Модель Бертрана

Page 1

Модель Бертрана
Критика Бертраном модели Курно.
Олигополисты назначают цены, а не объемы.
Последовательность принятия решения в модели:
1) Фирмы назначают цены p
j
(одновременно)
2) Покупатели решают, у какой фирмы и сколько покупать.
Второй этап обычно не рассматривают, т.е. анализируется свернутая игра. Предположе-
ние состоит в том, что покупатели покупают по самой низкой цене.
В классической модели Бертрана издержки на единицу продукции считаются постоян-
ными и одинаковыми у всех фирм (c). Фирмы могут производить благо в произвольном
количестве при одних и тех же предельных издержках.
При анализе ценовой конкуренции (не только в модели Бертрана) удобно рассматривать
функцию спроса y
j
=D
j
(p
j
,p
Öj
) – спрос на продукцию фирмы зависит также от цен, назна-
ченных другими. Эта функция определяет свернутую игру.
Выигрыш в свернутой игре – это прибыль в зависимости от назначенных цен:
Π
j
(p
j
,p
Öj
)=(p
j
Öc)D
j
(p
j
,p
Öj
).
Т.о. достаточно задать функцию D
j
(⋅)
, и мы получим описание (свернутой) игры.
Для упрощения будем считать, что цены выбираются из [c,+∞)
(т.е. p
j
>c).
Пусть p
min
– минимальная цена, т.е.
p
min
=min
j
p
j
.
Если p
j
>p
min
, то y
j
=D
j
=0. Если p
j
=p
min
, то y
j
=D(p
min
)/k=0, где D(⋅)
– обычная функ-
ция спроса, k – количество фирм, назначивших минимальную цену p
min
.
Равновесием Бертрана
называют равновесие Нэша в описанной игре (модели Бертрана).
Его характеристика:
По крайней мере две фирмы назначат цены на уровне предельных издержек.
Теорема. Набор цен всех фирм p
j
, j=1,...,n (n>2) будет равновесием тогда и только то-
гда, когда для них выполнена указанная характеристика. (Предположение: D(p)>0 в окре-
стности c.)
Доказательство:
Очевидно, что описанный набор цен составляет равновесие, поскольку ни одной фирме
не имеет смысла менять свою цену в одиночку, она в любом случае будет получать нуле-
вую прибыль при данных ценах остальных.
Докажем, что ситуация, когда p
j
>c′
j
(другими словами, p
min
>c) – не равновесие. А
именно, хотя бы одной фирме будет выгодно понизить цену ниже p
min
. Действительно, ес-
ли D(p
min
)=0, то любой фирме будет выгодно назначить любую цену p
j
, такую что
D(p
j
)>0, поскольку в этом случае все потребители придут к ней и она будет обслуживать
весь рынок. Если же D(p
min
)>0, то есть хотя бы одна фирма, которая не обслуживает весь
рынок (либо назначившая цену выше минимальной, либо одна из нескольких фирм с ми-
нимальной ценой). Она может установить цену немного ниже p
min
и увеличит прибыль.
Доказали, что в равновесии хотя бы у одной фирмы p
j
=c. Докажем, что такая фирма бу-
дет не одна. Действительно, путь такая фирма одна. Если она немного повысит цену свыше

