Теория игр Джона Нэша

2 .Если оба выбрали «сотрудничать», оба получают C. Если один выбрал «предать», другой «сотрудничать» — первый получает D, второй с. Если оба выбрали «предать» — оба получают d.

3.Значения переменных C, D, c, d могут быть любого знака (в примере выше все меньше либо равны 0). Обязательно должно соблюдаться неравенство D > C > d > c, чтобы игра представляла собой ДЗ.

4. Если игра повторяется, то есть играется больше 1 раза подряд, общий выигрыш от сотрудничества должен быть больше суммарного выигрыша в ситуации, когда один предаёт, а другой — нет, то есть 2C > D + c (объяснение см. ниже).

Эти правила были установлены Дугласом Хофштадтером и образуют каноническое описание типичной дилеммы заключённого.

|Сотрудничать                                   |Предать                                   |

|Сотрудничать                                   |C, C                                          |c, D                                           |

|Предать                                           |D, c                                          |d , d                                         

|                                        Каноническая матрица выигрышей ДЗ                                                                

Похожая, но другая игра

Хофштадтер предположил, что люди проще понимают задачи, как задача ДЗ, если она представлена в виде отдельной игры или процесса торговли. Один из примеров — «обмен закрытыми сумками»:

Два человека встречаются и обмениваются закрытыми сумками, понимая, что одна из них содержит деньги, другая — товар. Каждый игрок может уважать сделку и положить в сумку то, о чём договорились, либо обмануть партнёра, дав пустую сумку.

В этой игре обман всегда будет наилучшим решением, означая также, что рациональные игроки никогда не будут играть в неё, и что рынок обмена закрытыми сумками будет отсутствовать.

В вариации, популярной у программистов и хакеров, каждый агент этой игры помнит предыдущие результаты (или имеет доступ к общественному мнению, «коллективной памяти»), и множество обменов повторяются длительное время.

Как отмечено выше, без памяти эта игра имеет мало смысла, она мало что объясняет в поведении систем и групп людей, кроме описания взаимодействий, которые не будут происходить. Сложностей вводится больше, чем можно ожидать. Программист (особенно специализирующийся на функциональном программировании) сразу поймёт значимость времени и состояния (памяти). Но и без написания программ можно предположить, как поведут себя агенты. Насколько велика память каждого агента? Какова стратегия каждого из них? Как агенты с разными стратегиями распределены и что определяет, кто с кем взаимодействует и в каком порядке?

Сложность создания какой-то многозначной модели может обескураживать, но она поднимает некоторые интересные и ценные технические и философские вопросы.

Проделана некоторая работа по моделированию этого. Разные программисты и математики утверждают, что стратегия «око за око» (см. ниже) — наилучшая общая стратегия, однако не было сделано серьёзных академических усилий, чтобы классифицировать разные типы и распределения обучающихся агентов с разными стратегиями.

О потенциале этой задачи свидетельствует тот факт, что в этой дискуссии ещё не упоминались возможность формировать коалиции и рядиться коллективно. А как насчёт агентов, которые бы за плату организовывали переговоры? Или агентов, которые бы накапливали информацию о самих сделках?

Примеры из реальной жизни

Примеры с заключёнными, карточной игрой и обменом закрытыми сумками могут показаться надуманными, но на самом деле есть множество примеров взаимодействия людей и животных, имеющие такую же матрицу выигрышей. Поэтому ДЗ представляет интерес социальным наукам, таким как экономика, политология и социология, а также разделам биологии — этологии и эволюционной биологии. Многие природные процессы были обобщены в модели, в которых живые существа участвуют в бесконечных играх типа дилеммы заключённого. Такая широкая применимость ДЗ придаёт этой игре значительную важность.

В политологии, к примеру, сценарий ДЗ часто используется для иллюстрации проблемы двух стран, вовлечённых в гонку вооружений. Обе будут заявлять, что у них есть две возможности: либо увеличить расходы на военные нужды, либо сокращать вооружения. Ни одна из сторон не может быть уверена, что другая будет соблюдать договорённость, следовательно, обе будут стремиться к военной экспансии. Это можно считать теоретическим объяснением политики устрашения. Похожие явления наблюдаются и в автоспорте — «Формула-1», где последние 20 лет происходит гонка бюджетов команд. Из-за этого число машин-участников сократилось с 36 в 1990 году до 20 в 2003.

В велогонках дилемма заключённого возникает, когда два сильных гонщика оторвались от общей группы. Каждый из них может либо предоставить соседу слипстрим («сотрудничать»), либо ехать сзади («предать»). Для обоих идеалом будет, когда они по очереди «висят» друг у друга на хвосте — но всегда есть желание не дать соседу слипстрима (тогда тот постепенно устаёт и «скатывается» в пелотон, а ты финишируешь с большим отрывом).

