Использование Mathcad для решения определенных интегралов

Использование Mathcad  для решения определенных интегралов

 

   Интегрирование, как и дифференцирование, и множество других математических действий, устроено в Mathcad по принципу "как пишется, так и вводится". Чтобы вычислить определенный интеграл, следует напечатать его обычную математическую форму в документе. Делается это с помощью панели Calculus (Вычисления) нажатием кнопки со значком интеграла или вводом с клавиатуры сочетания клавиш <Shift>+<7> (или символа "&", что то же самое). Появится символ интеграла с несколькими местозаполнителями (рис. 4.1), в которые нужно ввести нижний и верхний интервалы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования.

ПРИМЕЧАНИЕ 

Если пределы интегрирования имеют размерность, то она должна быть одной и той же для обоих пределов.

Рис. 4.1. Оператор интегрирования

   Чтобы получить результат интегрирования, следует ввести знак равенства или символьного равенства. В первом случае интегрирование будет проведено численным методом, во втором — в случае успеха будет найдено точное значение интеграла с помощью символьного процессора Mathcad. Эти два способа иллюстрирует листинг 4.1. Конечно, символьное интегрирование возможно только для сравнительно небольшого круга несложных подынтегральных функций.

 

Листинг 4.1. Численное и символьное вычисление определенного интеграла

 

ПРИМЕЧАНИЕ 1

Можно вычислять интегралы  с одним или обоими бесконечными пределами (листинг 4.2). Для этого  на месте соответствующего предела  введите символ бесконечности, воспользовавшись, например, той же самой панелью Calculus (Вычисления). Чтобы ввести (минус бесконечность), добавьте знак минус к символу бесконечности, как к обычному числу.

 

Листинг 4.2. Вычисление интеграла  с бесконечными пределами

 

ПРИМЕЧАНИЕ 2

Подынтегральная функция может зависеть от любого количества переменных. Именно для того чтобы указать, по какой переменной Mathcad следует вычислять интеграл, и нужно вводить ее имя в соответствующий местозаполнитель. Помните, что для численного интегрирования по одной из переменных предварительно следует задать значение остальных переменных, от которых зависит подынтегральная функция и для которых вы намерены вычислить интеграл (листинг 4.3).

 

Листинг 4.3. Интегрирование функции двух переменных по разным переменным

 

Рис. 4.2. Использование оператора интегрирования в функции пользователя

 

ПРИМЕЧАНИЕ 3

Оператор интегрирования может использоваться точно так  же, как и другие

операторы: для  определения функций, в циклах и  при вычислении ранжированных переменных. Пример присваивания пользовательской функции f (z) значения определенного интеграла и вычисления нескольких ее значений приведен на рис. 4.2. На том же рисунке показано, как можно построить график результата интегрирования.

 

 

Использование Mathcad  для решения неопределенных интегралов

Задача нахождения неопределенного интеграла сложна, поскольку связана с поиском  функции, производная от которой  равна исходной подынтегральной  функции. Решение этой задачи целиком  возложено на символьный процессор Mathcad.

Символьное  интегрирование

   Для того чтобы аналитически проинтегрировать некоторую функцию, следует ввести с панели Calculus (Вычисления) символ неопределенного интеграла, в появившемся в документе шаблоне заполнить место заполнители и, наконец, ввести знак символьного равенства. В случае успеха по истечении некоторого времени расчетов справа от введенного выражения появится его аналитический результат (листинг 4.4). Если же функцию не удается проинтегрировать аналитически, введенное вами выражение будет

просто продублировано (листинг 4.5).

ПРИМЕЧАНИЕ 

Помните, что при символьном интегрировании допускается использовать в 

выражениях, которые вы вводите, различные параметры. Если перед  выражением вы

нигде не определяли их значения, то (в случае успешных вычислений) символьный процессор Mathcad выдаст аналитическую зависимость результата интегрирования от этих параметров (как в листинге 4.4 от параметра а).

 

Листинг 4.4. Аналитическое  вычисление неопределенного интеграла

Листинг 4.5. Аналитическое интегрирование невозможно

4.2.2. Интегрирование при  помощи меню 

 

Для вычисления неопределенного  интеграла от некоторого выражения  по определенной переменной при помощи меню выделите в выражении переменную и выполните команду Symbolics / Variable / Integrate (Символика / Переменная / Интегрировать) (рис. 4.6).

   Вычисленное аналитическое представление неопределенного интеграла появится ниже.

При этом результат может  содержать как встроенные в Mathcad функции, так и другие спецфункции, которые нельзя непосредственно рассчитать в Mathcad, но символьный процессор "умеет" выдавать их в качестве результата некоторых аналитических операций.

Рис. 4.6. Интегрирование выражения  по переменной при помощи меню