Лабораторная работа по "Эконометрике"

 

Задание №1. 
 
По 15 предприятиям, выпускающим один и тот же вид продукции известны значения двух признаков. 
 
x – выпуск продукции, тыс.ед; 
 
y – затраты на производство, млн. руб. 
 
Требуется: 
 
1.Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи; 
 
2.Построить модель: 
 
2.1. Линейной парной регрессии.

Для этого: 
 
1. Рассчитать параметры уравнений; 
 
2. Оценить тесноту связи с помощью коэффициента (индекса) корреляции; 
 
3. Оценим статическую значимость полученного уравнения;

4. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом; 
 
5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов моделирования;

6. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Для уровня значимости α=0,05 определить доверительный интервал прогноза.

 

 

 

 

Дано:

№	x	y
1	3	4,2
2	3,1	4,5
3	2,6	3,7
4	2,7	3,8
5	2,9	4,1
6	2,8	3,9
7	2,5	3,4
8	2,6	3,6
9	2,3	2,7
10	3,2	4,4
11	3,3	4,4
12	3,4	4,6
13	3,2	4,4
14	2,7	3,8
15	2,4	3,2

 

Решение:

1. Строим поле корреляции.

 

Анализируя точки поля корреляции, предполагаем, что связь  между признаками x и y может быть линейной, т.е. y=a+b*x, или нелинейной вида: y=a+b*lnx, y=a*b^x. Основываясь на теории изучаемой взаимосвязи, предполагаем получить зависимость y от x вида y=a+b*x, т.к. затраты на производство (y) можно условно разделить на два вида: постоянные, не зависящие от объема производства (а), такие как арендная плата, содержание администрации и т.д.; и переменные, изменяющиеся пропорционально выпуску продукции (b*x) такие как расход материала, электроэнергии и т.д.

 
2.1. Модель линейной парной регрессии. 
2.1.1. Рассчитаем параметры a и b линейной регрессии y=a+b*x. Строим расчетную таблицу. 
 
По исходным данным рассчитываем y*x, x², y². Рассчитав y, x, yx, x² и y² определим их средние значения.

 

№	x	y	y*Х	x2	y2			Ai	(у-ух)2	(х-х)2
1	3	4,2	12,6	9	17,64	4,144707	0,055293	1,316504	0,0030573	0,023511
2	3,1	4,5	13,95	9,61	20,25	4,295603	0,204397	4,542164	0,0417781	0,0641776
3	2,6	3,7	9,62	6,76	13,69	3,541124	0,158876	4,293952	0,0252415	0,0608446
4	2,7	3,8	10,26	7,29	14,44	3,69202	0,10798	2,841591	0,0116499	0,0215112
5	2,9	4,1	11,89	8,41	16,81	3,993811	0,106189	2,589974	0,0112761	0,0028444
6	2,8	3,9	10,92	7,84	15,21	3,842915	0,057085	1,46371	0,0032586	0,0021778
7	2,5	3,4	8,5	6,25	11,56	3,390228	0,009772	0,287411	0,0000954	0,120178
8	2,6	3,6	9,36	6,76	12,96	3,541124	0,058876	1,635451	0,0034663	0,0608446
9	2,3	2,7	6,21	5,29	7,29	3,088436	-0,38844	14,38654	0,1508825	0,2988448
10	3,2	4,4	14,08	10,24	19,36	4,446498	-0,0465	1,056781	0,002162	0,1248442
11	3,3	4,4	14,52	10,89	19,36	4,597394	-0,19739	4,48623	0,0389643	0,2055108
12	3,4	4,6	15,64	11,56	21,16	4,74829	-0,14829	3,223694	0,0219899	0,3061774
13	3,2	4,4	14,08	10,24	19,36	4,446498	-0,0465	1,056781	1,5537572	0,1248442
14	2,7	3,8	10,26	7,29	14,44	3,69202	0,10798	2,841591	0,0116596	0,0215112
15	2,4	3,2	7,68	5,76	10,24	3,239332	-0,03933	1,229133	0,001547	0,1995114
Итого:	42,7	58,7	169,57	123,19	233,77	58,7	-	47,2515	1,9101131	1,6373332
Сред.зн	2,846667	3,913333	11,30467	8,212667	15,58467	3,913333	-	3,1501	0,12734087	0,10915555