---

Page 2

c то по предположению теоремы спрос останется положительным, и, соответственно, при-
быль станет положительной, а не нулевой.
*
Парадокс Бертрана: в олигопольной отрасли получили что-то вроде совершенной кон-
куренции. В модели предположение о том, что выбираются цены – это приемлемо, однако
выводы странные.
Модификации:
1) Неоднородная продукция (продуктовая дифференциация) – функция спроса D
j
(⋅)
то-
гда вполне может быть непрерывной по ценам. Потребители не все уходят к фирме, назна-
чившей наименьшую цену.
2) Издержки имеют другую форму – имеет место убывающая отдача от масштаба. Эд-
жворт: есть ограничения на объемы из-за ограниченности производственных мощностей.
3) Модель Бертрана статическая. Если рассматривать взаимодействие фирм в динамике,
то фирмы могут договориться (модель молчаливого сговора).
Можно представить, например, ситуацию, когда мощности фирм ограничены: y
j
<Q
j
. В
этом случае может случиться так, что фирма, назначившая минимальную цену, будет не в
состоянии удовлетворить весь спрос. Другим фирмам останется остаточный спрос.
Аналогично, при убывающей отдаче может случиться так, что фирма, назначившая ми-
нимальную цену, может не захотеть удовлетворять весь спрос. Такое может быть, если при
выпуске таком, что цена равна предельным издержкам (p
j
=c
j
′(y
j
)), спрос превышает этот
выпуск (y
j
<D(p
j
)).
Чтобы анализировать подобные модификации модели, следует включить в игру еще
один этап: фирмы выбирают объемы производства. Игра в этом случае становится динами-
ческой. Для упрощения в дальнейшем будем предполагать, что фирм две (дуополия). Изо-
бразим игру в виде схемы:
Фирма, назначившая наименьшую цену, выбирает свой выпуск первой, так как покупа-
тели придут сначала к ней.
В рамках модели нужно задать, какой спрос достанется 2-й фирме, если, к примеру,
p
1
<p
2
. Если p
1
<p
2
, то 2-й фирме достанется некоторый остаточный спрос, D
2
(p
2
, y
1
, p
1
),
поэтому y
2
<D
2
(p
2
, y
1
, p
1
) – выпуск не выше остаточного спроса. Если бы был выше, то 2-я
фирма не сможет все продать, а ей это не выгодно.
Остаточный спрос будет зависеть от того, какие потребители купят благо, а какие нет.
Для простоты интерпретации можно считать, что каждый потребитель может потребить
только одну, бесконечно малую, единицу блага, и количество потребителей бесконечное.
Необходимо рассмотреть некий механизм распределения дефицитного блага. Будем на-
зывать этот механизм
рационированием
(хотя такое название не очень адекватно). Будем
считать, что функция остаточного спроса D
2
(p
2
, y
1
, p
1
) задана при всех допустимых ценах, а
не только при p
2
>p
1
.
Два наиболее очевидных типа рационирования:
⊗ Пропорциональное (случайное) рационирование.
Потребители имеют одинаковые шансы купить благо. При таком рационировании спрос
сжимается пропорционально (на графике – в горизонтальном направлении):
D
2
(p
2
, y
1
, p
1
) = (D(p
1
)Ö y
1
)D(p
2
)/D(p
1
) при p
2
<p
1
.

---

Page 3

Хотя случайное рационирование может показаться очень естественным, это не единст-
венный возможный механизм.
⊗ Параллельное (эффективное) рационирование.
Товар достается только тем потребителям, которые его больше всего ценят.
D
2
(p
2
, y
1
, p
1
) = D(p
1
)Ö y
1
при p
2
<p
1
.
Реально эта схема может оказаться более обоснованной, если есть арбитраж, причем на
вторичном рынке нет «трения». Случайное рационирование по факту невозможно при ар-
битраже: потребители с низкой оценкой перепродадут благо потребителям с высокой
оценкой.
Почему рационирование названо «эффективным»? Если (например, при случайном ра-
ционировании) у 1-й фирмы по цене p
1
купит потребитель с низкой оценкой (v), так что
более высокая цена другой фирмы, p
2
, окажется выше его оценки, то ситуация будет неэф-
фективной – суммарный излишек можно увеличить за счет передачи блага потребителю с
более высокой оценкой (v′>v
). Тогда этот второй потребитель может не покупать по цене
p
2
, а потребитель с низкой оценкой не получит благо – это более эффективно:
vÖp
1
+v′Öp
2
<v′Öp
1
,
как только v<p
2
. Такие два потребителя всегда найдутся, если имеет место не эффек-
тивное рационирование, а какое-либо другое.
Задав способ рационирования, мы можем анализировать модель.
Игру можно свернуть, найдя остаточный спрос и рассмотрев, какие выпуски при данной
предыстории выберут фирмы (т.е. найдя функции отклика). Подставив это в функции при-
были, получим редуцированную игру, в которой фирмы одновременно выбирают цены.
Сравним модель с убывающей отдачей с классической моделью Бертрана: будет ли рав-
новесие соответствовать совершенной конкуренции?
Предположим, что в равновесии имеем
(p
1
,p
2
,y
1
,y
2
)=(p-,p-,y-
1
,y-
2
),
причем
c
1
′(y-
1
)=p-
, c
2
′(y-
2
)=p-
, D(p-)=y-
1
+y-
2
.
Это аналог совершенной конкуренции. Так будет, если фирмы будут вести себя как це-
нополучатели.
Докажем, что такого быть не может в модифицированной модели Бертрана.
В частности, второму выгодно выбрать p
2
>p-
, при том что p
1
=p-
. Полностью сворачивать
игру не будем, только в этом частном случае.
При p
2
=p-
фирмы будут выбирать выпуски одновременно и выберут y-
1
и y-
2
соответст-
венно. Если же p
2
>p-
, то первым выбирает выпуск первый, и второму остается остаточный
спрос D
2
(p
2
, y-
1
, p-)
. Второму тогда выгодно выбрать выпуск равным этому остаточному
спросу (если меньше, то, поскольку цена p
2
будет выше предельных издержек, производная
прибыли будет положительной).
Заметим, что при p
2
→p-+0 (сверху) для произвольной «разумной» схемы рационирова-
ния имеем D
2
(p
2
, y-
1
, p-)→D(p-)Ö y-
1
=y-
2
. Таким образом, выбор выпуска 2-й фирмой как
функция собственной цены в данном случае – непрерывная функция при всех p
2
>p-
. Обо-
значим ее y
2
(p
2
). Если рационирование дает дифференцируемый остаточный спрос, то
y
2
(p
2
) также дифференцируема. На основе нее можно рассчитать прибыль 2-й фирмы:
Π
2
(p
2
)=y
2
(p
2
)p
2
Öc
2
(y
2
(p
2
)).

