Многокритериальная оптимизация

При решении  исходной задачи сразу же решается и двойственная задача, где двойственные оценки позволяет получить все тот же отчет по устойчивости (таблица «Ограничения»).

Экономическая интерпретация двойственных оценок - это «Теневая цена». Теневая цена ресурса показывает, насколько увеличится прибыль с перевозки при увеличении данного ресурса на единицу.

Если запасы ресурса избыточны (т.е. не полностью используются), то теневая цена такого ресурса не приведет к увеличению прибыли, а только увеличит неиспользованный остаток. Если ресурс используется полностью, то его увеличение или уменьшение повлияет на объем выпускаемой продукции, и, следовательно, на величину целевой функции.

В данной задаче все ресурсы использовались полностью (дефицитные), определим двойственные оценки ресурсов:

- ресурс «Грузоподъемность»  является дефицитным. Теневая цена  ресурса, равная 0,93 показывает, что  при увеличении грузоподъемности  на 1 тонну прибыль  трансконтинентальной  фирмы увеличится на  0,93 тыс.  долл.;

-   ресурс  «Площадь трюмов» не является  дефицитным. Теневая цена ресурса, равная 0 показывает, что при увеличении площади трансконтинентальной фирмы, при неизменной грузоподъемности и вместимости, не принесет прибыли;

-   ресурс  «Вместимость»  является дефицитным. Теневая цена ресурса, равная 0,76 показывает, что при увеличении вместимости на 1 м³, прибыль фирмы увеличивается на  0,76 тыс. долл.

Сделаем выводы о рентабельности приобретения дополнительных ресурсов и их количества. Увеличение запасов стройматериалов, техники  и количества рабочих принесут дополнительную прибыль, поэтому приобретение этих дополнительных ресурсов является рентабельным. Так как увеличении грузоподъемности судна на 1 тонну приносит большую прибыль, чем увеличение вместимости 1 м³, то ресурс «Техника» является более приоритетным. Его допустимое увеличение составляет 937 тыс.дол.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3

Многокритериальная  оптимизация

Для задачи предыдущего  задания найти решение при  двух дополнительных критериях оптимизации. Для этого смоделировать следующие  условия.

Затраты на износ оборудования при перевозке сотни ящиков с техникой равны W_т=700 долл., при перевозке сотни ящиков с продуктами равны W_п=300 долл., при перевозке сотни ящиков со стройматериалами равны W_c=600 долл.

Рост репутации  фирмы при перевозке сотни  ящиков с техникой равен  H_т=1 баллов, при перевозке согни ящиков с продуктами равен Н_п=6 баллов, при перевозке сотни ящиков со стройматериалами равен H_с=3 баллов.

Рассмотреть вариант  оптимизации трех критериев: максимизации прибыли (как и было ранее в задании 2): минимизации износа оборудования; максимизации роста репутации фирмы.

1. Определить оптимальные планы и значения критериев при оптимизации по каждому из них.

2. Определить оптимальный план методом свертки (взвешивания критериев). Вес первого критерия положить равным 5, второго 3, третьего 2. При взвешивании провести операцию обезразмеривания, поделив значения целевых функций на их максимальный коэффициент. Оценить значения критериев при таком подходе.

Насколько они  далеки от оптимальных при соответствующей  однокритериальной оптимизации?

3. Определить оптимальный план методом последовательных уступок. Уступка по первому критерию может составлять не более 20%, по второму – не более 35%.

Оценить значения критериев при таком подходе. Как они отличаются от значений, определенных другими способами?

Во всех случаях  записать четкий ответ, представляющий собой развернутое управленческое решение для поставленной экономической  проблемы.

Решение:

- затраты на износ оборудования при перевозке сотни ящиков с техникой равны 700 долл., при перевозке сотни ящиков с продуктами равны 300 долл., при перевозке сотни ящиков со стройматериалами равны 600 долл. Тогда суммарные затраты на перевозку всего груза составят:

- рост репутации фирмы при перевозке сотни ящиков с техникой равен  1 баллов, при перевозке согни ящиков с продуктами равен 6 баллов, при перевозке сотни ящиков со стройматериалами равен H3 баллов. Общая сумма баллов от перевозки всех грузов составит:

Рассмотрим  вариант оптимизации трех критериев:

1) максимизации  прибыли от перевозки 

2) минимизации  износа оборудования 

3) максимизации  роста репутации фирмы: 

Т.о. имеем следующую  задачу многокритериальной оптимизации:

1. Определим оптимальные планы и значения критериев при оптимизации по каждому из них.

