Симплекс метод при решении экономических задач

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение           3

1. Сущность планирования выпуска  продукции                 5

2. Постановка задачи оптимизации        6

3. Симплекс метод          7

4. Решение задачи линейной оптимизации симплекс – методом.   13

4.1 Физическая (техническая) постановка задачи     13

4.2. Математическая постановка задачи      14

4.3. Приведение задачи к канонической форме     15

4.4. Постановка L-задачи        17

4.5. Решение L-задачи        18

4.6. Формирование начального опорного плана исходной

 задачи линейного программирования из оптимального плана L-задачи 20

4.7. Решение исходной задачи I алгоритмом симплекс-метода   20

4.8 Решение исходной задачи       23

Заключение            25

Список литературы          26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Одним из необходимых условий развития экономической науки является применение точных методов количественного анализа, широкое использование математики. В настоящее время новейшие достижения математики и современной вычислительной техники находят все более широкое применение в экономических исследованиях и планировании. Одной из основных становится задача создания единой системы оптимального планирования и управления народным хозяйством на базе широкого применения математических методов и электронно-вычислительной техники в экономике.

В процессе хозяйственной деятельности сырьевая база предприятия занимает одно из центральных мест, поэтому  вопрос об оптимизации сырья на предприятии  при планировании выпускаемой продукции  актуален в настоящее время.

Актуальность данной темы также заключается в том, что в процессе производственной деятельности все предприятия сталкиваются с проблемой нехватки сырья, а также с тем, что выпускаемая продукция должна быть адекватна с экономической точки зрения, другими словами чтобы её можно было выгодно продать и чтобы она соответствовала запросам покупателя.

Учитывая всевозрастающую ограниченность ресурсов, очень важно добиваться их максимально эффективного использования. План должен быть разработан настолько  умело, чтобы использование ограниченных ресурсов было оптимальным.

Улучшение финансовых показателей, повышение  уровня производства, наращивание объемов  производства таковы причины, заставляющие промышленные предприятия заниматься оптимизацией структуры сырья. Планирование выпуска продукции также имеет огромное значение для предприятия, оно тесно взаимосвязано с сырьевой базой предприятия.

Деятельность по разработке планов охватывает все этапы деятельности организации. На этапе планирования определяются все необходимые параметры  достижения целей — время, потребности в трудовых, материально-технических и финансовых ресурсах, сроки поставки сырья, материалов, оборудования и т. д. Принятые в плане решения должны обеспечить достижение целей организации в запланированные сроки с минимальными издержками при требуемом качестве.

Данная курсовая работа состоит из теоретической и практической частей. В теоретической части  рассматривается планирование выпуска  продукции на предприятии, структура  используемого сырья и постановка задачи оптимизации. В практической части рассматривается задача оптимизации структуры сырья при планировании выпуска продукции на примере нефтеперерабатывающего завода, с учетом ограничений выпуска, продиктованными экономическими факторами.

Целью данной работы является оптимизация структуры сырья на нефтеперерабатывающем заводе при планировании выпуска нефтепродуктов.

Объектом исследования нефтеперерабатывающий завод, его  сырьевая политика.

Предмет –  сырьевая структура предприятия  при планировании выпуска продукции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Сущность планирования выпуска продукции

Сущность планирования продукции состоит в обосновании  целей и способов их достижения на основе выявления комплекса задач  и работ, а также определения  эффективных методов и способов, ресурсов всех видов, необходимых для выполнения этих задач и установления их взаимодействия.

Оптимизация структуры  сырья при планировании выпуска  продукции является существенным источником резервов увеличения суммы прибыли. Логично предположить, что предприятию  выгодно увеличивать доли тех изделий, которые приносят максимальную прибыль. Но всегда следует помнить о ряде ограничений, не позволяющих отказаться от менее рентабельной продукции:

1) Потенциальный спрос  на продукцию достаточно динамичен  и дифференцирован во времени и пространстве. Те изделия и торговые марки, которые востребованы в данный момент времени, могут потерять свою потребительскую привлекательность через некоторые промежутки времени;

2) Основные производственные  фонды нуждаются в постоянной  эксплуатации, наладке и обслуживании. Простои оборудования – это всегда неблагоприятный фактор для производства.

Планом выпуска продукции  определяются:

1) Количественные показатели  производства: октановое число, число  нефтяных полуфабрикатов;

2) Объем реализации, ожидаемый в планируемом периоде. Этот показатель определяется на основе объема выпуска продукции и ожидаемой средней цены реализации 1 учетной единицы продукции. Ожидаемая средняя цена реализации определяется на основе ретроспективного анализа данных за предыдущие несколько лет с учетом ожидаемых и текущих темпов инфляции.

Для каждого периода, охватываемого планом, необходимо определить две переменные: объём производства в данный период; количество ресурсов, используемых в данный период.

План выпуска продукции  отражает номенклатуру и ассортимент производства продукции в соответствии с планом реализации, обязательствами предприятия и экономическими условиями.

Планирование выпускаемой  продукции включает решение ряда задач. Прежде всего, планируется номенклатура, ассортимент и объем выпуска продукции. Номенклатура производства представляет собой перечень изделий (готовых изделий, полуфабрикатов и т. п.), подлежащих изготовлению на предприятии в плановом периоде. Ассортимент продукции характеризует соотношение удельных весов отдельных видов изделий в общем, выпуске продукции. Номенклатура, ассортимент и объем изготовляемой предприятием продукции устанавливаются на основе централизованного задания по поставкам важнейших видов продукции и портфеля заказов предприятия с учетом его специализации. При этом учитываются и договоры по кооперированным поставкам, заключенные предприятием.

