Потребление электроэнергии городскими семьями

 

 

Вариант 6

Исходные данные

Имеются данные о потреблении электроэнергии городскими семьями:

 

N п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число членов семьи, чел.	1	2	2	3	3	3	4	4	5	6
Годовое потребление эл.энергии, тыс. кВт.-ч.	0,4	1,2	1,1	1,4	1,6	2,1	2,5	2,2	2,3	2,5

 

Задание.

1. По имеющимся данным сформулировать априорные предположения о возможной связи между факторами, определив зависимую и независимую переменные.
2. Построить поле корреляции и сформулировать предположения о характере связи между переменными.
3. Рассчитать оценки парной линейной регрессионной модели по методу наименьших квадратов (МНК).
4. Дать интерпретацию коэффициентам регрессии.
5. Рассчитать парный линейный коэффициент корреляции и дать интерпретацию.
6. Оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии и корреляции, приняв уровень значимости 95%.
7. Рассчитать теоретический коэффициент эластичности и дать ему интерпретацию.

 

Задание 1.

По имеющимся данным сформулировать априорные предположения о возможной связи между факторами, определив зависимую и независимую переменные.

Решение

Независимые переменные- это переменные, значениями которых можно управлять, а зависимые- это переменные, которые можно только измерять или регистрировать.

Таким образом, независимая переменная Х- это число членов семьи, зависимая У-это годовое потребление электроэнергии. В связи с этим, между факторами существует линейная связь.

Задание 2.

Построить поле корреляции и сформулировать предположения о характере связи между переменными.

Решение

Корреляция вычисляется при помощи формул:

коеффициент корреляции (парный коэффициент корреляции)
	или
где: , , - дисперсия  , ,   , , ,
n – количество объектов

Линейный коэффициент корреляции равеняется 0,00799875, что укладывается в . Положительный знак при линейном коэффициенте корреляции указывает на прямую зависимость между признаками.

Измерим тесноту криволинейной связи, вычисляющуюся по следующей формуле и имеющий тот же смысл, что и линейный коэффициент корреляции.

где: - дисперсия для теоретических значений ,

что равняется 4,9537

- дисперсия для фактических  значений y,

что равняется 3,8988

Теснота криволинейной связи равна 0,78704807.

Данный результат по своему смыслу аналогичен r, результат его более тесная связь между признаками, и так же преобладает прямая зависимость между признаками. 
Построим теоретическое корреляционное отношение вычисляющееся по формуле.

,

где: или , что равно 1,0549 

R= 0,78704807

Теоретическое корреляционное отношение показывает такие же данные, что и теснота криволинейной связи.

Задание 3.

Рассчитать оценки парной линейной регрессионной модели по методу наименьших квадратов (МНК).

Решение

При выполнении Задания 1 было установлено, что зависимость между признаками линейная, поэтому уравнение зависимости будет выглядеть следующим образом:

где: х – число членов сесьи, чел;

у – годовое потребление эл.энергии, тыс.кВт/ч;  
a – регрессионная постоянная, точка пересечения линии;  
b – коэффициент регрессии, угол наклона линии регрессии.  
Система уравнений будет выглядеть следующим образом:

; ; ; .

Подставляем числа в систему.

Оценки регрессии:

Таким образом уравнение регрессии принимает вид:

Задание 4.

Дать интерпретацию коэффициентам регрессии.

Решение

Для помощи интерпретации коэффициентов a, b построим график для установления формы связи.

 

 

Из графика видно, что предположение о линейной форме связи верно.

Задание 5.

Рассчитать парный линейный коэффициент корреляции и дать интерпретацию.

Решение

Парный линейный коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

обозначения слогаемых приведены при выполнении «Задания 2»

=-0,082013

Так как коэффициент корреляции меньше 1 и со знаком минус, то связь между показателями слабая.

Задание 6.

Оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии и корреляции, приняв уровень значимости 95%.

Решение

Вычисление статистической значимости коэффициента регрессии проверяется с помощью t-критерия Стьюдента. Следующим образом

Вначале определяется остаточная сумма квадратов:    
Среднее квадратическое отклонение: .   
Определяется стандартная ошибка коэффициента регрессии:  .  
Фактическое значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии рассчитывается .

Значение ( для 95% уровня значимости)  

Построим доверительный интервал для b :

где, берется из таблицы поэтому доверительный интервал:

[-0,06549943;0,10070777]

Оценка статистической значимости модели регрессии с помощью F-критерия Фишера.

=37,5671628

По таблице находим значение F-критерия с 1, n-2 степенями свободы:

 

37,5671628>5,32

Задание 7.

Рассчитать теоретический коэффициент эластичности и дать ему интерпретацию.

Решение

Теоретический коэффициент эластичности вычисляется по формуле:

 

Промежуточные расчеты, и результаты вычислений.

№	Число членов семьи, чел	Год. Потр. Эл.эн. тыс.кВт/ч	Промежуточные расчеты
	x	y
1	1	0,4	1	0,4	0,16	0,49	1,5376	0,0081	5,29
2	2	1,2	4	2,4	1,44	0,98	0,5625	0,0484	1,69
3	2	1,1	4	2,2	1,21	0,98	0,5625	0,0144	1,69
4	3	1,4	9	4,2	1,96	1,47	0,0676	0,0049	0,09
5	3	1,6	9	4,8	2,56	1,47	0,0676	0,0169	0,09
6	3	2,1	9	6,3	4,41	1,47	0,0676	0,3969	0,09
7	4	2,5	16	10	6,25	1,96	0,0529	0,2916	0,49
8	4	2,2	16	8,8	4,84	1,96	0,0529	0,576	0,49
9	5	2,3	25	11,5	5,29	2,45	0,5184	0,0225	2,89
10	6	2,5	36	15	6,25	2,94	1,4641	0,1936	7,29
	33	17,3	129	34,37	65,6	30,9729	4,9537	1,0549	20,1
	3,3	1,73	12,9	3,437	6,56	=3,09729	=  0,49537	=  0,10549	=  2,01

 

 

 

 

№ Число членов семьи, чел Го.потр.элээнер. тыс.кВт/Ч Коэффициенты уравнения регрессии Кривая регрессии x y y^=0,191906239+0,01760417х 1 1 0,4 a=0,191906239   2 2 1,2 b=0,01760417 3 2 1,1   4 3 1,4 5 3                        1,6 6 3 2,1 7 4 2,5 8 4 2,2 9 5 2,3 10 6 2,5       33 17,3   3,3 ,1,73

Коеффициент корреляции (парный коэффициент корреляции) -0,082013 дисперсия теснота криволинейной связи     4,9537 3,8988 0,78704807 Теоретическое корреляционное отношение 0,78704807

 

 

 

Статистическая значимость коэффициента регрессии с помощью t-критерия Стьюдента		Оценка статистической значимости модели регрессии с помощью F-критерия Фишера
0,726258	0,036132	Фактическое значение F-критерия Фишера:
		13,55135987
		По таблице находим значение F-критерия с 1, n-2 степенями свободы:
0,013245083	4,22605052		13,55135987>5,32
	4,22605052 > 2
	для 95%	Теоретический коэффициент эластичности
95% доверительный  интервал для b
[0,0255107;0,086438]