Применение дифференциального исчисления в экономике

Содержание

 

Введение

1. Направления применения дифференциального исчисления в экономическом анализе

2. Эластичность и её свойства

3. Предельные показатели в экономике

4. Максимизация прибыли

5. Закон убывающей эффективности производства

Заключение

Список литературы

 

 

Введение

 

Дифференциальное  исчисление – широко применяемый  для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических  величин, записываемых в виде функций. В экономике очень часто требуется  найти наилучшее (оптимальное) значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, минимальные  издержки. Каждый показатель представляет собой функцию одного (нескольких) аргументов.

Аппарат дифференциального исчисления применяется так же в моделях  экономической динамики. Динамические модели применяются для решения  таких задач, как определения  оптимальной или равноместной траектории развития экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов и п.т.

В своей  курсовой работе, я постараюсь широко раскрыть использование дифференциальных исчислений в решении экономических  задач и приведу конкретные примеры.

 

 

1. Направления применения дифференциального исчисления в экономическом анализе

 

Нахождение  оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции  одной или нескольких переменных. Подобные задачи порождают класс  экстремальных задач в экономике, решение которых требует использования  методов дифференциального исчисления. Если экономический показатель у нужно максимизировать или минимизировать как функцию другого показателя х (например, задача на максимум прибыли как функции объёма выпуска), то в оптимальной точке приращение функции у на приращение аргумента х должно стремиться к нулю, когда приращение аргумента стремиться к нулю. Иначе, если такое приращение стремится к некоторой положительной или отрицательной величине, рассматриваемая точка не является оптимальной, поскольку, увеличив или уменьшив аргумент х, можно изменить величину у в нужном направлении. В терминах дифференциального исчисления это означает, что необходимым условием экстремума функции у=f(х) является равенство нулю её производной.

Важный  раздел методов дифференциального  исчисления, используемых в экономике, называется методами предельного анализа. Предельный анализ в экономике –  совокупность приёмов исследования изменяющихся величин затрат или  результатов при изменениях объёмов  производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель функции у=f(х) – это её производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных).

Методы  дифференциального исчисления широко применяются не только для анализа  взаимодействия отдельных экономических  факторов, определения их взаимозаменяемости или оптимального сочетания, но и  в сложных моделях экономики, в частности в моделях экономической  динамики. Дифференциальное исчисление – это не только аппарат, позволяющий находить решения таких моделей, но и необходимый составной элемент для их построения. Динамические модели применяются для решения таких задач, как определение оптимальной или равновесной траектории развития экономической системы, её состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов и т.п.

Из рассмотренных  направлений применения дифференциального  исчисления в экономике важнейшим  является вопрос нахождения и анализа  взаимосвязей экономических переменных, определяющих функционирование экономического объекта или протекание экономического явления.

 

2. Эластичность функции и её свойства

 

Важнейшим направлением применения дифференциального  исчисления в экономике является введение с его помощью понятия  эластичности. Коэффициент эластичности показывает относительное изменение  исследуемого экономического показателя под действием единичного относительного изменения экономического фактора, от которого он зависит при неизменных остальных влияющих на него факторах.

Понятие эластичности было введено Аланом Маршалом в связи с анализом функции  спроса. По существу, это понятие  является чисто математическим и  может применяться при анализе  любых дифференцируемых функций.

Эластичностью функции Е_х(у) называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению переменной х при

 

 

Пример. Зависимость между себестоимостью единицы продукции у (тыс.руб.) и выпуском продукции х (млрд.руб.) выражается функцией у=-0,5х+80. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн.руб.

Решение. По формуле эластичность себестоимости

 

 

При х=60, Е_х=60(у)=-0,6 , то есть при выпуске продукции, равном 60 млн.руб., увеличение его на 1% приведёт к снижению себестоимости на 0,6%.

Свойства  эластичности.

1. Эластичность - безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены величины у и х: Е_ах (by)=Е_х (у)

 

 

2. Эластичности  взаимно обратных функций - взаимно  обратные величины:

 

 

Например, эластичность величины спроса по цене обратна эластичности цены по величине спроса

 

 

3. Эластичность  произведения двух функций и(х) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна сумме эластичностей:

 

 

4. Эластичность  частного двух функций и(х) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна разности эластичностей

 

 

5. Эластичность  суммы двух функций и(х) и v(x) может быть найдена по формуле:

 

 

Эластичности  элементарных функций:

1. Эластичность степенной функции у = х^а постоянна и равна показателю степени а:

 

 

 

2. Эластичность  показательной функции у= а^х пропорциональна х:

 

 

3. Эластичность  линейной функции

 

Рис 1.

 

эластичность прибыль дифференциальный

Если  график линейной функции имеет отрицательный  наклон (а<0), то эластичность функции  меняется от нуля в точке у_т пересечения графиком оси у до минус бесконечности (- ) в точке пересечения оси х, проходя через значение (-1) в средней точке. Таким образом, хотя прямая имеет постоянный наклон, ее эластичность зависит не только от наклона, но и от того, в какой точке х мы ее находим (рис. 1). Функция с бесконечной эластичностью во всех точках называется совершенно эластичной, с нулевой эластичностью во всех точках - совершенно неэластичной.

