Математические и статистические методы в экономике

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГАОУ ВПО «Северо-Восточный  федеральный университет»

имени М. К. Аммосова

_______________________________________________________________

Финансово-экономический  институт

Кафедра экономики труда  и социальных отношений

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

«Математические и статистические методы в экономике»

 

 

 

Выполнина: магистрантка 1 курса гр.ЭМ-13

Макарова Айталина Петровна

Проверил: доктор экономический  наук

Дъяконов Харлампий Назарович

 

 

Якутск, 2013г.

Введение

Современная экономическая  теория, как на макро-, так и на макроуровне, включает как естественный необходимый элемент математические модели и методы. Использование математики в экономике позволяет, во–первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов: изучение столь сложного объекта предполагает высокую степень абстракции. Во-вторых, из четко сформулированных исходных данных и соотношений методами дедукции можно получать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. В-третьих, методы математики и статистики позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте: оценивать форму и параметры зависимостей его переменных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям. Наконец, в–четвертых, использование языка математики позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать ее понятия и выводы.

Математические модели использовались с иллюстративными и исследовательскими целями еще Ф.Кенэ (1758г., «Экономическая таблица»), А.Смитом (классическая макроэкономическая модель), Д.Рикардо (модель международной торговли). В XIX веке большой вклад в моделирование рыночной экономики внесла математическая школа (Л.Вальрас, О.Курно, В.Парето, Ф.Эджворт и др.). В ХХ веке математические методы моделирования применялись очень широко, с использованием связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике (Д.Хикс, Р.Солоу, В.Леонтьев, П.Самуэльсон и др.). Развитие микроэкономики, макроэкономики, прикладных дисциплин связано со все более высоким уровнем их формализации (метод, основанный на выявлении и фиксации формальной структуры хозяйственных процессов и явлений). Основу для этого заложил прогресс в области прикладной математики – теории игр, математического программирования, математической статистики. В России в начале ХХ века большой вклад в математическое моделирование экономики внесли В.К.Дмитриев и Е.Е.Слуцкий. В 1930-е – 50-е годы в этой области не наблюдалось прогресса вследствие идеологических ограничений тоталитарного режима. В 1960-е -80-е годы экономико-математическое направление возродилось (В.С.Немчинов, В.В.Новожилов, Л.В.Канторович), но было связано в основном с попытками формально описать «систему оптимального функционирования социалистической экономики» (Н.П.Федоренко, С.С.Шаталин и др.). Строились многоуровневые системы моделей народно-хозяйственного планирования, оптимизационные методы отраслей и предприятий. Сейчас важной задачей является моделирование процессов переходного периода.

§1.2. Математическое моделирование  экономических систем и явлений

Важным  фактором, определяющим роль математики в различных приложениях, является возможность описания наиболее существенных черт и свойств изучаемого объекта  на языке математических символов и  соотношений. Такое описание принято  называть математическим моделированием или формализацией, а их упрощенные формальные описания экономическими моделями.

Так как в литературе нет единого, строгого определение математической модели, то в качестве рабочего в  этой книге будем принимать следующее  определение.

Определение 1.1.Математической моделью реального объекта (явления) называется ее упрощенная, идеализированная схема, составленная с помощью математических символов и операций (соотношений).

Следовательно, для получения математической модели сначала вводится система буквенных  обозначений элементов реального  объекта и затем, на основе изучения существующих взаимосвязей между этими  элементами, составляются отражающие их математические соотношения (уравнения, неравенства и др.).

Для чего составляется математическая модель, и какова ее роль в исследовании экономических задач?