Ранее было получено оптимальное решение по первому  из критериев:

, .

 

Оптимальное решение  по второму критерию:

, .

 

 

Оптимальное решение  по третьему критерию:

  , .

2. Определим оптимальный план методом свертки (взвешивания  критериев), при котором от m частных критериев переходят одному критерию, получаемому следующим образом:

,

где - вес критерия;

- критерий.

Проведем операцию обезразмеривания, поделив значения целевых функций на их максимальный коэффициент. Вес первого критерия полагаем равным 5, второго 3, третьего 2.

Тогда , , .

 

Оптимальное решение  в этом случае следующее: в оптимальный  план перевозки входит 310 сотен ящиков с техникой и 400 сотен ящиков с  продуктами, перевозка стройматериалов  в оптимальный план не входит.

При этом прибыль, полученная от перевозки грузов составит составит:

(тыс. долл.)

Затраты на износ  оборудования составят:

(тыс. долл.)

Число баллов, отражающие репутацию фирмы составят

(баллов)

Полученные  значения критериев Z₁ и Z₃ найденные по этому методу меньше значений критериев, найденных при однокритериальной оптимизации, а значение критерия Z₂ - больше.

3. Определим оптимальный план методом последовательных уступок. Уступка по первому критерию может составлять не более 20%, по второму – не более 35%.

Оптимальное решение  по первому критерию .

Переходим к  минимизации функции Z₂  при условиях:

и дополнительном ограничении: или

Решаем задачу минимизации функции Z₂ при ограничениях:

Теперь уступаем по второму критерию не более чем  на 35%, поэтому дополнительное ограничение  будет иметь вид:

 или  .

Решаем задачу максимизации функции Z₃ при ограничениях:

Оптимальное решение, найденное методом последовательных уступок следующее: в оптимальный  план перевозки входит 288 сотен ящиков с техникой и 411 сотен ящиков с  продуктами, перевозка стройматериалов  в оптимальный план не входит.

При этом прибыль, полученная от перевозки грузов составит:

(тыс. долл.)

Затраты на износ  оборудования составят:

(тыс. долл.)

Число баллов, отражающие репутацию фирмы составят

(баллов)

Полученное  значение критерия Z₁ (максимума прибыли) в этом случае меньше чем в случае нахождения оптимального решения другими методами; значение критерия Z₂ больше чем в случае однокритериальной оптимизации, но меньше, чем в случае метода свертки; значение третьего критерия Z₃ меньше чем в случае однокритериальной оптимизации, но больше, чем в случае метода свертки.

Сведем полученные данные в таблицу:

Значение  критерия	Однокритериальная оптимизация	Метод свертки	Метод последовательных уступок
	4052	3370	3249
	0	337	324,9
	3330	2710	2754

 

 

 

 

Список  использованной литературы

1. Зайцев М.Г., Варюхин С.Е. Методы оптимизации управления и принятия решений: примеры, задачи, кейсы: Учебное пособие. - 2-е изд.,испр.- М.: Дело, 2008. – 664 с.
2. Лабскер Л. Г. Теория игр в экономике (практикум с решениями задач). -  М.: Кнорус, 2012. - 264 с.
3. Методы оптимальных решений в экономике и финансах: Учебник. /под ред. В.М.Гончаренко, В.Ю.Попова. - М.: Кнорус, 2013. - 400с.
4. Орлов А.И. Теория принятия решений. - М.: Экзамен, 2006. - 576 с.
5. Соколов А. В., Токарев В. В. Методы оптимальных решений. В 2 т. -     2-е изд., испр. - М.:Физматлит, 2011. - 564 с.
6. Соловьев В.И. Методы оптимальных решений: Учебное пособие. -М.: Финансовый университет, 2012. - 364 с.