 

3. Предельные показатели в экономике

 

Рассмотрим  понятие, иллюстрирующее экономический  смысл производной.

а) Издержки производства у будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции х. Пусть Дх – прирост продукции, тогда Ду – приращение издержек производства и - среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближённо дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные  издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) х и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырьё и топливо).

Пример. Пусть зависимость издержек производства от объёма выпускаемой продукции  выражается формулой Определить предельные издержки при объеме продукции Q=15 ден.ед.

Р е ш е н и е. Предельные издержки рассчитываются по формуле , тогда в нашем случае МС=40-0,09Q² , подставив Q=15 ден.ед. получим МС=С’(15)=19,75 ден.ед. То есть дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции составят 19,75 ден.ед.

б) Ещё  одним примером предельных показателей  в экономике является предельная полезность.

Функция полезности U(х;у) выражает меру полезности набора (х;у), где х – количество товара Х, а у – количество товара У. Чувствительность набора (х;у) к незначительному изменению х при фиксированном у называется предельной полезностью Х и определяется как частная производная U_х^’ . аналогично предельная полезность У определяется как U_у^’ .

 

4. Максимизация прибыли

 

Пусть Q – количество реализованного товара, R(Q) – функция дохода, С(Q) – функция затрат на производство товара. В реальности вид этих функций зависит в первую очередь от способа производства, организации инфраструктуры и т.п. Прибыль от реализации произведённого товара рассчитывается по формуле

 

 

В микроэкономике известно утверждение: для того чтобы  прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны. То есть это равенство  имеет вид 

И действительно, так как необходимым условием экстремума функции, служит равенство  нулю её производной, то в нашем случае получаем:

 

П^’(Q)=R^’(Q)-C^’(Q)

П^’(Q)=0 => R^’(Q)-C^’(Q)=0 => R^’(Q)=C^’(Q).

 

Пример. Найти максимальный размер прибыли, если доход и издержки определяются следующими формулами:

 

 

Решение. Так как П(Q)=R(Q)-C(Q) , то

 

П(Q)= -Q³+36Q²-69Q-4000. (1)

 

Найдем  производную этой функции  П^’(Q)= -3Q²+72Q-69, и приравняем её к нулю П^’(Q)=0 => откуда находим корни уравнения Q₁=1, Q₂=23. подставив значения Q₁ и Q₂ в уравнение (1) находим, что максимальная прибыль достигает при Q=23 и равна П_max=1290.

 

5. Закон убывающей эффективности производства

 

Закон убывающей  эффективности производства утверждает, что при увеличении одного из основных факторов производства, например капитальных  затрат К, прирост производства начиная с некоторого значения К является убывающей функцией. Иными словами, объём произведенной продукции V как функция от К описывается графиком со сменой выпуклости вниз на выпуклость вверх. Пример. Пусть эта функция даётся уравнением

 

 

где b и c – известные положительные числа (они определяются прежде всего структурой организации производства), а V₀ – предельно возможный объём выпускаемой продукции. Найдем вторую производную этой функции

 

Найдём  критическую точку (точку перегиба) из условия V^"(К)=0, получаем

 

 

График  этой функции приведён на рисунке 1. В точке перегиба выпуклость графика  функции вниз меняется на выпуклость вверх. До этой точки увеличение капитальных  затрат приводи к интенсивному росту  объёма продукции: темп прироста объёма продукции возрастает, от есть V^"(К)>0. При К>К_кр темп прироста объёма выпускаемой продукции снижается, то есть V^"(К)<0, и эффективность увеличения капитальных затрат падает.

Таким образом, в стратегии капиталовложений оказывается  очень важным моментом определение  критического объёма затрат, сверх  которого дополнительные затраты будут  приводить всё к меньшей отдаче при данной структуре организации  производства. Зная этот прогноз, можно  пытаться совершенствовать и менять структуру организации производства: "улучшать" показатели b, с и V₀ в сторону повышения эффективности капиталовложений.

 

 

Заключение

 

В своей курсовой работе я постарался более наглядно и глубоко показать различные задачи экономического анализа, решаемые с помощью дифференциального  исчисления. В заключении можно уверенно сказать, что дифференциальное исчисление – это один из важнейших математических аппаратов, применяемых в экономике. По моему мнению дифференциальное исчисление незаменимо при планировании производственной деятельности предприятия, и помогает находить наиболее оптимальный путь развития, максимально сокращать издержки производства, а также решать ещё ряд необходимых задач по осуществлению производственной деятельности. Этот материал актуален для моей будущей профессии, так как от того, как я рассчитаю расходы денежных средств, я смогу рациональнее их использовать, что приведет к экономии, а это главная задача для финансиста.

 

 

Список  использованной литературы

 

1. В.И.Малыхин. Математика в экономике. М., ИНФРА-М, 2005г.
2. А.С.Солодовников, В.А.Бабайцев, А.В.Браилов. Математика в экономике. М., Финансы и статистика, 2008г.
3. А.Н.Колесников. Краткий курс математики для экономистов. М., ИНФРА-М, 2009г.
4. О.О.Замков, А.В.Толстопятенков, Ю.И.Черемных. Матема-тические методы в экономике. М., ДИС, 1997г.
5. М.С.Красс, Б.П.Чупрынов. Основы математики и её приложения в экономическом образовании. М., 2003г.