Статистические методы прогнозирования

 

2.1 Процесс прогнозирования, опирающийся на статистические методы

 

Процессы развития в обществе носят диалектический характер, который, в частности, проявляется в сочетании черт устойчивости и изменчивости этого развития. Соотношение этих черт, их удельный вес в характеристике развития за определенные хронологические интервалы весьма важны для социально-экономического прогнозирования. Так, если изучаемые и прогнозируемые процессы имеют достаточно длительную историю и накоплен материал, позволяющий вскрыть закономерность и тенденции в их развитии и взаимосвязях с другими явлениями, а сами процессы обладают большой инерционностью, то гипотеза о будущем развитии этих процессов в значительной мере, хотя и не исключительно, может базироваться на анализе прошлого. Инерционность в социально-экономических процессах проявляется двояким образом:

во-первых, как инерционность взаимосвязей, т.е. как сохранение в основных чертах механизма формирования явления (иначе говоря, сохранение зависимости, корреляции прогнозируемой переменной от совокупности переменных-аргументов);

во-вторых, как инерционность в развитии отдельных сторон процессов, т.е. как некоторая степень сохранения их характера – темпов, направления, колеблемости основных количественных показателей на протяжении сравнительно длительных хронологических отрезков.

Инерционность развития экономики страны связана с длительно воздействующими факторами, например, такими, как структура основных фондов, их возраст и эффективность, размеры инвестиций прошлых лет, степень устойчивости технологических взаимосвязей отраслей производства, исторически сложившаяся структура потребления и т.д. Следует также учесть, что научно-технический прогресс в основном материлизуется путем постепенного накапливания небольших улучшений, усовершенствований, новшеств, относительно медленным вытеснением старого. Новые факторы, пришедшие на смену старым, в свою очередь способны оказывать более или менее длительное инерционное воздействие.

По-видимому, степень инерционности зависит и от такого фактора, как размер или масштаб изучаемой системы или процесса. Если рассматривать производственную систему, то чем ниже ее уровень в иерархии "предприятие – отрасль - экономика", тем менее инерционными оказываются соответствующие характеристики. Последнее обстоятельство можно объяснить и тем, что влияние отдельного фактора (например, внедрение новой технологии) на низовом уровне часто оказывается доминирующим. На макроуровне показатели более устойчивы, поскольку на их значение оказывает воздействие уже гораздо большее число факторов. Изменение действия ряда из них (иногда оказывающих противоположное влияние) приводит к меньшей потере инерционности, чем на микроуровне. Инерционную тенденцию можно уподобить равнодействующей системе сил в механике. При большом числе составляющих изменение одной из них не окажет серьезного влияния на положение и размер равнодействующей в рамках всего хозяйства.

Опыт свидетельствует также и о том, что чем "моложе" изучаемая система (экономическое явление, процесс, отрасль) и соответственно чем меньше имелось времени для формирования более или менее устойчивых взаимосвязей и основных тенденций в ее развитии, тем меньшей инерционностью она обладает.

Таким образом, при значительной инерционности рассматриваемых экономических процессов и взаимосвязей и сохранении в будущем важных внешних причин и условий их развития правомерно с достаточной степенью вероятности ожидать сохранения уже выявившихся черт и характера этого процесса. Причем наличие инерционности нисколько не означает, что явление в своем развитии будет жестко следовать уже наметившейся тенденции. Несомненно, различные факторы будут в большей или меньшей степени воздействовать на явления, приводя к отклонениям от тенденции. В этих условиях становится целесообразным применять разнообразные методы обнаружения и экстраполяции преобладающей тенденции развития анализируемого объекта, использовать для прогнозирования найденные взаимосвязи экономических показателей и закономерности их изменения. При этом естественным является применение статистических подходов к прогнозированию.

Процесс прогнозирования, опирающийся на статистические методы, распадается на два этапа.

Первый, индуктивный, заключается в обобщении данных, наблюдаемых за более или менее продолжительный период времени, и в представлении соответствующих статистических закономерностей в виде модели. Статистическую модель получают или в виде аналитически выраженной тенденции развития, или же в виде уравнения зависимости от одного или нескольких факторов-аргументов. В ряде случаев – при изучении сложных комплексов экономических показателей – прибегают к разработке так называемых взаимозависимых систем уравнений, состоящих в основном опять-таки из уравнений, характеризующих статистические зависимости. Процесс построения и применения статистической модели для прогнозирования, какой бы вид последняя не имела, обязательно включает выбор формы уравнения, описывающего динамику или взаимосвязь явлений, и оценивание его параметров с помощью того или иного метода.

