Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

Федеральное агентство  по образованию Российской Федерации

Государственное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский государственный  горный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

по дисциплине                                    Информатика

^{(наименование  учебной дисциплины  согласно учебному  плану)}

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

Тема работы: Аппроксимация функции методом  наименьших квадратов 

 

 

 

Автор: студент гр._ИЗ-04-1 __ ___________   ____/Авдеева Е.В./

^{(подпись)     (Ф.И.О.)}

 

 

 

ОЦЕНКА: _____________

 

Дата: ___________________

ПРОВЕРИЛ

 

Руководитель  проекта ___старший преподаватель__ ______ /Быкова Е.В._/

^{(должность)  (подпись)   (Ф.И.О.)}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2005

Федеральное агентство  по образованию Российской Федерации
Санкт-Петербургский  государственный горный институт им Г.В. Плеханова (технический университет)
		УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой  Доц. Прудинский Г. А.    /_________ / "___"__________2005г.

 

 

Кафедра Информатики и компьютерной технологии

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

по дисциплине __________________Информатика_______________

^{(наименование  учебной дисциплины  согласно учебному  плану)}

ЗАДАНИЕ

 

студенту группы ____ИЗ-04-1__   _Авдеевой Е.В.

^{(шифр группы)    (Ф.И.О.)}

1.Тема работы: Аппроксимация функции  методом наименьших квадратов  с помощью языка программирования  Turbo Pascal 7.0 и электронных таблиц Microsoft EXCEL.

2.Исходные данные к работе: Вариант  №1, табличные данные.

3.Содержание пояснительной записки: Пояснительная записка включает в себя задание на выполнение курсовой работы, титульный лист, аннотацию, оглавление, введение, собственно текст пояснительной записки, заключение, список используемой литературы.

4. Перечень графического материала: Графики функций.

5. Срок сдачи законченного проекта: 02.12.2003 год.

Руководитель работы старший преподаватель _______ /Быкова Е.В./

(должность)  (подпись)  (Ф.И О.)

 

Дата выдачи задания: 22.09.2005 г.

 

Аннотация

Пояснительная записка представляет собой отчёт о выполнении курсовой работы. В ней рассматриваются вопросы построения эмпирических формул методом наименьших квадратов  средствами пакета Microsoft Excel  и решение данной задачи в Turbo Pascal 7.0. По окончании выполнения работы необходимо решить, каким методом задача решается лучше всего, а также определить каким средством это легче сделать: посредством Microsoft Excel или Turbo Pascal 7.0.

Работа содержит пояснительную  записку объемом 36 стр., вкл. 15 табл., 4 рис., библ. список из 3 наим.

Abstract

The explanatory note represents the report on performance of course work. In it (her) questions of construction of empirical formulas by a method of least squares means of package Microsoft Excel and the decision of the given problem in Turbo Pascal 7.0 are considered. Upon termination of performance of work it is necessary to solve, what method the problems solved in the best way end also to define what means it more easy to make: by means of Microsoft Excel or Turbo Pascal 7.0. Course work consists of 36 pages, incl.15 tables, 4 figures, 3 references.

 

Содержание

 

 

Введение

Аппроксимация (от латинского "approximate" -"приближаться")- приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании. В научных исследованиях часто применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов.

Между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента  соответствует одно определенное значение функции, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному  значению аргумента соответствует  приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. При ведении научных исследований, обработке результатов наблюдения или эксперимента обычно приходится сталкиваться со вторым вариантом.

При  выполнении любой научно-исследовательской работы возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых показателей.    Для этого и применяется аппроксимация — приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию зависимости (или ее "тренд").

При выборе аппроксимации  следует исходить из конкретной задачи исследования. Важно учитывать, насколько  существенны и чем обусловлены  отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, многопараметрическое уравнение.

Целью курсовой работы является углубление знаний по информатике, развитие и закрепление навыков работы с табличным процессором Microsoft Excel и применение  их  для решения задач с помощью ЭВМ из предметной области, связанной с исследованиями.

 

1. Постановка задачи

1. Используя метод наименьших  квадратов функцию  , заданную таблично, аппроксимировать

а) многочленом первой степени  ;

б) многочленом второй степени  ;

в) экспоненциальной зависимостью .

2. Для каждой зависимости вычислить  коэффициент детерминированности.

3. Вычислить коэффициент корреляции (только в случае а).

4. Для каждой зависимости построить  линию тренда.