---

Page 4

Дифференцируем:
Π
2
′(p
2
)=y
2
(p
2
)+[p
2
Öc
2
′(y
2
(p
2
))]y
2
′(p
2
).
Так как c
2
′(y-
2
)=p-
, то Π
2
′(p-)=y
2
(p-)=y-
2
. При y-
2
>0 имеем Π
2
′(p-)>0.
Модификация модели Бертрана: модель с выбором мощностей
По аналогичным причинам, если есть ограничения по производственным мощностям, то
результат может быть совсем не тот, что в классической модели Бертрана. Можно рас-
смотреть многоэтапную модель, в которой сначала выбирают мощности, затем цены, а за-
тем – выпуски. При эффективном рационировании в этой модели может быть тот же ис-
ход, что и в модели Курно. В дальнейшем будем рассматривать только эффективное ра-
ционирование.
Объемы производства ограничены:
y
j
<Q
j
,
а издержки включают издержки на создание производственных мощностей (предполагаем
постоянную отдачу):
c⋅y
j
+γ⋅Q
j
.
Анализ модели проводится следующим образом:
<skip>
Дуополия Бертрана.
p
1
,p
2
→y
1
,y
2
.
При данных ценах выбор объема производства тривиален. Это либо величина производ-
ственных мощностей, либо величина спроса на продукцию фирмы. Таким образом, как и в
обычной модели Бертрана можно рассматривать игру, в которой фирмы одновременно вы-
бирают цены.
В отличие от обычной модели Бертрана, мы не будем предполагать, что при одинаковых
ценах спрос делится поровну между фирмами. Мы будем предполагать только, что в этом
случае продажи каждой фирмы положительны. Например, если у одной из фирм мощности
меньше половины величины спроса, то остальной спрос «достается» конкуренту.
Рассмотрим случай, когда мощности не очень большие: D(c)>Q
j
, j=1,2 или c<p
Q
j
, где p
Q
j
– цена, при которой спрос равен величине мощностей этой фирмы: D(p
Q
j
)=Q
j
.
Сначала рассмотрим прибыль j-й фирмы как монополиста как функцию цены: Π
M
j
(p).
Рассмотрение прибыли монополиста позволит нам проанализировать случай, когда у одной
фирмы цена меньше, чем у другой. Пока цена фирмы меньше цены конкурента, она нахо-
дится в положении монополиста с постоянными средними издержками c и мощностями Q
j
.
При p∈[c, p
Q
j
] монополист полностью загрузит мощности: y
j
=Q
j
. Прибыль при этом ли-
нейна по ценам: Π=(pÖc)Q
j
. При p>p
Q
j
– как у обычного монополиста. Прибыль имеет вид
Π=(pÖc)D(p). Оптимум: p
M
.