На примере нефтеперерабатывающего предприятия ситуация не осложняется  тем, что номенклатура выпускаемой  продукции достаточно обширна (ассортиментный перечень насчитывает 3 вида  наименований бензина различной октановой ёмкости), завод оснащен большим количеством оборудования различного профиля и назначения. Целесообразно совершенствовать структуру выпуска  только той продукции, удельный вес которой в общем объеме выпуска достаточно высок.

Необходимым условием увеличения количества производства определенных изделий является универсальность  оборудования для их производства.

План выпуска продукции  может повлиять на величину целого ряда издержек, в том числе: издержки хранения готовой продукции; издержки ведения портфеля отложенных заказав; издержки, связанные с внеурочной работой или простоем работников; издержки, связанные с передачей части работ субподрядчикам; издержки, связанные с наймом и увольнением работников.

Задача оптимизации  структуры сырья при планировании выпуска продукции должна решаться на каждом промышленном предприятии, которое  заинтересовано в максимизации прибыли  от продажи выпускаемой продукции. Такая задача является задачей линейного программирования. С помощью симплекс метода будем искать решение такой задачи на нефтеперерабатывающем заводе.

 

2. Постановка задачи оптимизации

  Для решения задачи оптимизации выявляется тот параметр, который определяет степень совершенства решения возникшей проблемы. Этот параметр обычно называют целевой функцией или критерием качества. В экономических задачах это, как правило, максимизация прибыли. Далее устанавливается совокупность величин, которые определяют целевую функцию. Наконец, формулируются все ограничения, которые должны учитываться при решении задачи. После этого строится математическая модель, заключающаяся в установлении аналитической зависимости целевой функции от всех аргументов и аналитической формулировки, сопутствующих задаче ограничений.

Итак, пусть в результате формализации прикладной задачи установлено, что целевая функция  , где множество Х – обобщение ограничений, его называют множеством допустимых решений. Существо проблемы оптимизации заключается в поиске на множестве Х – множестве допустимых решений такого решения , при котором целевая функция f достигает наименьшего или наибольшего значения.

Составной частью методов  оптимизации является линейное программирование.

 

3. Симплекс метод

Решение любой задачи линейного  программирования можно найти  симплексным методом. Прежде чем применять указанный метод, следует записать исходную задачу в форме основной задачи линейного программирования, если она не имеет такой формы записи.

Симплексный метод решения задачи линейного программирования основан  на переходе от одного опорного плана  к другому, при котором значение целевой функции возрастает (при условии, что данная задача имеет оптимальный план и каждый ее опорный план является невырожденным). Указанный переход возможен, если известен какой-нибудь исходный опорный план. Рассмотрим задачу, для которой этот план можно непосредственно записать.

Пусть требуется найти максимальное значение функции

при условиях

Здесь и – заданные постоянные числа

Векторная форма данной задачи имеет  следующий вид: найти максимум функции

                                                                                                                      (1)

при условиях

                                                                                (2)

                                                                                                                 (3)

где

Так как

то по определению опорного плана  является опорным планом данной задачи (последние n-m компонент вектора Х равны нулю). Этот план определяется системой единичных векторов которые образуют базис m-мерного пространства. Поэтому каждый из векторов а также вектор могут быть представлены в виде линейной комбинации векторов данного базиса. Пусть

Положим Так как векторы – единичные, то и а

 

Теорема 1 (признак оптимальности опорного плана).

Опорный план задачи (1) – (3) является оптимальным, если для любого j

Теорема 2

Если для некоторого j=k и среди чисел нет положительных то целевая функция задачи (1) – (3) не ограничена на множестве ее планов.

Теорема 3

Если опорный план Х задачи (1) – (3) невырожден и , но среди чисел есть положительные (не все ), то существует опорный план X' такой, что

Сформулированные теоремы позволяют  проверить, является ли найденный  опорный план оптимальным, и выявить целесообразность перехода к новому опорному плану.

Исследование опорного плана на оптимальность, а также дальнейший вычислительный процесс удобнее  вести, если условия задачи и первоначальные данные, полученные после определения исходного опорного плана, записать так, как показано в табл. 1.

В столбце С₆ этой таблицы записывают коэффициенты при неизвестных целевой функции, имеющие те же индексы, что и векторы данного базиса.

В столбце записывают положительные компоненты исходного опорного плана, в нем же в результате вычислений получают положительные компоненты оптимального плана. Столбцы векторов представляют собой коэффициенты разложения этих векторов по векторам данного базиса.

 

В табл. 1 первые m строк определяются исходными данными задачи, а показатели (m+1)-й строки вычисляют. В этой строке в столбце вектора записывают значение целевой функции, которое она принимает при данном опорном плане, а в столбце вектора   – значение

Значение Z_j находится как скалярное произведение вектора на вектор

Значение F₀ равно скалярному произведению вектора P₀ на вектор С₆:

После заполнения таблицы 1 исходный опорный план проверяют на оптимальность. Для этого просматривают элементы (m+1)-й строки таблицы. В результате может иметь место один из следующих трех случаев:

1) для j=m+1, (при ). Поэтому в данном случае числа для всех j от 1 до n;

2) для некоторого j, и все соответствующие этому индексу величины

3) для некоторых индексов j, и для каждого такого j , по крайней мере, одно из чисел положительно.

В первом случае на основании признака оптимальности исходный опорный  план является оптимальным. Во втором случае целевая функция не ограничена сверху на множестве планов, а в  третьем случае можно перейти  от исходного плана к новому опорному плану, при котором значение целевой функции увеличится. Этот переход от одного опорного плана к другому осуществляется исключением из исходного базиса какого-нибудь из векторов и введением в него нового вектора. В качестве вектора, вводимого в базис, можно взять любой из векторов имеющий индекс j, для которого . Пусть, например, и решено ввести в базис вектор