5. Используя функцию ЛИНЕЙН вычислить  числовые характеристики зависимости  от .

6. Сравнить свои вычисления с результатами, полученными при помощи функции ЛИНЕЙН.

7. Сделать вывод, какая из  полученных формул наилучшим  образом аппроксимирует функцию  .

8. Написать программу на языке  программирования Паскаль и сравнить  результаты счета с полученными выше.

Функция задана табл. 1.

 

Таблица 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Расчётные формулы

2.1. Метод наименьших квадратов

Между величинами x и y существует функциональная зависимость, аналитический вид  которой обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача - найти эмпирическую формулу этой зависимости.

Х_i (независимая величина) задается экспериментатором, а y_i , называемая эмпирическими или опытными значениями получается в результате опыта.

,                                                         (1)

(где - параметры), значения которой при возможно мало отличались бы от опытных значений .

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции

                   (2)

будет минимальной.

Используя необходимое  условие экстремума функции нескольких переменных – равенство нулю частных  производных, находят набор коэффициентов  , которые доставляют минимум функции , определяемой формулой (2) и получают нормальную систему для определения коэффициентов :

                                              (3)

Таким образом, нахождение коэффициентов  сводится к решению системы (3).

2.2. Определение параметров аппроксимации

Вид системы (3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1). В случае линейной зависимости y=a₁+a₂x (1.1) система (3) примет вид:

                                                               (4)

В случае квадратичной зависимости  (1.2) система (3) примет вид:

                                                 (5)

В случае экспоненциальной функции

.                                                                                             (6)

В этом случае нужно вначале линеаризовать  формулу (6) с помощью логарифмирования. Логарифмируя (6), получим:

lny=lna₁+a₂x                                                                                             (7)

К уравнению (7) можно применить  формулы  (4), но с другими обозначениями. Введем обозначения:

z=lny,     c=lna₁                                                                                          (8)

Тогда уравнение (7) перепишется в  виде: z=c+a₂x и система для определения параметров c, a₁ примет вид:

                                                                       (9)

или, возвращаясь к табличным эмпирическим данным,

                                                                 (10)

2.3. Оценка статистических параметров  системы

Параметры уравнений (1.1), (1.2), (6) связаны  некоторыми соотношениями со статистическими  оценками эмпирических данных. Особенно это относится к линейному уравнению (1.1).

Напомним некоторые статистические оценки. Наблюдаемые значения величин x_i, y_i  можно рассматривать как выборочные значения двух случайных величин X и Y. По выборочным данным можно найти выборочные средние и выборочные квадратичные отклонения X и Y, а также выборочный коэффициент корреляции, а именно:

,                                                                   (11)

 

                                        (12)

 

Для вычисления можно применить и более простые формулы, которые выводятся в курсе теории вероятностей с помощью простых алгебраических преобразований:

                                         (13)

                                    (14)

 

здесь - выборочные средние величин X, Y; - выборочные квадратичные отклонения величин X, Y; r - выборочный коэффициент корреляции.

 

Известно, что  линейное уравнение (5), называемое в  статистике уравнением линейной регрессии, проходит через точку  , а коэффициент a₂, называемый в статистике коэффициентом регрессии, связан с коэффициентом корреляции r . Имеют место следующие соотношения:

                                                                                          (15)

                                                                                               (16)

Коэффициент корреляции характеризует меру линейной связи  между величинами X,Y и может принимать значения в пределах от -1 до 1. Чем ближе к единице | r | , тем теснее линейная связь между X, Y. Если | r | = 1, то Y линейно зависит от X , т.е. выполнено соотношение:

y_i=a₁+a₂x_i ,

поэтому ошибка представления эмпирических данных равна 0.

2.4. Оценка точности аппроксимации

 Мера ошибки при аппроксимации функции в соответствии с данным выше определением равна

.

С целью оценки относительной погрешности при аппроксимации функции рассматривают величину суммарной погрешности по отношению к общему разбросу данных. Общий разброс данных складывается из отклонений теоретических значений от среднего и эмпирических значений от теоретических. Вводятся обозначения:

                                                                            (17)

                                                                            (18)

                                                                                (19)

В случае линейной функции получим:

                                                                    (20)

В случае квадратичной функции:

                                                       (21)

В случае экспоненциальной функции:

                                                                       (22)

По аналогии легко  написать формулу для вычисления ошибки аппроксимации функцией любого вида.