Контрольная работа по «Имитационному моделированию»

контрольная работа

 по предмету  «Имитационное моделирование»

Задание 1.

Определить площадь фигуры, заданной координатами вершин, методом  Монте-Карло, проведя 25 испытаний. Определить площадь фигуры аналитически и сравнить полученные результаты.

А(5;0),  B(2;3), C(10;18), D(15;15), E(20,5), F(10;0)

Нарисуем в двухмерных координатах заданный шестиугольник, вписав его в прямоугольник, чья площадь, как нетрудно догадаться, составляет (20 – 2) · (18 – 0) = 324 (см. рис. 1).

Используем таблицу случайных  чисел для генерации пар чисел R, G, равномерно распределенных в интервале от 0 до 1. Число R будет имитировать координату X (2 ≤ X ≤ 20), следовательно, X = 18 · R. Число G будет имитировать координату Y (0 ≤ Y ≤ 18), следовательно, Y = 18 · G. Сгенерируем по 25 чисел R и G и отобразим 25 точек (X; Y) на рис. 1 и в табл. 1

Таблица 1 
Решение задачи методом Монте-Карло

Номер точки	R	G	X	Y	Количество попаданий  точки (X; Y) в прямоугольник?	Количество попаданий  точки (X; Y) в шестиугольник?	Оценка вероятности  попадания случайной точки в  испытуемую область	Оценка площади S методом Монте-Карло
1	0,2769	0,2439	4,983	4,390	1	1	1,00	324
2	0,2142	0,8109	3,856	14,595	2	1	0,50	162
3	0,0262	0,3647	0,471	6,564	3	1	0,33	108
4	0,1843	0,5050	3,317	9,090	4	1	0,25	81
5	0,3467	0,3514	6,240	6,324	5	2	0,40	130
6	0,6996	0,1455	12,592	2,618	6	3	0,50	162
7	0,3061	0,2992	5,510	5,386	7	4	0,57	185
8	0,9896	0,8346	17,813	15,024	8	4	0,50	162
9	0,8636	0,0388	15,544	0,698	9	4	0,44	144
10	0,5213	0,4112	9,383	7,402	10	5	0,50	162
11	0,1166	0,1290	2,099	2,322	11	5	0,45	147
12	0,0828	0,2866	1,490	5,159	12	5	0,42	135
13	0,1797	0,4972	3,234	8,949	13	5	0,38	125
14	0,3616	0,1940	6,509	3,492	14	6	0,43	139
15	0,0855	0,2007	1,538	3,613	15	6	0,40	130
16	0,8009	0,1870	14,416	3,365	16	7	0,44	142
17	0,0633	0,5538	1,140	9,968	17	7	0,41	133
18	0,9367	0,1373	16,860	2,471	18	7	0,39	126
19	0,1711	0,2309	3,081	4,155	19	8	0,42	136
20	0,5525	0,0615	9,946	1,106	20	9	0,45	146
21	0,4500	0,4421	8,100	7,957	21	10	0,48	154
22	0,2850	0,3297	5,129	5,935	22	11	0,50	162
23	0,7772	0,3377	13,990	6,079	23	12	0,52	169
24	0,4054	0,7116	7,298	12,809	24	13	0,54	176
25	0,3922	0,3842	7,060	6,916	25	14	0,56	181

 

Статистическая гипотеза заключается в том, что количество точек, попавших в контур фигуры, пропорционально  площади фигуры: 14:25 = S:324. То есть, по формуле метода Монте-Карло, получаем, что площадь S шестиугольника равна: 324 · 14/25 = 181.

Для аналитического расчета  площади фигуры можно использовать формулу нахождения площади треугольника с известными координатами вершин: А(5;0),  B(2;3), C(10;18), D(15;15), E(20,5), F(10;0)

Для этого шестиугольник  разделим на 4 маленьких треугольников.

Пусть точки D(15;15), E(20,5), F(10;0) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой: площадь первого треугольника, найдем второго.

А(5;0),  B(2;3), C(10;18) вершины второго треугольника

 

Найдем площадь третьего треугольника

 

А(5;0),  D(15;15), F(10;0) вершины третьего треугольника

 

 

Найдем площадь четвертого треугольника

 

А(5;0),  C(10;18) , D(15;15) вершины четвертого треугольника

 

 

 

Площадь фигуры АBCDEF составляет S=37.5+34.5+62.5+52.2=186.7

 

Задание 2

Кафе быстрого питания  может обслужить 15 человек в час. Определить вероятность того, что  за 0,5 часа:

А ) будут обслужены 12 человек.