---

Page 5

Возможны два случая: p
Q
j
<p
M
и p
Q
j
>p
M
(p
Q
j
=p
M
– граничный случай – неособенный).
Предполагаем, что функция прибыли обычного монополиста, (pÖc)D(p), является ква-
зивогнутой. Тогда p
M
– единственный максимум этой функции, слева от p
M
данная функ-
ция возрастает, а справа – убывает. При этом монополист будет выбирать из p
Q
j
и p
M
. Если
p
Q
j
<p
M
, то он выберет p=p
M
, и будет производить y
j
=D(p
M
) (мощности недогружены, спрос
по цене p
M
полностью удовлетворен). Если p
Q
j
>p
M
, то он выберет p=p
Q
j
, и будет производить
y
j
=Q
j
(мощности полностью загружены, остается неудовлетворенный спрос).
Эти картинки относятся к случаю, когда у фирмы цена меньше, чем у конкурента, и он
оказывается в положении монополиста, ограниченного производственными мощностями.
Покажем, что такая ситуация – когда у одной из фирм цена меньше, чем у конкурента –
невозможен в равновесии в рассматриваемой модели дуополии.
По определению равновесия Нэша, если, например, цена фирмы 1 зафиксирована на
равновесном уровне, то прибыль фирмы 2 достигает максимума при равновесной цене.
Таким образом, для анализа того, может или не может определенная ситуация сложиться в
равновесии, следует рассмотреть поведение прибыли каждой фирмы по ее цене при фикси-
рованной цене конкурента.
Зафиксируем, например, цену p
1
и рассмотрим Π
2
(p
2
,p
1
) как функцию p
2
. Слева от p
1
фирма 2 оказывается в положении монополиста, и ее прибыль имеет такой же вид, как на
Рис. 1. При p
2
=p
1
фирма 2 перестает быть монополистом и каким-то образом делит спрос с
фирмой 1 (пока для нас не важно, каким именно образом). Далее, справа от p
1
прибыль
фирмы 2 находится по остаточному спросу и зависит от выпуска, выбранного фирмой 1.
Пусть p
1
>p
Q
1
. Тогда, сталкиваясь с полным спросом D(p
1
), фирма 1 сможет полностью
его удовлетворить, остаточный спрос будет нулевым, и фирма 2 будет иметь нулевую при-
быль. Ясно, что фирма 2 в равновесии не станет назначать цену p
2
>p
1
, поскольку любая
цена из отрезка (c, p
1
) дает более высокую прибыль. Это иллюстрирует Рис. 2, созданный
на основе Рис. 1а. Стрелкой указан способ увеличения прибыли для фирмы 2 в случае
p
1
<p
2
.
p
M
p
Q
j
c
p
Π
M
j
Π=(pÖc)Q
j
Π=(pÖc)D(p)
p
M
p
Q
j
c
p
Π
M
j
Π=(pÖc)Q
j
Π=(pÖc)D(p)
а)
б)
Рисунок 1. а) p
Q
j
<p
M
– мощности большие (но не очень большие), б) p
Q
j
>p
M
–
малые мощности
p
1
c
p
2
Π
2
Рисунок 2. Фирма 2 может увеличить прибыль,
если p
1
<p
2
и p
1
>p
Q
1