Второй этап, собственно прогноз, является дедуктивным. На этом этапе на основе найденных статистических закономерностей определяют ожидаемое значение прогнозируемого признака.

Следует подчеркнуть, что полученные результаты не могут рассматриваться как нечто окончательное. При их оценке и использовании должны приниматься во внимание факторы, условия или ограничения, которые не были учтены при разработке статистической модели, должна осуществляться корректировка обнаруженных статистических характеристик в соответствии с ожидаемым изменением обстоятельств их формирования. Короче говоря, найденные с помощью статистических методов прогностические оценки являются важным материалом, который, однако, должен быть критически осмыслен. При этом главным является учет возможных изменений в самих тенденциях развития экономических явлений и объектов.

Известная условность в получаемых выводах связана с тем, что целый ряд статистических методов базируется на довольно жестких требованиях к качеству обрабатываемых данных (например, к их однородности) и строгих гипотезах о характере поведения анализируемых величин (их распределениях). На практике же прогностик зачастую, особенно если исследуются динамические ряды, имеет дело с информацией, качество которой в отношении выдвинутых требований оставляет желать лучшего или просто неизвестно. Обычно неизвестен и тип распределения переменных.

Таким образом, для практика остаются две альтернативы: или вообще отказаться от применения большинства методов и довольствоваться достаточно скудным инструментарием, или применять разнообразные статистические методы обработки данных, не забывая о соответствующих этим методам требованиях. Очевидно, что в последнем случае, если существуют сомнения в "чистоте эксперимента", не следует придавать получаемым статистическим выводам чрезмерно строгий смысл. В то же время эти выводы, как правило, оказываются полезными для практической деятельности и прогнозирования. Так, например, статистическая проверка гипотез основывается на предположении о существовании нормального распределения соответствующих переменных. На практике же мы в лучшем случае сталкиваемся с асимптотически нормальными распределениями (т.е. с распределениями, стремящимися к нормальным с ростом объема выборки). Вместе с тем проверка гипотез и в этих обстоятельствах дает практически приемлемые результаты, исключая разве такие ситуации, когда значения, скажем, t-статистики Стьюдента близки к критическому (ta). В последнем случае вывод, естественно, нельзя признать надежным.

Далеко не всегда статистические методы прогнозирования применяются самостоятельно, так сказать, в чистом виде. Часто их включают в виде важных элементов в комплексные методики, предусматривающие сочетание статистических методов с другими методами прогнозирования, например с экспертными оценками, различного рода экономико-математическими моделями и т.д. Такой комплексный подход к прогнозированию представляется наиболее плодотворным. Из сказанного выше вытекает, что статистические методы занимают важное место в системе методов прогнозирования, однако они ни в коей мере не должны рассматриваться как некий универсальный метод, как "золотой ключик", открывающий любую дверь.

В ряде случаев собственно статистическая обработка экономической информации непосредственно не приводит к получению прогноза, однако является важным звеном в общей системе из разработки. Такая обработка данных наблюдения, нацеленная на вскрытие различного рода конкретных статистических закономерностей, представляет собой, по сути дела, первый шаг на пути осмысливания информации и построения более сложных моделей, отображающих взаимодействие множества факторов.

Итак, необходимо подчеркнуть важную роль статистической методологии в рамках построения имитационных моделей, которые все больше привлекают внимание прогностиков. Потенциальные возможности имитационных моделей в отношении прогнозирования поведения изучаемых (моделируемых) систем еще далеки от полного раскрытия. Но уже сейчас очевидно, что успешность прогнозов, получаемых на основе имитационных моделей, существенно будет зависеть от качества статистического анализа эмпирического материала, от того, насколько такой анализ сможет выявить и обобщить закономерности развития изучаемых объектов во времени.

 

2.2 Практическое применение статистических методов прогнозирования (на примере метода наименьших квадратов)

прогнозирование фактографический экспертный статистический

Метод наименьших квадратов (МНК) является одним из выдающихся достижений математики. Данный метод в простейшем случае (линейная функция от одного фактора) был разработан К. Гауссом более двух столетий назад, в 1794 - 1795 гг. В 1794 г. (по другим данным — в 1795 г.) Гаусс разработал метод наименьших квадратов, один из наиболее популярных ныне статистических методов, и применил его при расчёте орбиты астероида Церера — для борьбы с ошибками астрономических наблюдений.