Б)  Не будет обслужено ни одного человека

В) обслужат хотя бы одного человека

(Поток является простейшим  Пуассоновским)

Интенсивность потока λ — это среднее число событий в единицу времени. Интенсивность потока можно рассчитать экспериментально по формуле: λ = N/T_н, где N — число событий, произошедших за время наблюдения T_н.

λ=15/60 = 0.25 чел/1 мин. (1 чел/4 мин)

А)

 

Б)                                                     

 

В)                                                  

так как P_ХБ1С + P₀ = 1 (либо появится хотя бы одно событие, либо не появится ни одного, — другого не дано).

выражая τ из формулы (*), окончательно для определения интервалов между двумя случайными событиями имеем:

τ = –1/λ · Ln(r),

где r — равномерно распределенное от 0 до 1 случайное число, которое берут из ГСЧ, τ — интервал между случайными событиями (случайная величина τ_j).

 

τ =-1/0.25*ln(0,4158)

τ=3,5

=0.58

 

Задание 3

Салон в среднем посещают 4 клиента за час. Обслуживанием занимаются 2 мастера, первый в среднем обслуживает 1 клиента в час, а второй в среднем  обслуживает 2 клиента в час. Фойе рассчитано на ожидание очереди 1 клиентом. Сгенерируйте поток случайных событий. Проанализируйте временную диаграмму  за время наблюдения 3 часа.

 

Поток заявок

(λ=4 кл/ч)

 

 

Построим временную диаграмму работы СМО, отражая на каждой линейке (ось времени t) состояние отдельного элемента системы. Временных линеек проводится столько, сколько имеется различных мест в СМО, потоков. В нашем примере их 6 (поток заявок, поток ожидания в очереди (только одно место), поток обслуживания в канале 1, поток обслуживания в канале 2, поток обслуженных системой заявок, поток отказанных заявок).

Для генерации времени  прихода заявок используем формулу  вычисления интервала между моментами  прихода двух случайных событий 

Сгенерируем поток из 10 случайных событий с интенсивностью появления событий 4 кл/час. Для этого возьмем случайные числа, равномерно распределенные в интервале от 0 до 1 (см. таблицу), и вычислим их натуральные логарифмы.

 

 

Расчет расстояния между  случайными событиями на первой линейке.

rрр[0; 1]	ln(rрр[0; 1])	расстояние между двумя  случайными событиями
0,290	-1,238	0,310
0,917	-0,087	0,022
0,343	-1,070	0,268
0,745	-0,294	0,073
0,824	-0,194	0,048
0,238	-1,434	0,358
0,577	-0,549	0,137
0,263	-1,336	0,334
0,720	-0,329	0,082
0,646	-0,437	0,109

 

Формула пуассоновского потока определяет расстояние между двумя случайными событиями следующим образом: t = –Ln(r_рр)/λ. Тогда, учитывая, что λ = 4, имеем расстояния между двумя случайными соседними событиями: 0,022 ;  0,049; 0,074; 0,082; 0,109; 0,137; 0,268; 0,310; 0,334; 0,359 часа. То есть события наступают: первое — в момент времени t = 0, второе — в момент времени t = 0,022, третье — в момент времени t = 0,049, четвертое — в момент времени t = 0,049, пятое — в момент времени t = 0,074  и так далее. События — приход заявок отразим на первой линейке.

Берется первая заявка и, так  как в этот момент каналы свободны, устанавливается на обслуживание в  первый канал. Заявка 1 переносится  на линейку «1 канал».

Время обслуживания в канале тоже случайное и вычисляется  по аналогичной формуле:

где роль интенсивности играет величина потока обслуживания μ₁ или μ₂, в зависимости от того, какой канал обслуживает заявку.

!!!Аналогично  проводится расчет времени между  случайными событиями на 2,3 и 4 линейках

Временная диаграмма работы СМО

 

Находим на диаграмме момент окончания обслуживания, откладывая сгенерированное время обслуживания от момента начала обслуживания, и  опускаем заявку на линейку «Обслуженные».

Заявка прошла в СМО  весь путь. Теперь можно, согласно принципу последовательной проводки заявок, также  проимитировать путь второй заявки.