Строя модели, экономисты выявляют существенные факторы, определяющие исследуемое  явление и отбрасывают детали, несущественные для решения поставленной проблемы. При наличии математической модели мы избавляемся от необходимости дорогостоящих экспериментов, как правило, сопровождаемых многократными пробами и ошибками. Это можно делать на модели, которую, условно говоря, можно резать и перекраивать неоднократно без всяких капиталовложений. Это одно достоинство модели. Другое заключается в том, что формализация дает возможность сформулировать реальную задачу как математическую и позволяет воспользоваться для анализа универсальным и мощным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта. Математика проводит детальный количественный анализ модели, помогает предсказать, как поведет себя объект в различных условиях и дает рекомендации для выбора наилучших вариантов решения проблемы. Построение формальных моделей, их анализ и вывод практических рекомендаций — одна из важнейших задач прикладной математики.

Сложность экономических систем превышает  порог, до которого стоится точная математическая теория. Поэтому неудивительно, что  сколько-нибудь универсальных методов  построения математических моделей  в экономике не существует. Можно  говорить лишь о некоторых общих  принципах и требованиях к  таким моделям. Перечислим наиболее основные из них:

1. адекватность (соответствие модели своему оригиналу),
2. объективность (соответствие научных выводов реальным условиям),
3. простота (не засоренность модели второстепенными факторами),
4. чувствительность (способность модели реагировать изменению начальных параметров),
5. устойчивость (малому возмущению исходных параметров должно соответствовать малое изменение решения задачи),
6. универсальность (широта области применения).

Комментируя первое свойство, можно заметить, что  математическая модель нетождественна самому объекту, а является его приближенным отражением. Говоря об объективности, следует иметь в виду, что никакая  отдельно взятая модель не может вполне правильно отразить все свойства сложной экономической действительности. Поэтому формализация экономической  задачи проводится наряду с принятием  некоторых предварительных условий, предположений, ограничений. Стремление к простоте модели продиктовано ограниченными  возможностями вычислительной техники  и экономии временных ресурсов при  исследовании модели. Практическое значение модель приобретает тогда, когда  ее изучение имеющимися средствами более  доступно, чем изучение самого объекта. Требования чувствительности и устойчивости являются отражением объективных характеристик  экономических процессов. Одна и  та же математическая модель может  применяться для исследования экономических  задач различного содержания. Это  свойство и называется универсальностью.

Разработка  новой модели — это сложный  творческий процесс, требующий больших  умственных и временных затрат. Для  экономии этих ресурсов полезно обращаться к существующему "банку" моделей  для проверки пригодности их к  новой задаче. Можно привести следующую  схему выбора модели и метода ее исследования.

Рис1.1 Схема выбора модели и метода ее исследования.

Для того, чтобы математическая модель удовлетворяла всем тем требованиям, которые перечислены выше, необходимо тщательно изучить предметную область, собрать и проанализировать большой объем информации. Только в результате такого предварительного изучения самого объекта можно отличить цели от средств их достижения, следствия от причин их породивших, основные факторы от второстепенных.

Методика и  этапы проведения математических исследований в экономике

Неотъемлемой частью методики прикладной математики является всесторонний анализ реальной проблемы, предшествующий ее математическому моделированию. В целом системный анализ проблемы, предполагает выполнение следующих  этапов:

• гуманитарный (доматематический) анализ проблемы;
• математическое исследование проблемы;
• применение полученных результатов на практике.

Проведение такого системного анализа каждой конкретной проблемы должно осуществляться исследовательской  группой, включающей экономистов (как  постановщиков проблемы или заказчиков), математиков, юристов, социологов, психологов, экологов и т. д. Причем математики, как основные исследователи, должны участвовать не только в "решении" задачи, но и в ее постановке, а также во внедрении результатов на практике.

Для проведения математических исследований экономической задачи требуется выполнение следующих  основных этапов:

1. изучение предметной области и определение цели исследования;
2. формулировка проблемы;
3. сбор данных (статистических, экспертных и прочих);
4. построение математической модели;
5. выбор ( или разработка) вычислительного метода и построение алгоритма решения задачи;
6. программирование алгоритма и отладка программы;
7. проверка качества модели (см. §1.2. ) на контрольном примере;
8. внедрение результатов на практике.

