Линейные и нелинейные модели

Парная  линейная регрессия

Уравнение парной линейной регрессии:

   С помощью  метода наименьших квадратов, выводим  формулы для вычисления неизвестных  параметров, которая имеет вид: 

        

Коэффициент а не имеет никакого экономического смысла. а=877,5583 

Коэффициент в называется выборочным коэффициентом регрессии,  он показывает на сколько единиц будет варьироваться у при увеличении объясняющего фактора х на 1 единицу от своего среднего значения.

в= 0,237453

Показывает, что  при увеличении фактора х на 1 единицу от своего среднего уровня, значение фактора у увеличится на 0,237453 от своего среднего значения.

  Коэффициент корреляции 

Если r>0, то связь – прямая, если r<0, то связь – обратная.  При прямой связи увеличение одной из переменных ведет к увеличению условной средней другой. При обратной связи увеличение одной из переменной ведёт к уменьшению условной средней другой.

r= 0,248872

Полученное значение показывает, что связь прямая и  слабая.

Найдем коэффициент  эластичности: Э= 

Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения. 

Для данного  примера коэффициент эластичности показывает, что при изменении  фактора х на 1% от своего среднего значения, в среднем по совокупности результат у от своей средней величины изменится на 0,231772 %

Коэффициент аппроксимации  определяет адекватна ли модель. Качество модели оценивается хорошо, т.е. модель считается адекватной, если значение коэффициента аппроксимации не превышает 10-12% . Фактические значения результативного признака отличаются от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии, чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным, тем лучше считается качество модели.  Величина отклонения фактических и расчетных значений результативного признака по каждому наблюдению представляет собой ошибку аппроксимации.

A=

Для данного  примера  А=681927,2, т.е. модель не адекватна

Найдем коэффициент Фишера: 
 

С помощью коэффициента Фишера выбирается статистически значимая модель. (F_{рассчет.}>F_табл.).

Полученное значение F критерия Фишера F=1,518613 меньше, чем табличное значение (F=4,96), так что модель нельзя  считать статистически значимой. 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,248872
R-квадрат	0,061937
Нормированный R-квадрат	0,021152
Стандартная ошибка	7,537613
Наблюдения	25
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	86,2809	86,2809	1,518613	0,230279053
Остаток	23	1306,759	56,81561
Итого	24	1393,04
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	877,5583	214,3666	4,093728	0,000446	434,1073427	1321,009345	434,1073427	1321,009
(Х)	0,237453	0,192688	1,23232	0,230279	-0,161152	0,636057899	-0,161152	0,636058

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Степенная модель

Уравнение парной линейной регрессии:

Для создания нелинейной регрессии степенного вида надо линеаризовать данное уравнение, т.е. привести к линейному виду. Линеаризация происходит путём логарифмирования. 

Введем обозначения  Y,    

С учетом данных обозначений модель примет вид: Y=A+b*X

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,247268
R-квадрат	0,061142
Нормированный R-квадрат	0,020322
Стандартная ошибка	0,002876
Наблюдения	25
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1,24E-05	1,24E-05	1,497835	0,233395
Остаток	23	0,00019	8,27E-06
Итого	24	0,000203
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	2,354979	0,574062	4,102307	0,000436	1,167441	3,542516	1,167441	3,542516
X=lgx	0,230633	0,188447	1,223861	0,233395	-0,1592	0,620464	-0,1592	0,620464

 

   С помощью  метода наименьших квадратов, выводим  формулы для вычисления неизвестных  параметров, которая имеет вид: 

        

Коэффициент а не имеет никакого экономического смысла.  A=2,354979 
 

Коэффициент b называется выборочным коэффициентом регрессии,  он показывает на сколько единиц будет варьироваться у при увеличении объясняющего фактора х на 1 единицу от своего среднего значения.

b= 0,230633 

Показывает, что  при увеличении фактора х на 1 единицу от своего среднего уровня, значение фактора у увеличится на 0,230633 от своего среднего значения.

  

Коэффициент корреляции 

Если r>0, то связь – прямая, если r<0, то связь – обратная.  При прямой связи увеличение одной из переменных ведет к увеличению условной средней другой. При обратной связи увеличение одной из переменной ведёт к уменьшению условной средней другой.

r=0,247268

Полученное значение показывает, что связь прямая и  слабая.

Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения.

0,229783 

Для данного  примера коэффициент эластичности показывает, что при изменении  фактора х на 1% от своего среднего значения, в среднем по совокупности результат у от своей средней величины изменится на 0,229783%

Коэффициент аппроксимации  определяет адекватна ли модель. Качество модели оценивается хорошо, т.е. модель считается адекватной, если значение коэффициента аппроксимации не превышает 10-12% . Фактические значения результативного признака отличаются от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии, чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным, тем лучше считается качество модели.  Величина отклонения фактических и расчетных значений результативного признака по каждому наблюдению представляет собой ошибку аппроксимации.

A=

Для данного  примера  А=0,074678, т.е. модель адекватна.

Найдем коэффициент Фишера: 
 

С помощью коэффициента Фишера выбирается статистически значимая модель. (F_{рассчет.}>F_табл.).

Полученное значение F критерия Фишера F=1,497835 меньше, чем табличное значение (F=4,96), так что модель нельзя  считать статистически значимой. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Показательная модель

Показательная модель нелинейной парной регрессии  имеет вид: 

Для линеаризации показательной модели прологарифмируем обе части: 

Введем обозначение:

, , 

После чего модель примет вид:

Y=A+x*B

 
 

   С помощью  метода наименьших квадратов, выводим  формулы для вычисления неизвестных  параметров, которая имеет вид: 

        

Коэффициент A не имеет никакого экономического смысла.  A= 2,957053008 

Коэффициент B называется выборочным коэффициентом регрессии,  он показывает на сколько единиц будет варьироваться у при увеличении объясняющего фактора х на 1 единицу от своего среднего значения.

B= 9,03363E-05 

Показывает, что  при увеличении фактора х на 1 единицу от своего среднего уровня, значение фактора у увеличится на 9,03363E-05 от своего среднего значения. 
 

  Коэффициент корреляции 

Если r>0, то связь – прямая, если r<0, то связь – обратная.  При прямой связи увеличение одной из переменных ведет к увеличению условной средней другой. При обратной связи увеличение одной из переменной ведёт к уменьшению условной средней другой.

r= 0,248233807

Полученное значение показывает, что связь прямая и  слабая.

Найдем коэффициент  эластичности: Э= 

Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения.

0,032868563 

Для данного  примера коэффициент эластичности показывает, что при изменении  фактора х на 1% от своего среднего значения, в среднем по совокупности результат у от своей средней величины изменится на 0,032868563%