Суть МНК состоит в следующем.

Зачастую при исследованиях многих проблем исследователям и менеджерам приходится работать с уравнениями, содержащими стохастические параметры и неизвестные. Такие уравнения не решаются обычным путем, так как система из таких уравнений является несовместной. Поэтому "речь здесь может идти только о приближенном решении таких уравнений путем обеспечения минимума ошибок исходных начальных (условных) уравнений. Полученные таким образом значения искомых неизвестных являются наиболее вероятными".

Соглашение о минимизации суммы модулей ошибок всех условных уравнений впервые выдвинул Эджворт. Но популярным оно так и не стало. Другое соглашение было предложено и опубликовано Лежандром. После его публикации Гаусс заявил, что он много лет пользовался таким соглашением, однако признал, что оно, бесспорно, принадлежит именно Лежандру.

Этапами решения условных стохастических уравнений по принципу Лежандра являются: а) составление уравнения суммы ошибок условных уравнений; б) возведение этой суммы в квадрат; в) взятие частных производных по всем неизвестным и приравнивание этих производных к нулю; г) приведение подобных членов и получение системы нормальных уравнений; д) решение системы нормальных уравнений и нахождение наиболее вероятных значений неизвестных. Главное в этом решении то, что квадратическая функция ошибок начальных уравнений имеет всегда минимум, причем только один.

Наилучшее решение рассматриваемых вопросов возможно именно с помощью МНК.

Как и любые другие методы, МНК имеет свои недостатки. Например, может оказаться (при коллинеарности уравнений), что определитель матрицы нормальных уравнений равен нулю или весьма незначительно отличается от него. Решение системы нормальных уравнений в таком случае невозможно и нецелесообразно. Однако это явление встречается очень редко. Кроме того, существует ряд методов (например, метод регуляризации), позволяющих перед решением освободиться от плохой обусловленности матрицы нормальных уравнений, коллинеарности и даже мультиколлинеарности. Все это ничуть не снижает ценности МНК в технических приложениях.

Рассмотрим примеры практического использования МНК.

Первый пример - исследование финансового положения потенциальных заемщиков в банковской практике. Пусть мы имеем систему из n условных (начальных) уравнений в виде:

 

Akx + Bky + Ckz + Dku + Lk = 0 (k = 1, 2... n),

 

где x, y, z, u - искомый финансовый вес n различных заемщиков;

Ak, Bk, Ck, Dk - известные финансовые потери от n разных заемщиков;

Lk - случайные значения сумм финансовых потерь от n заемщиков.

Имея несколько начальных уравнений, можно пропустить указанные громоздкие и очень трудоемкие этапы реализации МНК. При этом необходимо последовательно умножить все члены первого условного уравнения на свои A, B, C и D. В результате из одного условного уравнения получим четыре уравнения. Со вторым, третьим и четвертым условными уравнениями поступаем так же. В итоге имеем 16 новых уравнений. Приведя в них подобные члены, получаем систему четырех нормальных уравнений. Запишем ее в более удобных обозначениях Гаусса, принятых в астрономии и геодезии:

 

[AA]x + [AB]y + [AC]z + [AD]u + [AL] = 0;

[BA]x + [BB]y + [BC]z + [BD]u + [BL] = 0;

[CA]x + [CB]y + [CC]z + [CD]u + [CL] = 0;

[DA]x + [DB]y + [DC]z + [DD]u + [DL] = 0,

 

где [BA]=[AB], [CA]=[AC] и т.д., [AA]=SUM Ak2, [AB]=SUM AkBk, [AL]=SUM AkLk и т.д.

Таким образом, из имеющихся начальных уравнений получилась система нормальных уравнений, вполне пригодная для решения. Неизвестные x, y, z, u находим по известным выражениям:

 

x = Dx / D, y = Dy / D, z = Dz / D, u = Du / D,

 

где D - определитель системы нормальных уравнений;

Dx, Dy, Dz, Du - определители соответствующих неизвестных, образуемые установкой в определитель D последовательно столбца свободных членов.

Вес неизвестных находится по выражениям:

 

Px = D / D11, Py = D / D22, Pz = D / D33, Pu = D / D44,

 

где D11, D22, D33, D44 - алгебраические дополнения элементов главной диагонали матрицы нормальных уравнений.