Этапы 1—3 относятся к доматематической части исследования. Очень важно, чтобы предметная область была досконально изучена самими экономистами для того, чтобы они, как заказчики, могли четко сформулировать проблему и определить цели перед исследователями. Исследователям должны быть предоставлены все необходимые документальные и статистические данные в исчерпывающем объеме. Сбор статистических данных или иной информации - не дело математиков, их дело — организация хранения, анализ и обработка данных, предоставленных им в удобной (электронной) форме заказчиками.

Этапы 4—7 относятся к математической части исследований. Содержание этапа 4 будет рассмотрено отдельно в этом параграфе. Результатом этого этапа должна быть формулировка исходной проблемы в виде строгой математической задачи. Редко математическую модель можно "подобрать" из числа имеющихся, известных моделей (см. рис.1.1 ). Процесс подбора параметров модели таким образом, чтобы она соответствовала изучаемому объекту, называется идентификацией модели. Исходя из характера полученной модели (задачи) и цели исследования выбирают либо известный метод, либо приспосабливают (модифицируют) известный метод, либо разрабатывают новый. После этого составляют алгоритм (порядок решения задачи) и программу для ЭВМ. Полученные с помощью этой программы результаты анализируют: решают тестовые задачи, вводят необходимые изменения и исправления в алгоритм и программу.

Если для "чистой" математики традиционным является однократный  выбор математической модели и однократная  формулировка допущений в самом  начале исследования, то в прикладных работах часто бывает полезно  вернуться к модели и внести в  нее исправления после того, как  первый тур пробных расчетов уже  произведен. Более того, часто оказывается  плодотворным своеобразный "спор" моделей, когда одно и то же явление  описывается не одной, а несколькими  моделями. Если выводы оказываются  одними и теми же (приблизительно) при  разных моделях, разных методах исследования — это весомое свидетельство  правильности расчетов, адекватности модели самому объекту, объективности  выдаваемых рекомендаций.

Заключительный этап 8 проводится совместными усилиями заказчиков и разработчиков модели.

Результаты математических (как и всяких научных) исследований, как бы они хороши не были, являются лишь рекомендацией к использованию  на практике. Окончательное решение  этого вопроса — применять  или нет — зависит от заказчика, т. е. от лица ответственного за исход  и за последствия, к которым приведет применение рекомендуемых результатов.

Для построения математической модели конкретной экономической задачи (проблемы) рекомендуется выполнение следующей последовательности работ:

1. определение известных и неизвестных величин, а также существующих условий и предпосылок (что дано и что требуется найти?);
2. выявление важнейших факторов проблемы;
3. выявление управляемых и неуправляемых параметров;
4. математическое описание посредством уравнений, неравенств, функций и иных отношений взаимосвязей между элементами модели (параметрами, переменными), исходя из содержания рассматриваемой задачи.

Известные параметры задачи относительно ее математической модели считаются внешними (заданными априори, т. е. до построения модели). В экономической литературе их называют экзогенными переменными. Значение же изначально неизвестных переменных вычисляются в результате исследования модели, поэтому по отношению к модели они считаются внутренними . В экономической литературе их называют эндогенными переменными.

В пункте 2 под важнейшими понимаются факторы, которые играют существенную роль в самой задаче и которые так или иначе влияют на конечный результат. В пункте 3 управляемыми называются те параметры задачи, которым можно придавать произвольные числовые значения исходя из условий задачи; неуправляемыми считаются те параметры, значение которых зафиксировано и не подлежит изменению.

С точки зрения назначения, можно выделить описательные модели и модели принятия решения. Описательные модели отражают содержание и основные свойства экономических объектов как таковых. С их помощью вычисляются числовые значения экономических факторов и показателей.

Модели принятия решения  помогают найти наилучшие варианты плановых показателей или управленческих решений. Среди них наименее сложным  являются оптимизационные модели, посредством  которых описываются (моделируются) задачи типа планирования, а наиболее сложными игровые модели, описывающие  задачи конфликтного характера с  учетом пересечения различных интересов. Эти модели отличаются от описательных тем, что в них имеется возможность  выбора значений управляющих параметров (чего нет в описательных моделях).