Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы

 
 
 

Контрольная работа № 11

Теория  вероятностей, математическая статистика и

случайные процессы  
ТЕМА 11. Теория вероятностей, математическая статистика и

случайные процессы. 

1. Случайные события.
2. Случайные величины.
3. Элементы математической статистики.
4. Цепи Маркова.

 

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов – 10-е издание, стереотипное – Москва: Высшая школа, 2003. - 479 с.
2. Гмурман В.Е Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для вузов.- 9-е издание, стереотипное – Москва: Высшая школа, 2004.- 404 с.
3. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов – 2-е издание, переработанное и дополненное – Москва: ЮНИТИ, 2003. -352 с.

 

Решение типового варианта контрольной  работы. 

     Задача 1. Бросается 4 монеты. Какова вероятность того, что три раза выпадет «решка»?

     Решение. Подбрасывание монеты будем считать одним опытом. По условию задачи производится 4 одинаковых испытания. Вероятность успеха (выпадение «решки») в каждом испытании равна . Требуется найти, что среди проведенных испытаний будет успешных. Для решения задачи воспользуемся формулой биномиального закона распределения дискретной случайной величины. . В условиях нашей задачи .

     Ответ: 0.25. 

     Задача 2. В квадрат со стороной 2 вписан квадрат, вершины которого лежат на серединах сторон большего квадрата. Найти вероятность того, что наудачу брошенная в больший квадрат точка попадет в маленький квадрат.

     Решение. Воспользуемся понятием геометрической вероятности.  Будем искать вероятность попадания в меньший квадрат как отношение площади меньшего квадрата к площади большего квадрата. .

     Ответ: . 

   Задача 3. Определить надежность схемы, если P_i – надежность i – го   элемента 

 

   Решение. Разобьем цепь на три последовательно соединенных блока. И вычислим надежность каждого блока отдельно. Первый блок пропускает электрический ток в трех случаях: если исправен первый элемент и неисправен второй; если исправен второй элемент и неисправен первый; и если оба элемента исправны. Таким образом, надежность этого блока может быть представлена суммой: . Однако проще надежность этого элемента вычислить через вероятность противоположного события. Вычислим вероятность того, что блок не пропускает ток и надежность найдем по формуле вероятности противоположного события. Блок не исправен только в случае когда и первый и второй элементы неисправны: , следовательно, надежность блока может быть вычислена как разность: . Аналогично вычисляется надежность второго блока: . Теперь, зная надежности трех последовательно соединенных блоков, вычислим надежность цепи в целом. Схема пропускает ток только если все три блока исправны, то есть надежность схемы: .

   Ответ: . 

   Задача 4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины Y. Определить значение x и вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Y.

Y	5	6	7	10
p	0,1	0,1	x	0,3

     Решение.  Найдем значение x из условия .

Зная  x, становится возможным вычисление математического ожидания.

     Ответ:  

     Задача 5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания m нормального закона с надежностью 0.95; зная выборочную среднюю .

     Решение. Построить доверительный интервал с доверительной вероятностью для математического ожидания m произвольной случайной величины можно следующим образом:

При надежности =0,95 найдем табличное значение и запишем выражение, подставив значения из условия задачи:

,

.

     Ответ: . 

     Задача 6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг. Найти матрицу перехода данной цепи за три шага .

     Решение. Матрицей перехода системы называют матрицу, которая содержит все переходные вероятности этой системы:

В каждой строке матрицы помещены вероятности  событий (перехода из состояния i в состояние j), которые образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:

Обозначим через  вероятность того, что в результате n шагов (испытаний) система перейдет из состояния i в состояние j. Например - вероятность перехода из второго состояния в пятое за десять шагов. Отметим, что при  n=1 получаем переходные вероятности .

Перед нами поставлена задача: зная переходные вероятности  , найти вероятности перехода системы из состояния i в состояние j за n шагов. Для этого введем промежуточное  (между i и j) состояние r. Другими словами, будем считать, что из первоначального состояния i за m шагов система перейдет в промежуточное состояние r с вероятностью , после чего, за оставшиеся n-m шагов из промежуточного состояния r она перейдет в конечное состояние j с вероятностью . По формуле полной вероятности получаем:

.

Эту формулу  называют равенством Маркова. С помощью  этой формулы можно найти все  вероятности  , а, следовательно, и саму матрицу . Так как матричное исчисление ведет к цели быстрее, запишем вытекающее из полученной формулы матричное соотношение в общем виде .

Вычислим  матрицу перехода цепи Маркова за три шага, используя полученную формулу:

     Ответ: . 

     Задача 7. DX = 3. Используя свойства дисперсии, найдите D(4X-2).

     Решение. .

     Ответ: 48. 

     Задача 8. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя компьютерами поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если заняты все три компьютера, то вновь поступающий заказ не принимается и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0.25 (з/час). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

     Решение. В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов – так называемый процесс гибели и размножения. Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы . Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния возможны переходы только либо в состояние , либо в состояние . В предположении, что все потоки событий, переводящие систему из одного состояние в следующее простейшие с соответствующими интенсивностями или , для отыскания предельных вероятностей, можно использовать систему уравнений Колмогорова для стационарных процессов. Правило для составления уравнений Колмогорова звучит следующим образом: слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-ое состояние на вероятности тех состояний, из которых эти потоки выходят. Поток заявок характеризуется интенсивностью (заявок/час), поток обслуживания – интенсивностью (заявок/час). Согласно условию задачи (заявок/час), (заявок/час). В нашей задаче система массового обслуживания может находиться в одном из четырех состояний: - когда все три компьютера свободны; - когда загружен работой только один компьютер; - когда заняты два компьютера; - когда все компьютеры заняты. В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид:

.

К этой системе добавляется нормировочное  уравнение  .

.

Решая эту систему уравнений, получим:

  .

То есть в стационарном режиме работы вычислительного  центра в среднем 47,6%  времени нет ни одной заявки, 35,7% - имеется одна заявка, 13,4% - две заявки и 3,3% времени – три заявки (заняты все вычислительные мощности).

Вероятность отказа в обслуживании (когда заняты все три компьютера), таким образом .

Относительная пропускная способность центра , то есть в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.

Абсолютная  пропускная способность , то есть в один час в среднем обслуживается 0,242 заявки.

Среднее число занятых компьютеров есть математическое ожидание числа занятых каналов , то есть каждый компьютер будет занят обслуживанием заявок в среднем лишь на %.

При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих компьютеров и выбрать компромиссное решение.

 

ЗАДАНИЯ

     Контрольная работа №11

     Вариант 4.

1. Бросаются 2 монеты. Какова вероятность того, что выпадут и герб и решка, равна?
2. В группе 25 студентов, из которых отлично учится 5 человек, хорошо – 12, удовлетворительно – 6 и слабо – 2. Преподаватель вызывает студента. Какова вероятность того, что вызванный студент или отличник или хорошист?
3. Определить надежность схемы, если P_i – надежность i – го элемента

 

4. Дан ряд  распределения дискретной случайной  величины. Определить математическое ожидание случайной величины.

1	2	3	5
0,1	0,2	0	0,7

5. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания m нормального закона с надежностью 0.9; зная выборочную среднюю .
6. Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг. Найти матрицу перехода данной цепи за два шага .
7. X и Y – независимы. DX = 5, DY = 2. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+3Y).
8. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность поток судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более, чем 2 судна.