---

Page 6

Если же p
1
<p
Q
1
, то фирма 1 не сможет удовлетворить спрос D(p
1
) и вынуждена будет ог-
раничиться производством в объеме y
1
=Q
1
. В окрестности этой цены прибыль фирмы 1 при
фиксированной цене p
2
возрастает линейно. Ей достаточно немного увеличить цену, и ее
прибыль станет выше. Фирма 1 может это сделать, коль скоро, p
1
<p
2
. (См. Рис. 3)
Мы рассмотрели два возможных случая: p
1
>p
Q
1
и p
1
<p
Q
1
и продемонстрировали, что ситуация p
1
<p
2
не может возникнуть в равновесии. Аналогично,
p
1
>p
2
тоже невозможно. Поэтому в равновесии
цены могут быть только равными: p
1
=p
2
.
Рассмотрим ситуацию p
1
=p
2
=p. Возможны три
случая: D(p)< Q
1
+Q
2
, D(p)> Q
1
+Q
2
и D(p)=
Q
1
+Q
2
.
Покажем, что в равновесии возможен только
третий случай. При этом мощности обеих фирм
полностью загружены: y
1
=Q
1
, y
2
=Q
2
, а весь спрос удовлетворен. Обозначим соответствую-
щую цену через p
*
. Тогда выполнено
D(p
*
)=Q
1
+Q
2
.
Пусть, например, D(p)< Q
1
+Q
2
. Тогда p
1
=p
2
=p>p
*
. В этом
случае мощности недогружены хотя бы у одной фирмы.
Пусть это фирма 2. Поскольку по предположению при рав-
ных ценах объем продаж фирмы 1 не равен нулю (как делят
рынок – неважно), то продажи фирмы 2 ниже полного
спроса D(p). Если фирма 2 снизит цену, то она окажется в
положении монополиста. Она сможет выбрать более высо-
кий объем производства (на уровне спроса при новой цене
или же на уровне мощностей – в зависимости от того, что
ниже). Если снижение цены будет не очень большим, то
прибыль возрастет. Этого не может быть в равновесии.
Если
же
Q
1
+Q
2
=
D(p
*
)<D(p),
то
p
1
=p
2
=p<p
*
, мощности полностью загружены:
y
1
=Q
1
, y
2
=Q
2
, и часть спроса не удовлетворена.
При этом любой фирме выгодно несколько по-
высить цену. Рассмотрим, например, фирму 2.
Пусть она назначает цену выше p, в то время,
как у фирмы 1 цена та же: p
1
=p. При p
2
>p
1
у пер-
вой фирмы весь спрос. Она как производила
y
1
=Q
1
, так и будет производить. Пока p
2
<p
*
оста-
точный спрос D(p
2
)ÖQ
1
будет выше Q
2
, и поэто-
му мощности загружены полностью (y
2
=Q
2
), и
прибыль возрастает линейно. (Справа от точки
p
*
остаточный спрос ниже Q
2
, т.е. прибыль по остаточному спросу.). Этого не может быть в
равновесии.
Следовательно, в равновесии должно выполняться p
1
=p
2
=p
*
, y
1
=Q
1
, y
2
=Q
2
, и
D(p
*
)=y
1
+y
2
=Q
1
+Q
2
.
Рассмотрим, при каких условиях это может быть равновесием. Это равновесие (по опре-
делению равновесия Нэша), если не выгодно менять цену, коль скоро конкурент держит p
*
.
Рассмотрим, например, фирму 2. Какой будет ее прибыль, если p
1
=p
*
. При p
2
<p
*
фирма 2
будет продавать y
2
=Q
2
(как и при p
2
=p
*
), ведь спрос при этом увеличивается, а мощности
p
2
c
p
1
Π
1
p
1
Рисунок 3. Фирма 1 может увеличить
прибыль, если p
1
<p
2
и p
1
<p
Q
1
p
c
p
2
Π
2
Рисунок 4. При D(p)<
Q
1
+Q
2
= D(p
*
) фирма с не-
догруженными мощностями
может увеличить прибыль,
немного снизив цену
p
c
p
j
Π
j
p
*
Прибыль по
остаточному спросу
Рисунок 5. При Q
1
+Q
2
=D(p
*
)<D(p)
при небольшом увеличении относи-
тельно общей цены p прибыль любой
фирмы возрастает линейно, поскольку
производство ограничено мощностями

