Расчет портфеля ценных бумаг

На рынке имеются рисковые активы трёх видов. Ожидаемые доходности этих активов и их ковариационная матрица заданы табл. 1. В ситуации разрешены короткие продажи данных активов, а - запрещены.

Требуется для данных активов  и каждой из указанных ситуаций:

1. Сформировать допустимой портфель с наименьшим риском и вычислить ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности этого портфеля.
2. Указать множество допустимых портфелей, определяющих эффективную границу множества инвестиционных возможностей, составить уравнение эффективной границы и построить её.
3. Найти касательные портфели, соответствующие безрисковым процентным ставкам и , заданным табл. 2.
4. Определить эффективную границу множества инвестиционных  возможностей, если инвесторы могут предоставлять кредиты под безрисковую процентную ставку , а брать кредиты под безрисковую процентную ставку .
5. Построить стратегию инвестирования для обеспечения ожидаемых доходностей портфеля: , заданных табл. 2.

 

Таблица 1

 

№ варианта
6	12	25	42

 

 

Таблица 2

 

№ варианта
6	6	9	15	36	48

 

1.Портфель с наименьшим риском. Стандартное отклонение доходности портфеля

 

1)Короткие продажи ценных бумаг разрешены

 

Ковариационная матрица:

Дисперсия доходности портфеля:

  при         

         

 

Для нахождения глобального минимума функции воспользуемся теоремой Куна-Таккера. Для этого сначала найдем множитель Лагранжа:

По теореме Куна-Таккера:

Решим систему методом Гаусса.

w1	w2	w3	l	b
0,2	0,2	0	1	0
0,2	0,4	0,2	1	0
0	0,2	0,4	1	0
1	1	1	0	1
0	0	-0,2	1	-0,2
0	0,2	0	1	-0,2
0	0,2	0,4	1	0
1	1	1	0	1
0	0	-0,2	1	-0,2
0	0	-0,4	0	-0,2
0	1	2	5	0
1	0	-1	-5	1
0	0	0	1	- 0,1
0	0	1	0	0,5
0	1	0	5	-1
1	0	0	-5	1,5
0	0	0	1	- 0,1
0	0	1	0	0,5
0	1	0	0	- 0.5
1	0	0	0	1

 

Портфель с наименьшим риском:  

Ожидаемая доходность:

Стандартное отклонение доходности этого портфеля:       

2)Короткие продажи ценных бумаг запрещены (КПЗ)

 

при условии:

Выразим

Дисперсия доходности портфеля:

 

 

 

где

 

Функция Лагранжа:

По теореме Куна-Таккера:

 

Для решения системы  достаточно найти оптимальное решение  задачи линейного программирования:

 

Данная система уравнений имеет решение тогда и только тогда, когда она имеет опорное решение, базис которого не содержит сопряженных векторов условий.

 

 

 

 

 

Б	Сб	w2	w3	l	μ2	μ3	z	y1	y2	b
y1	1	0,2	0,2	1	-1	0	0	1	0	0
y2	1	0,2	0,6	1	0	-1	0	0	1	0,4
z	0	1	1	0	0	0	1	0	0	1
ΔK		2,5	6,4	11	-7	-4	1	7	4
w3	0	1	1	5	-5	0	0	5	0	0
y2	1	-0,4	0	-2	3	-1	0	-3	1	0,4
z	0	0	0	-5	5	0	1	-5	0	1
		-0,3	0	-4	5	-1	0	-4	0
w3	0	1/15	0,2	1/3	0	-1/3	0	0	1/3	2/15
μ2	0	-  2/15	0	-  2/3	1	-  1/3	0	-1	1/3	2/15
z	0	2/15	0	-1/3	0	1/3	0,2	0	-1/3	1/15
	0	0	0	0	0	0	0	-1	-1

 

Портфель с наименьшим риском:  

Ожидаемая доходность равна

Стандартное отклонение доходности этого портфеля:        (2)

 

(1) & (2) →         

 

Портфель с наименёьшим риском при разрешенных коротких продажах более рискован, чем портфель с наименьшим риском при запрещенных коротких продажах ценных бумаг.