Построение и анализ модель множественной регрессии

Задача 1. Построение и анализ модель множественной регрессии

По исходным данным требуется:

1. Построить классическую линейную модель множественной регрессии, выполнить экономический анализ основных показателей модели: коэффициентов «чистой» регрессии, индекса корреляции, индекса детерминации, оценить значимость модели в целом (F-критерий Фишера) и отдельных ее параметров (t-статистика Стьюдента).

2. Проанализировать матрицу парных коэффициентов корреляции на наличие мультиколлинеарности. Если мультиколлинеарность присутствует - устранить (или ослабить) ее методом пошагового отбора переменных.

3. Построить линейную модель регрессии только со значимыми факторами (на основании выводов, сделанных в п.п. 1 и 2). Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели. Оценить качество построенной модели (индексы корреляции и детерминации, F-критерий Фишера, средняя относительная ошибка аппроксимации). Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β- и Δ- коэффициентов.

4. Построить и проанализировать линейную модель парной регрессии с наиболее значимым фактором. Сравнить качество моделей, построенных в п.п. 3 и 4.

5. Осуществить прогнозирование (точечный прогноз и доверительный интервал прогноза) среднего значения показателя Y при уровне значимости a = 0,1 при условии, что прогнозное значения фактора X составит 80% от его максимального значения (для однофакторной модели).

6. Представить графически: фактические и модельные значения, точечный прогноз и доверительный интервал прогноза (для однофакторной модели).

 

№ п/п	x1 – общая площадь квартиры  (м2)	x2 – жилая площадь квартиры  (м2)	x3 – площадь кухни (м2)	x4 – наличие балкона (1- есть, 0 - нет)	y - цена квартиры, тыс. долл.
1	93,2	49,5	14,0	1	46,6
2	117,0	55,2	25,0	1	58,5
3	42,0	21,0	10,2	0	24,2
4	62,0	35,0	11,0	0	35,7
5	89,0	52,3	11,5	1	51,2
6	132,0	89,6	11,0	1	75,9
7	40,8	19,2	10,1	1	21,2
8	59,2	31,9	11,2	1	30,8
9	65,4	38,9	9,3	1	34,0
10	60,2	36,3	10,9	1	31,9
11	82,2	49,7	13,8	1	43,6
12	98,4	52,3	15,3	1	52,2
13	76,7	44,7	8,0	1	43,1
14	38,7	20	10,2	1	25,0
15	56,4	32,7	10,1	1	35,2
16	76,7	44,7	8,0	1	40,8
17	38,7	20	10,2	0	18,2
18	41,5	20	10,2	1	20,1
19	48,8	28,5	8,0	0	22,7
20	57,4	33,5	10,1	1	27,6
21	76,7	44,7	8,0	1	36,0
22	37	17,5	8,3	1	17,8
23	54	30,5	8,3	1	25,9
24	68	42,5	8,3	1	32,6
25	40,5	16	11,0	1	19,8
26	61	31	11,0	1	29,9
27	80	45,6	11,0	1	39,2
28	52	21,2	11,2	1	22,4
29	78,1	40	11,6	1	35,2
30	91,6	53,8	16,0	2	41,2

Изучите зависимость стоимости  квартиры от ряда основных факторов.

 

 

Решение.

1. Построим линейную модель  множественной регрессии:

                     

С помощью инструмента Регрессия в надстройке Анализ Данных В Excel найдем уравнение регрессиипринимает вид:

y= -3,01-1,36*x1+5,97*x2-0,32*x3+1,41*x4,

Коэффициент детерминации:

 

Коэффициент множественной  корреляции:

 

Значения коэффициентов  детерминации и множественной корреляции:

Оценим значимость модели в целом  с помощью F-критерия Фишера:

 

Для нахождения F табличное используем формулу:

=F.ОБР.ПХ(0,05;2;13)

Вывод заключается в том, что модель значима и надежна,тк. Fфак>Fтабл( 18,37>3.332).

Находим параметры  стьюдента t-статистики.

Из представленной выше таблицы  берем нужные нам коэффициенты,t1 и t2.

 

Используем формулу =СТЬЮДЕНТ.ОБР.2X(0,05;13).

Вывод заключается в том, что параметр b2 статистически не значим, т.к мельше tтабличное. Поэтому фактор x2 можно исключить из модели.

Y=f(x1,,x3,x4).

2.Проанализируем матрицу  парных коэффициентов корреляции  на наличие мультиколлиниарности.С помощью Анализа данных получим таблицу.

Между факторами x1 и x2 сильная связь межфакторная, поэтому один из факторов исключим.

Исключим x2 потому что он равен 0,64.( менее тесно связан).

Так же можем убрать из модели фактор x4,потому что он мельне 0,3,меньше связан с моделью.

Y=f(x1,x3)

 

Y=-3,01+1,36*x1+1,32*x3.

 

 

Построим однофакторную  модель регрессии.

Y=f(x)

 

Задача 2. Построение и анализ модели временного ряда

По исходным данным требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Проверить наличие тренда.

3. Построить линейную модель временного ряда , параметры которой оценить с помощью метода наименьших квадратов.

4. Оценить адекватность модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности уровней ряда остатков и соответствия ряда остатков нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия воспользоваться таблицами).

5. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6. Осуществить прогноз (точечный прогноз и доверительный интервал) результирующего показателя на следующие два временных шага (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности 0,85).

7. Представить графически фактические значения исследуемого показателя, результаты моделирования и прогнозирования

 

 

 

Задача 2.

В таблице приведены данные объема реализации продукции условного  предприятия Y(t) (млн. руб.) за 21 неделю.

Неделя, t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Объем реализации нового товара, тыс. ед.	0,1	0,41	3,1	4,95	10,17	16,84	22,9	30,68	36,47	41,16	42,33
Неделя, t	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
Объем реализации нового товара, тыс. ед.	47,54	48,8	49,3	51,0	52,81	53,34	53,72	53,98	54,16	54,29

Решение.

1. В Excel построить таблицу с исходными данными.

^{Рис. 1. Исходные данные}

 

2. Наличие аномальных  наблюдений приводит к искажению  результатов моделирования, поэтому  необходимо убедиться в отсутствии  аномалий данных.

Проверим наличие аномальных наблюдений. Для этого воспользуемся  методом Ирвина. Вычислим :

 

 

^{Рис. 2. Нахождение аномальных наблюдений}

3. Для того, чтобы проверить наличие тренда, воспользуемся анализом данных – «Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями».

^{Рис. 3. Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями}

Результат выполненного теста, показывает, что дисперсии отличаются существенно, значит, временной ряд  имеет тенденцию к тренду.

4. Линейная модель временного  ряда y = 0,2093 x +3,1334

^{Рис. 4. Коэффициенты уравнения  регрессии}

5. Оценка параметров модели.

6. Проверим соответствие  ряда остатков нормальному закону  распределения с помощью RS-критерия:

 

 

 

^{Рис. 5. Вывод остатков}

 

 

 

 

Модель по этому критерию адекватна.

 

 

7. Для оценки точности  воспользуемся формулой 

 

 

 

 

Е_отн = 28,067 %  − хороший уровень точности.  
Список литературы.

1. Орлова «Компьютерное моделирование» 2007.
2. Кремер «Эконометрика» 2002.
3. Елисеева «Эконометрика» 2007.