Если в некоторый момент окажется, что оба канала заняты, то следует установить заявку в очередь. На диаграмме это заявка с номером 3. Заметим, что по условиям задачи в очереди в отличие от каналов заявки находятся не случайное время, а ожидают, когда освободится какой-то из каналов. После освобождения канала заявка поднимается на линейку соответствующего канала и там организуется ее обслуживание.

Если все места в  очереди в момент, когда придет очередная заявка, будут заняты, то заявку следует отправить на линейку  «Отказанные». На диаграмме это заявка с номером 6.

Процедуру имитации обслуживания заявок продолжают некоторое время  наблюдения T_н. Чем больше это время, тем точнее в дальнейшем будут результаты моделирования. Реально для простых систем выбирают T_н, равное 50—100 и более часов, хотя иногда лучше мерить эту величину количеством рассмотренных заявок.

Анализ временной  диаграммы

Сначала нужно дождаться  установившегося режима. Откидываем первые четыре заявки как нехарактерные, протекающие во время процесса установления работы системы. Измеряем время наблюдения, допустим, что в нашем примере  оно составит T_н = 5 часов. Подсчитываем из диаграммы количество обслуженных заявок N_обс., времена простоя и другие величины. В результате можем вычислить показатели, характеризующие качество работы СМО.

1. Вероятность обслуживания: P_обс. = N_обс./N = 5/7 = 0.714. Для расчета вероятности обслуживания заявки в системе достаточно разделить число заявок, которым удалось обслужиться за время T_н (см. линейку «Обслуженные») N_обс., на число заявок N, которые хотели обслужиться за это же время.
2. Пропускная способность системы: A = N_обс./T_н = 7/5 = 1.4 [шт/час]. Для расчета пропускной способности системы достаточно разделить число обслуженных заявок N_обс. на время T_н, за которое произошло это обслуживание (см. линейку «Обслуженные»).
3. Вероятность отказа: P_отк. = N_отк./N = 3/7 = 0.43. Для расчета вероятности отказа заявке в обслуживании достаточно разделить число заявок N_отк., которым отказали за время T_н (см. линейку «Отказанные»), на число заявок N, которые хотели обслужиться за это же время, то есть поступили в систему. Обратите внимание. P_отк. + P_обс. в теории должно быть равно 1. На самом деле экспериментально получилось, что P_отк. + P_обс. = 0.714 + 0.43 = 1.144. Эта неточность объясняется тем, что время наблюдения T_н мало и статистика накоплена недостаточная для получения точного ответа. Погрешность это показателя сейчас составляет 14%!
4. Вероятность занятости одного канала: P₁ = T_зан./T_н = 0.05/5 = 0.01, где T_зан. — время занятости только одного канала (первого или второго). Измерениям подлежат временные отрезки, на которых происходят определенные события. Например, на диаграмме ищутся такие отрезки, во время которых заняты или первый или второй канал. В данном примере есть один такой отрезок в конце диаграммы длиной 0.05 часа. Доля этого отрезка в общем времени рассмотрения (T_н = 5 часов) определяется делением и составляет искомую вероятность занятости.
5. Вероятность занятости двух каналов: P₂ = T_зан./T_н = 4.95/5 = 0.99. На диаграмме ищутся такие отрезки, во время которых одновременно заняты и первый, и второй канал. В данном примере таких отрезков четыре, их сумма равна 4.95 часа. Доля продолжительности этих события в общем времени рассмотрения (T_н = 5 часов) определяется делением и составляет искомую вероятность занятости.
6. Среднее количество занятых каналов: N_ск = 0 · P₀ + 1 · P₁ + 2 · P₂ = 0.01 + 2 · 0.99 = 1.99. Чтобы подсчитать, сколько каналов занято в системе в среднем, достаточно знать долю (вероятность занятости одного канала) и умножить на вес этой доли (один канал), знать долю (вероятность занятости двух каналов) и умножить на вес этой доли (два канала) и так далее. Полученная цифра 1.99 говорит о том, что из возможных двух каналов в среднем загружено 1.99 канала. Это высокий показатель загрузки, 99.5%, система хорошо использует ресурс.
7. Вероятность простоя хотя бы одного канала: P^*₁ = T_{простоя1}/T_н = 0.05/5 = 0.01.
8. Вероятность простоя двух каналов одновременно: P^*₂ = T_{простоя2}/T_н = 0.
9. Вероятность простоя всей системы: P^*_c = T_{простоя сист.}/T_н = 0.
10. Вероятность того, что в очереди будет одна заявка: P_1з = T_1з/T_н = 1.7/5 = 0.34 (всего на диаграмме четырех таких отрезка, в сумме дающих 1.7 часа).
11. Вероятность того, в очереди будет стоять одновременно две заявки: P_2з = T_2з/T_н = 3.2/5 = 0.64 (всего на диаграмме три таких отрезка, в сумме дающих 3.25 часа).
12. Среднее время ожидания заявки в очереди:

(Сложить все временные  интервалы, в течение которых  какая-либо заявка находилась  в очереди, и разделить на  количество заявок). На временной  диаграмме таких заявок 4.

