделие 1 сорта

q=0,22 – вероятность того, что случайно отобранное изделие 2 сорта

n=230

 

1) Применяем  формулу для нахождения наивероятнейшего  числа:

 

 

m=180 – наивероятнейшее число первосортных изделий

 

2) Поскольку количество испытаний велико (n=230), поэтому не могу применить теорему Бернулли. Для нахождения вероятности наивероятнейшего числа применяю локальную теорему Лапласа:

 

 

 

Определяю аргумент функции Лапласа-Гауса :

 

 

 

По  таблице Гаусса определяю, что 

Далее, определяю вероятность:

 

 

Ответ: наивероятнейшее число первосортных изделий 180; вероятность события ≈ 0,06.

 

Задача № 4

Для подготовки к экзамену студенту нужна  определенная книга, которая может  находиться в каждой из 4-х доступных  студенту библиотек с вероятностью (0,3+ k /100). Составить закон распределения  числа посещаемых библиотек. Обход  прекращается после получения нужной книги или посещения всех четырех  библиотек. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины (СВ).

 

Решение:

Составляем  закон распределения:

B-нахождение  книги в библиотеке

Ai-посещение i-й библиотеки

 

P(B/A₁) =0,33

P(B/A₂)=(1-0,33)*0,33=0,2211

P(B/A₃)=(1-0,33-0,2211)*0,33=0,1481

P(B/A₄)=1-0,33-0,2211-0,1481=0,3008

 

xi	1	2	3	4
Pi	0,33	0,2211	0,1481	0,3008

 

Находим математическое ожидание:

 

 

 

 

Находим дисперсию случайной величины:

 

 

Ответ: математическое ожидание равно 2,4197; дисперсия случайной величины равна 1,5052.

 

Задача №6

На фирме заработная плата X сотрудников (в у.е.) задана таблицей:

 

нг	300	340	380	420	460	500
вг	340	380	420	460	500	540
m	10	20	30	25	10	5

 

Найти: среднее арифметическое и стандартное отклонение S. Построить теоретическое нормальное распределение и сравнить с эмпирическим на уровне значимости  α=0,05.

 

Решение

1 шаг – нахождение  средней.

Для этого, на нужно узнать значение , в данном случае нам даны интервалы. Чтобы перейти от интервального ряда к дискретному, нам необходимо найти середину интервала по формуле:

 

 

 

xmin	xmax	mi	xi	ximi
300	340	10	320	3200
340	380	20	360	7200
380	420	30	400	12000
420	460	25	440	11000
460	500	10	480	4800
500	540	5	520	2600
		100		40800

 

 

 

Далее находим дисперсию (в данном случае, взвешенную).

xmin	xmax	mi	xi	ximi	(xi-)2	(xi-)2mi	ti
300	340	10	320	3200	7744	77440	-1,707531157
340	380	20	360	7200	2304	46080	-0,931380631
380	420	30	400	12000	64	1920	-0,155230105
420	460	25	440	11000	1024	25600	0,620920421
460	500	10	480	4800	5184	51840	1,397070946
500	540	5	520	2600	12544	62720	2,173221472
		100		40800		265600

 

 

 

Вычисляем стандартное  отклонение:

 

 

 

 

 

Задача  №7

В процессе исследования среднедушевого дохода (в руб.) обследовано 100 семей. Выявлены оценки: =1800, s=230. В предположении о нормальном законе найти долю семей, чей среднедушевой доход находится в пределах от 1200 до 1800.

 

Решение:

 

 

 

	1700	x1	1200
S	230	x2	1800
t1		t2
-2,173913043		0,434782609

 

 

 

Ф(0,43)-Ф(-2,17) = 0,1664-0,0303=0,1363

 

Ответ: доля семей составляет 13,6%

 

Задача № 8

Объем дневной выручки  в 5 торговых точках (в тыс. у.е.) составил: 13, 18, 23, 20, .

Учитывая, что  = 19, найти выборочную дисперсию .

 

Решение

Перед тем как  искать выборочную дисперсию, нужно  узнать чему же равно

 

 

 

 

 

Решая данное уравнение, я узнаю, что 

Теперь, можно  найти выборочную дисперсию 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: выборочная дисперсия .

 

Задача №9

По данным 17 сотрудников  фирмы, где работает 230 человек, среднемесячная заработная плата составила 330 у.е., при s=73 у.е. Какая минимальная сумма должна быть на счету фирмы, чтобы с вероятностью 0,98 гарантировать выдачу заработной платы всем сотрудникам?

 

Решение

Среднемесячная зарплата будет равна 330 у.е., при s= 73 у.е.

По таблице распределения Стьюдента, доверительной вероятности 0,98 при степени свободы 17, соответствует параметр 2,567

 

 

 

(330+45,450)*230=86353,5 у.е.

86353,5*2,567 = 221669,4 у.е.

 

Ответ: минимальная сумма на счету фирмы должна быть равна 221669,4 у.е.

 

Задача №10

С целью размещения рекламы  опрошено 430 телезрителей, из которых  данную передачу смотрят 180 человек. С  доверительной вероятностью 0,91 найти  долю телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае.

 

Решение

 

 

Для 0,91 параметр х=1,7.

 

 

Доля телезрителей, охваченных рекламой = 0,418+0,0243*1,7=0,46 или 46%

 

Ответ: доля телезрителей охваченных рекламой составляет 46% от всех потенциальных телезрителей.