История систем счисления

Алфавит системы счисления - это совокупность цифр и букв, с помощью которых записываются числа.

Основание системы счисления - это количество цифр в алфавите.

Наименьшее возможное основание позиционной системы счисления равно 2. Такая система называется двоичной.

Наиболее распространенными в  настоящее время позиционными системами  счисления являются: десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание.

Система счисления	Основание	Алфавит цифр
Десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная	2	0, 1
Восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,   А(10), В(11), С(12), D(13), E(14), F(15)

 

Десятичная система счисления.

Наиболее распространенной позиционной  системой счисления является десятичная система. Она характеризуется тем, что в ней 10 единиц какого-либо разряда  образуют единицу следующего, старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10.

Так, например, в числе 555 цифры 5, находящиеся на разных позициях, имеют различные количественные значения - 5 сотен, 5 десятков, 5 единиц. При перемещении цифры на соседнюю позицию ее вес (количественный эквивалент) изменяется в 10 раз.

Число 555 - записано в свернутой форме и привычно для нас. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10.

В развернутой форме записи числа такое умножение производится в явной форме: 
55510 = 5· 102 + 5· 101 + 5· 100

Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. 
555,5510 = 5· 102 + 5·1 + 5· 100 + 5· 10-1 + 5· 10-2

Восьмеричная система счисления.

Основание равно 8. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Восьмеричное число 237,018 записано в свернутой форме.

Восьмеричное число 237,018 в развернутой форме будет записано так: 
237,018 = 2· 82 + 3· 81 + 7· 80 + 0· 8-1 + 1· 8-2

Шестнадцатеричная система счисления.

Основание равно 16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F

Шестнадцатеричное число 3А,С16 записано в свернутой форме.

Шестнадцатеричное число 3А,С16 в развернутой форме будет записано так: 
3А,С16 = 3· 161 + 10· 160 + 12· 16-1

Таблица символов в шестнадцатеричной системе счисления.

Двоичная система счисления.

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)

Чтобы научиться понимать числа  в двоичной системе счисления, сначала  рассмотрим, как формируются числа  в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления  мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.

Двоичная система счисления  аналогична десятичной за исключением  того, что в формировании числа  участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает  своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Попробуем считать в двоичной системе: 
0 – это ноль 
1 – это один (и это предел разряда) 
10 – это два 
11 – это три (и это снова предел) 
100 – это четыре 
101 – пять 
110 – шесть 
111 – семь и т.д.

Перевод чисел из двоичной системы  счисления в десятичную.

Не трудно заметить, что в двоичной системе счисления длины чисел  с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой  форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные.

В десятичной системе счисления  любое число можно представить  в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

Можно пойти еще дальше и разложить  так:

1476 = 1 * 10³ + 4 * 10² + 7 * 10¹ + 6 * 10⁰

Посмотрите на эту запись внимательно. Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 - это набор  цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или  иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.

Аналогично можно разложить  и любое двоичное число. Только основание  здесь будет 2:

10001001 = 1*2⁷ + 0*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰

Если посчитать сумму составляющих, то в итоге мы получим десятичное число, соответствующее 10001001:

1*2⁷ + 0*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно  числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:

10001001₂ = 137₁₀

Почему двоичная система счисления  так распространена?

Дело в том, что двоичная система  счисления – это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания.

Перевод десятичного числа в  двоичное.

Может потребоваться перевести  десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного  числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись:

77 / 2 = 38 (1 остаток) 
38 / 2 = 19 (0 остаток) 
19 / 2 = 9 (1 остаток) 
9 / 2 = 4 (1 остаток) 
4 / 2 = 2 (0 остаток) 
2 / 2 = 1 (0 остаток) 
1 / 2 = 0 (1 остаток)

Собираем остатки вместе, начиная  с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:

1001101 = 1*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы:

 

 

• С. В. Фомин «Системы счисления» — Москва. 1987 год.

 

• Н. Г. Берман "Счет и число". Москва 1947 год.

 

• http://comp-science.narod.ru/Demenev/files/history.htm

 

• http://59209s007.edusite.ru/p121aa1.html