---

Page 7

те же. Если же p
2
>p
*
, то фирме 2 достанется остаточный спрос: D
2
(p)=D(p)ÖQ
1
. При этом
прибыль будет равна Π
2
(p)=(pÖc)(D(p)ÖQ
1
).
Предположим, что прибыль (pÖc)(D(p)ÖQ
1
) ква-
зивогнута, т.е. вершина одна, а в обе стороны сни-
жается. По форме это прибыль фирмы 2 в модели
Курно, если фирма 1 выпускает Q
1
. Максимум этой
прибыли достигается при объеме производства
y
2
=R
2
(Q
1
), где R
2
(⋅)
– функция отклика модели
Курно. Цена p
R
2
, при которой достигается максимум,
удовлетворяет соотношению D
2
(p
R
2
)= R
2
(Q
1
), т.е.
D(p
R
2
)= R
2
(Q
1
)+Q
1
. В рассматриваемой модели этот
максимум может быть достигнут если p
R
2
> p
*
. Соот-
ветственно, при p
R
2
> p
*
равновесия быть не может,
поскольку фирма 2 выберет p
R
2
, а не p
*
– выгодно
поменять цену.
Если p
R
2
<p
*
, то максимум прибыли фирмы 2 достигается при p
2
=p
*
. Тогда это равновесие
– не выгодно менять цену.
Т.е. рассматриваемый случай p
1
=p
2
=p
*
соответствует равновесию, только если p
R
2
< p
*
, и,
аналогично, p
R
1
<p
*
.
p
R
j
<p
*
⇔ D(p
R
j
)>D(p
*
) ⇔ R
j
(Q
Öj
)+Q
Öj
>Q
j
+Q
Öj
⇔ Q
j
<R
j
(Q
Öj
).
Таким образом, условия существования подобного равновесия можно переписать в виде
Q
1
<R
1
(Q
2
) и Q
2
<R
2
(Q
1
).
На Рис. 8 изображена область, где могут быть равновесия в чистых стратегиях (при не
очень больших мощностях: Q
j
<D(c)). Она ограничивается кривыми отклика.
Далее, если хотя бы одно из ограничений нарушено, то есть только равновесия в сме-
шанных стратегиях: фирмы будут рандомизировать, чтобы запутать конкурента. Это так
называемые циклы Эджворта. (Цикл – в динамике. Оптимальный отклик по циклу? ?)
p
M
p
R
2
c
p
2
Π
2
Рисунок 6. При p
R
2
>p
*
случай
p
1
=p
2
=p
*
не может соответствовать
равновесию
p
R
2
c
p
2
Π
2
p
*
Прибыль по
остаточному спросу
Рисунок 7. При p
R
2
<p
*
случай p
1
=p
2
=p
*
может соответство-
вать равновесию

---

Page 8

Есть и другие области чистых стратегий, но при этом мощности должны быть очень
большими хотя бы у одной фирмы, т.е. только при Q
1
<D(c) или Q
2
<D(c).
..........
Утверждение (без доказательства). В области смешанных стратегий фирма с наиболь-
шими мощностями имеет прибыль как у последователя Штакельберга, т.е.
R
j
(Q
Öj
)p(Q
Öj
+R
j
(Q
Öj
)) = R
j
(Q
Öj
)p
R
j
,
где p(⋅)
– обратная функция спроса.
Рассмотрим теперь выбор мощностей. На их создание фирмы несут издержки γQ
j
. Т.е.
от текущей прибыли надо отнять еще и эти издержки. С учетом их мы можем найти моди-
фицированные функции отклика. На рисунке соответствующие кривые сдвинутся вниз
(Рис. ). Пусть точка пересечения – (Q
**
,Q
**
). Покажем, что это равновесие в свернутой
игре выбора мощностей, т.е. не выгодно менять Q
**
на другое Q
j
.
Пусть Q
1
=Q
**
, а Q
2
– другое. Если Q
2
<
R
2
(Q
**
), то это область чистых стратегий, где
наилучший отклик – это Q
**
. Если же
Q
2
>R
2
(Q
**
), то это область смешанных
стратегий, причем Q
2
>Q
1
=Q
**
, т.е. фирма 2
получает
прибыль
как
последователь
Штакельберга без учета γ, минус еще γQ
2
, т.е.
меньше, чем если бы выбрала R
2
(Q
**
), а
R
2
(Q
**
), в свою очередь, дает меньшую
прибыль, чем Q
**
. Т.е. при Q
1
=Q
**
выбор Q
2
=Q
**
обеспечивает максимум прибыли фирмы 2.
Фирме 1 тоже не выгодно менять размер
мощностей по сравнению с Q
**
.
Можно доказать и единственность (без дока-
зательства).
Т.е. получили результат Курно в модифици-
рованной модели Бертрана.
Но это только если эффективное рационирование. Если другое, то необязательно Курно,
особенно если издержки γ малы, и рационирование далеко от эффективного.
Q
2
Q
1
D(c)
D(c)
R
2
(Q
1
)
R
1
(Q
2
)
Рисунок 8. Мощности, при которых существует равновесие в чистых страте-
гиях (заштрихованная область)
Q
2
Q
1
Q
**
Q
**
R
2
(Q
**
)
Рисунок 9. Мощности, при которых су-
ществует равновесие в чистых стратегиях
(заштрихованная область)