Методы оптимизации

Однако  пополнение запасов через продолжительные  промежутки времени приводит к образованию  чрезмерно больших запасов, которое  требует необоснованных капитальных  затрат и значительно повышает стоимость  хранения запасов.

Определение оптимальных объемов запасов  представляет собой классическую задачу оптимизации.

Для решения  этой задачи часто используется так  называемая модель определения наиболее экономичного размера заказа. (Заказ на товары для создания запаса).

В рамках этой модели спрос предполагается постоянный и равный l единиц товара в год.

Частное пополнение запасов (выполнение заказов) нецелесообразно, т.к. стоимость выполнения одного заказа составляет К рублей независимо от его размера.

Хранение  излишних запасов так же нецелесообразно, т.к. стоимость хранение единицы  товара составляет h рублей в год.

Для того, чтобы упростить задачу, предположим, что спрос удовлетворяется немедленно (т.е. задолженные заказы отсутствуют), а пополнение осуществляются сразу  же, как только запасы иссякают.

Проиллюстрируем изменение объема запасов с течением времени на рисунке.

Циклы управления запасами.

 

                            q(t)=Q-Qt/T

                B

Q    объем

    запасов

 

                  A         C                                                     время,t

                        T

 

В точке  А объем запасов равен Q; затем объем запасов начинает уменьшаться со скоростью l единиц товара в единицу времени и достигает нулевого значения в точке С.

В это  время поступает новая партия товара (выполняется заказ), и объем  запасов восстанавливается.

Треугольник ABC представляет один цикл управления запасами, который повторяется во времени.

Задача  заключается в том, чтобы определить оптимальный размер заказа (объем  запасов) Q и продолжительность интервала времени между заказами T, T=C-A.

T-это величина промежутка времени, в течении которого при скорости расходования l истощается запас Q, поэтому:

T=Q/l.

Таким образом, задача сводится к нахождению оптимального значения Q.

Заметим, что когда Q мало, переменная Т также принимает малое значение. При этом частота заказов велика. Это обуславливает большие затраты на выполнение заказов и относительно малые издержки хранения запасов.

С другой стороны, наличие большого объема запасов (когда Q велико) приводит к увеличению затрат на хранение запасов и одновременно к снижению издержек, связанных с выполнением заказов на товары.

Одна  из основных задач управления запасами состоит в определении оптимального значения Q, которому соответствует минимум полных годовых затрат.

Получим аналитическое выражение для  функции полных годовых затрат (которая  и будет целевой функцией, подлежащей минимизации).

Полные  затраты/год=(затраты/цикл)*(кол-во циклов/год)

Кол-во циклов (заказов)/год=1/T=l/Q.

Затраты/цикл=затраты на выполнение заказа + затраты на хранение запасов.

Затраты на выполнение заказов = К.

Определим затраты на хранение запасов в  течении цикла (т.е. в течении времени  Т).

q(t)=Q-Qt/T-функция изменение запасов за цикл.

Затраты на хранение запасов в течении  промежутка времени [t,t+dt] равны hq(t)dt,     h-стоимость хранение единицы товара в единицу времени. Тогда затраты на хранение запасов/цикл равны:

_{Т                        T                                          T                       T                                                      T}

òhq(t)dt = hò(Q-Qt/T)dt = hQòdt - hQ/Tòtdt = hQT-(hQ/T)t²/2 =hQT-(hQ/T)T²/2=

^{0                        0                                           0                       0                                                       0}

= hQT/2 = hQ²/(2l), т.к. T=Q/l.

Итак,

Затраты/цикл = K+hQ²/(2l)

Полные затраты/год = (K+hQ²(2l))l/Q=lK/Q+hQ/2.

Таким образом, функция полных затрат (целевая функция):

f(Q) = lK/Q + hQ/2        min

Вычислим:

f^|(Q) = -lK/Q² +h/2

Вычислим:

f^||(Q) = 2lK/Q³ > 0, при всех Q>0.

Отсюда  следует, что f(Q) – выпуклая функция,и если существует положительное значение Q*, такое, что f^|(Q*) =0, то Q* минимизирует f(Q).

Решим уравнение:

f^|(Q) = 0

-lK/Q² + h/2 = 0

lK/Q² = h/2

Q² = 2lK/h

Q* = Ö2lK/h > 0 –оптимальный размер заказа.

При этом:

T* = Q*/l=Ö2K/(hl) – интервал времени между заказами.

Величина  Q* известна в теории управления как наиболее экономичный размер запаса.

 

Методы исключения интервалов.

Существует  ряд одномерных методов поиска, ориентированных на нахождение точки оптимума внутри заданного интервала.

Среди этих методов можно выделить методы исключения интервалов.

Это методы поиска, позволяющие определить оптимум  функции одной переменной путем  последовательного исключения подинтервалов  и, следовательно, путем уменьшения интервала поиска.

Все одномерные методы поиска, используемые на практике, основаны на предположении, что исследуемая  функция в допустимой области  обладает свойством унимодальности.

Для унимодальной функции f(x) сравнение значений f(x) в двух различных точках интервала поиска позволяет определить, в каком из заданных этими двумя точками подинтервалов точка оптимума отсутствует.

Правило исключения интервалов.

Пусть функция  f унимодальна на интервале a£x£b, а ее минимум достигается в точке x*.

Рассмотрим  точки x₁ и x₂, расположенные в интервале таким образом, что a<x₁<x₂<b.

Сравнивая значения функции в точках x₁ и x₂, можно сделать следующие выводы:

1. Если f(x₁)>f(x₂), то точка минимума f(x) не лежит в интервале (a,x₁), т.е. x*Î(x₁,b)

        f(x)

       f(x₁)

       f(x₂)

 

 

                       a  x₁   x*            x₂         b       x

 

2.Если f(x₁)<f(x₂), то точка минимума не лежит в интервале (x₂,b), т.е. x*Î(a,x₂)

 

 

 

 

     f(x)

        f(x₁)

        f(x₂)

 

 

                              a               x₁        x*          x₂  b      x

3.Если f(x₁)=f(x₂), то можно исключить оба крайних интервала (a,x₁) и (x₂,b), при этом x*Î(x₁,x₂).

Согласно  правила исключения интервалов можно  реализовать процедуру поиска, позволяющую  найти точку оптимума путем последовательного  исключения частей исходного ограниченного  интервала.

Поиск завершается, когда оставшийся интервал уменьшается  до достаточно малых размеров.

Достоинства этих методов:

• устраняется необходимость полного перебора всех допустимых точек.
• Методы основаны лишь на вычислении значений функции.

(при этом не требуется,  чтобы исследуемые функции были  дифференцируемы).

В процессе применения рассматриваемых методов  поиска можно выделить два этапа:

1. Этап установления границ интервала, на котором реализуется процедура поиска границ достаточно широкого интервала, содержащего точку оптимума.
2. Этап уменьшения интервала, на котором реализуется конечная последовательность преобразований исходного интервала с тем, чтобы уменьшить его длину до заранее установленной величины.

 

Этап установления границ интервала.

На этом этапе сначала выбирается исходная точка, а затем на основе правила  исключения строится относительно широкий  интервал, содержащий точку оптимума.

Обычно  поиск граничных точек такого интервала проводится с помощью  эвристических методов поиска.

Рассмотрим  один из эвристических методов такого поиска, предложенный Свенном.