13. Среднее время обслуживания заявки:

(Сложить все временные  интервалы, в течение которых  какая-либо заявка находилась  на обслуживании в каком-либо  канале, и разделить на количество  заявок).

14. Среднее время нахождения заявки в системе: T_{ср. сист.} = T_ср. ож. + T_{ср. обсл.}.

 

 

Приложение Таблица случайных чисел равномерно распределенных от 0 до 1 и их натуральных логарифмов

 

rnd ln(rnd) 0.0333 –3.4022 0.5370 –0.6218 0.9499 –0.0514 0.1090 –2.2164 0.0415 –3.1821 0.6855 –0.3776 0.9595 –0.0413 0.9526 –0.0486 0.8109 –0.2096 0.6617 –0.4129 0.7200 –0.3285 0.1214 –2.1087 0.4911 –0.7111 0.8687 –0.1408 0.4231 –0.8601 0.5383 –0.6193 0.0031 –5.7764 0.4611 –0.7741 0.5811 –0.5428 0.1706 –1.7684 0.3339 –1.0969 0.4140 –0.8819 0.9837 –0.0164 0.0697 –2.6636 0.9747 –0.0256 0.1971 –1.6240 0.2490 –1.3903 0.9054 –0.0994 0.5316 –0.6319 0.4580 –0.7809 0.2532 –1.3736 0.6493 –0.4319 0.0428 –3.1512 0.6208 –0.4767 0.2170 –1.5279 0.5662 –0.5688 0.0311 –3.4705 0.8083 –0.2128 0.7324 –0.3114 0.1680 –1.7838

rnd ln(rnd) 0.3557 –1.0337 0.1958 –1.6307 0.2748 –1.2917 0.6982 –0.3592 0.1652 –1.8006 0.7644 –0.2687 0.2194 –1.5169 0.8395 –0.1749 0.4510 –0.7963 0.5997 –0.5113 0.1140 –2.1716 0.6713 –0.3985 0.5643 –0.5722 0.2644 –1.3303 0.6948 –0.3641 0.6455 –0.4377 0.7872 –0.2393 0.3865 –0.9506 0.6035 –0.5050 0.8052 –0.2167 0.4086 –0.8950 0.0543 –2.9132 0.0016 –6.4378 0.0739 –2.6050 0.3551 –1.0354 0.1971 –1.6240 0.7581 –0.2769 0.7360 –0.3065 0.0353 –3.3439 0.4840 –0.7257 0.1146 –2.1663 0.8863 –0.1207 0.5535 –0.5915 0.7711 –0.2599 0.2360 –1.4439 0.1328 –2.0189 0.9487 –0.0527 0.6291 –0.4635 0.5520 –0.5942 0.3324 –1.1014

rnd ln(rnd) 0.2172 –1.5269 0.7003 –0.3562 0.4443 –0.8113 0.5643 –0.5722 0.8155 –0.2040 0.8276 –0.1892 0.4268 –0.8514 0.9232 –0.0799 0.6048 –0.5029 0.5492 –0.5993 0.4062 –0.9009 0.4749 –0.7447 0.3445 –1.0657 0.1798 –1.7159 0.1637 –1.8097 0.6234 –0.4726 0.2689 –1.3134 0.3768 –0.9760 0.2798 –1.2737 0.2950 –1.2208 0.2404 –1.4255 0.4941 –0.7050 0.4098 –0.8921 0.2543 –1.3692 0.4049 –0.9041 0.2117 –1.5526 0.8894 –0.1172 0.4613 –0.7737 0.1306 –2.0356 0.5970 –0.5158 0.7013 –0.3548 0.8756 –0.1328 0.5107 –0.6720 0.2537 –1.3716 0.3355 –1.0921 0.6142 –0.4874 0.2127 –1.5479 0.7151 –0.3353 0.5716 –0.5593 0.8695 –0.1398