Случай дилеммы заключённого может быть найден в бизнесе. Две конкурирующие фирмы должны определиться, сколько средств тратить на рекламу. Эффективность рекламы и прибыль каждой фирмы уменьшается с ростом расходов на рекламу у конкурента. Обе фирмы принимают решение увеличить расходы на рекламу, при этом их доли рынка и, возможно, объёмы продаж остаются неизменными, а прибыль сокращается. Предел гонки рекламных бюджетов — прибыль, впрочем, они могут пытаться некоторое время работать и в убыток. Фирмы могут пойти на соглашение о сокращении расходов на рекламу, но всегда есть стимул его нарушить.

В олигополистических рынках ценовая политика — это повторяющаяся ДЗ. Обычно олигополисты сотрудничают друг с другом и не доводят ситуацию до ценовой войны.

Уильям Паундстоун в книге о дилемме заключённого описывает ситуацию в Новой Зеландии, где газетные ящики оставляют открытыми. Газету можно взять, не заплатив за неё, но мало кто так делает, потому что большинство осознаёт вред, который был бы, если бы все воровали газеты. Поскольку ДЗ в чистом виде одновременна для всех игроков (никто не может повлиять на решения других), эта распространённая линия рассуждений называется «магическое мышление».

Теоретическое заключение ДЗ — одна из причин, почему во многих странах сделка о признании вины запрещена. Часто сценарий ДЗ повторяется очень точно: в интересах обоих подозреваемых сознаться и свидетельствовать против другого подозреваемого, даже если оба невиновны. Возможно, наихудший случай — когда только один виноват, в этом случае невиновный вряд ли сознаётся в чём-либо, а виновный пойдёт на это и даст показания против невиновного.

Многие дилеммы в реальной жизни включают множество игроков. Хотя и метафорическую, «трагедию общин» Ардена можно рассматривать как обобщение ДЗ для множества игроков. Каждый житель общины выбирает — пасти ли скот на общем пастбище и получить выгоду, истощая его ресурсы, либо ограничить свой доход. Коллективный результат от всеобщего (или частого) максимального использования пастбища — низкий доход (ведущий к разрушению общины). Однако такая игра не является формальной, поскольку может быть разбита на последовательность классических игр с 2 участниками.

Повторяющаяся дилемма заключённого.

В книге «Эволюция кооперации» (1984) Роберт Аксельрод (англ.) исследовал расширение сценария ДЗ, которое он назвал повторяющаяся дилемма заключённого (ПДЗ). В ней участники делают выбор снова раз за разом и помнят предыдущие результаты. Аксельрод пригласил академических коллег со всего мира, чтобы разработать компьютерные стратегии, чтобы соревноваться в чемпионате по ПДЗ. Программы, вошедшие в него, различались по алгоритмической сложности, начальной враждебности, способности к прощению и так далее.

Аксельрод открыл, что если игра повторялась долго среди множества игроков, каждый с разными стратегиями, «жадные» стратегии давали плохие результаты в долгосрочном периоде, тогда как более «альтруистические» стратегии работали лучше, с точки зрения собственного интереса. Он использовал это, чтобы показать возможный механизм эволюции альтруистического поведения из механизмов, которые изначально чисто эгоистические, через естественный отбор.

Лучшей детерминистской стратегией оказалась «Око за око», которую разработал и выставил на чемпионат Анатолий Рапопорт. Она была простейшей из всех участвовавших программ, состояла всего из 4 строк кода на языке Бейсик. Стратегия проста: сотрудничать на первой итерации игры, после этого игрок делает то же самое, что делал оппонент на предыдущем шаге. Чуть лучше работает стратегия «Око за око с прощением». Когда оппонент предаёт, на следующем шаге игрок иногда, вне зависимости от предыдущего шага, сотрудничает с небольшой вероятностью (1-5 %). Это позволяет случайным образом выйти из цикла взаимного предательства. Она лучше всего работает, когда в игру вводится недопонимание — когда решение одного игрока сообщается другому с ошибкой.

Анализируя стратегии, набравшие лучшие результаты, Аксельрод назвал несколько условий, необходимых, чтобы стратегия получила высокий результат:

• Добрая

Важнейшее условие — стратегия должна быть «доброй», то есть не предавать, пока этого не сделает оппонент. Почти все стратегии-лидеры были добрыми. Поэтому чисто эгоистичная стратегия по чисто эгоистическим причинам не будет первой «бить» соперника.

• Мстительная

Успешная стратегия не должна быть слепым оптимистом. Она должна всегда мстить. Пример немстительной стратегии — всегда сотрудничать. Это очень плохой выбор, поскольку «подлые» стратегии воспользуются этим.