 
Определяем параметры b и a: 
 
== 
 
= 

Уравнение регрессии  =-0,38+1,51*х. С увеличением выпуска продукции на 1 тыс. руб. затраты на производства увеличиваются на 1,51 млн.руб в среднем, постоянные затраты уменьшаются 0,38 млн. руб.

 

2.1.2. Тесноту связи оценим с помощью  линейного коэффициента парной  корреляции r_xy.

 

= 15,58467-(3,913333)²=15,58467-15,3141752= 
 
= 8,212667-(2,846667)²=8,212667-8,10351301= 
 
= 1,508958*= 1,508958*0,63524367=0,958573

 

Значение r_xy близко к 1, следовательно, между переменными y и x наблюдается очень тесная корреляционная связи вида y=a+b*x

 
2.1.3. Оценим качество построенной  модели. 
 
Определим коэффициент детерминации 
R²= r²_xy= 0,918862 
 
т.е. данная модель объясняет 91,9% общей дисперсии y, на долю необъясненной дисперсии приходится 8,1%. Следовательно, качество модели высокое. 
 
Найдем величину средней ошибки аппроксимации  . 
 
Предварительно определим  , подставляя в уравнение регрессии  = - 0,38+1,51*х фактические значения x. Найдем  . Тогда 
 
 
= 
 
т.е. в среднем расчетные значении отклоняются от фактических на 3,15%. Ошибка допустимая (A_i10%).

 

2.1.4. Определим средний коэффициент  эластичности: 
== 1,508958*0,7274277=1,0976578% 
 
Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 1,098%.

 

 

2.1.5. Оценим статическую значимость полученного уравнения.

Проверим гипотезу H₀, что выявленная зависимость y от x носит случайный характер, т.е. полученное уравнение статически незначимо. Примем α=0,05. Найдем табличное (критическое) значение F-критерия Фишера. 
 
F_табл=(α=0,05, k₁=1, k₂=15-2=13)=4,67. 
 
Найдем фактическое значение F-критерия Фишера: 
 
=  
 
F_факт>F_табл

 
Поэтому гипотеза H₀ о случайном характере зависимости y от x отвергается, принимается альтернативная гипотеза H₁ – с вероятностью 0,95 выявленная зависимость y от x носит неслучайный характер, полученное уравнение статически значимо, надежно и может быть использовано для прогноза.

 

2.1.6. Рассчитаем прогнозное значение результата y, если прогнозное значение х увеличивается на 5% от его среднего уровня.

 

=2,85, х_р= 2,9925 
 
y_p= =-0,38+1,51* х_р= 4,138675

 

Для величины выпуска продукции  равной 2,9925 тыс. руб. Прогнозное значение затрат на производство составит 4,138675 млн. руб.

Для уровня значимости α=0,05 определим доверительный интервал прогноза. Предварительно определим  стандартные ошибки коэффициента корреляции m_rxy и параметра b - m_b 
 
m_rxy=  
 
m_b= * =0,1243621 
 
Тогда средняя стандартная ошибка прогноза: 
 
= 0,165139 
 
Для уровня значимости α=0,05 определим табличное значение t-статистики Стьюдента 
t_табл (α=0,05, k=15-2)=2,16 
 
Тогда доверительный интервал прогноза  : 
 
=3,781974 
 
=4,495376 
 
т.е. с вероятностью 0,95 прогнозное значение   при х_р= 1,05*  принадлежит интервалу (3,781974; 4,495376). 
Прогноз надежный, но не точный, т.к. интервал достаточно широк  =1,188632