• Прощающая

Другое важное качество успешных стратегий — уметь прощать. Отомстив, они должны вернуться к сотрудничеству, если оппонент не продолжает предавать. Это предотвращает бесконечное мщение друг другу и максимизирует выигрыш.

• Не завистливая

Последнее качество — не быть завистливым, то есть не пытаться набрать больше очков, чем оппонент.

Таким образом, Аксельрод пришёл к утопично звучащему выводу, что эгоистичные индивиды во имя их же эгоистического блага будут стремиться быть добрыми, прощающими и не завистливыми.

Рассмотрим снова модель гонки вооружений. Был дан вывод, что единственная рациональная стратегия — вооружаться, даже если обе страны хотели бы тратить ВВП на масло, а не пушки Интересно, что попытки продемонстрировать, что вывод ДЗ работает на практике (делая анализ «высоких» и «низких» военных расходов между периодами, на основе предположений ПДЗ), часто показывают, что такого поведения не происходит (например, греческие и турецкие военные расходы меняются не в соответствии со стратегией «око за око», а вероятнее всего следуют внутренней политике). Это может быть примером рационального поведения, отличающегося от одноразовой и многоходовой игр.

Если в одноходовой игре в любом случае доминирует стратегия предать, то в многоходовой оптимальная стратегия зависит от поведения других участников. К примеру, если среди населения все друг друга обманывают, а один ведёт себя по принципу «око за око», он оказывается в небольшом проигрыше из-за потери на первом ходе. В такой популяции оптимальная стратегия — всегда предавать. Если же число исповедующих принцип «око за око» больше, то результат уже зависит от их доли в обществе.

Определить оптимальную стратегию можно двумя путями:

Равновесие Байеса-Нэша: если определено статистическое распределение встречаемого поведения (например, 33 % «око за око», 33 % всегда обманывают и 33 % всегда сотрудничают), то стратегию можно вычислить математически. Этим детально занимается теория эволюционной динамики.

По методу Монте-Карло делались симуляции популяций, где индивиды с низкими результатами вымирали, а с высокими воспроизводились (использовался генетический алгоритм поиска оптимальной эволюционно стабильной стратегии). Структура поведения в конечной популяции зависит от структуры в начале.

Хотя стратегия «око за око» считалась самой удачной простой стратегией, команда Университета Саутгемптона из Англии (под руководством профессора Николаса Дженнингса ) представила новую стратегию на 20-ю годовщину Чемпионата по ПДЗ. Эта стратегия оказалась более успешной, чем «око за око». Она основывалась на взаимодействии между программами, чтобы получить максимальный счёт для одной из них. Университет выставил на чемпионат 60 программ, которые распознавали друг друга по ряду действий на первых 5-10 ходах. Узнав другую, одна программа всегда сотрудничала, а другая предавала, что давало максимум очков предателю. Если программа понимала, что оппонент — не саутгемптонский, она дальше всё время предавала его, чтобы минимизировать результат соперника. В результате эта стратегия заняла первые три места в соревновании, как и несколько мест подряд ниже.

Хотя эта эволюционно стабильная стратегия оказалась более эффективной в соревновании, это было достигнуто за счёт того, что в этом конкретном соревновании команда могла участвовать несколькими агентами. Если игрок может контролировать только одного агента, «око за око» оказывается лучшей. Она также соблюдает правило запрета на коммуникации между игроками. То, что саутгемптонские программы исполняли «ритуальный танец» в первые 10 ходов, чтобы узнать друг друга, только подтверждает, насколько важна коммуникация в сдвиге баланса игры.

Если ПДЗ играется ровно N раз (некая известная константа N), есть ещё один интересный факт. Равновесие Нэша — всегда предавать. Доказываем по индукции: если оба сотрудничают, на последнем ходу выгодно предать, тогда у соперника не будет возможности отомстить. Поэтому оба предадут друг друга на последнем ходу. Раз соперник предаст на последнем ходу в любом случае, любой игрок захочет предать на предпоследнем ходу, и так далее. Чтобы сотрудничество оставалось выгодным, необходимо, чтобы будущее было неопределённым для обоих игроков. Одно из решений — делать число N случайным и подсчитывать результаты по среднему выигрышу за ход.

Дилемма заключённого — фундаментальная для некоторых теорий о взаимодействии людей и доверии. Из предположения модели ДЗ, что транзакция между двумя людьми требует доверия, доверительное поведение в популяциях может быть смоделировано при помощи многоигроковой повторяющейся версии игры. Это годами вдохновляло многих учёных. В 1975 году Грофман и Пул оценивали число работ, посвящённых этой теме, в количестве около 2000.