Метод поиска в узлах решетки

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение………………………………………………………………………….2
2. Метод поиска в узлах решетки……………………………………………...…4
3. Метод Бокса………………………………………………………………………6
4. Метод Хука-Дживса……………………………………………………………..8
5. Метод Каши……………………………………………………………………..10
6. Метод Ньютона…………………………………………………………………12
7. Метод нахождения размерности……………………………………………..14
8. Список использованнойлитературы………………………………………..16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Математическое моделирование  как инструмент познания завоевывает  все новые и новые позиции  в различных областях деятельности человека. Оно становится главенствующим направлением в проектировании и исследовании новых систем, анализ свойств существующих систем, выборе и обосновании оптимальных условий их функционирования и т.п.

Математическое моделирование  широко проникло в различные области знаний и их приложения: технические, экономические, социальные, биологические и многие другие, на первый взгляд, далекие от математики. Поэтому специалистам различных направлений необходимо владеть концепциями и методами математического моделирования, иметь представление об инструментарии, применяемом при моделировании.

Первый и главный этап математического  моделирования — собственно построение модели — очень часто опирается  на некоторые имеющиеся исходные данные. При этом широко применяются вычислительные методы обработки данных: методы интерполяции, аппроксимации и др.

Основная задача моделирования  различного рода процессов и систем с целью исследования объектов, прогнозирования  их поведения или поиска наилучших  условий функционирования сводится к расчету анализируемых показателей по математической модели при тех или иных значениях (или функциях) входных величин. Важное значение при этом приобретают вычислительные алгоритмы, с помощью которых можно получить при моделировании решение конкретной математической задачи.

Знакомству с идеями и алгоритмами  решения наиболее распространенных задач вычислительной математики, применяющихся  при математическом моделировании, получению практических навыков  их применения и посвящено данное учебное пособие. Оно включает в себя следующие основные темы.

• Интерполяция.

• Аппроксимация.

• Решение нелинейных уравнений  и их систем.

• Решение систем линейных уравнений.

• Вычисление интегралов.

• Основы решения дифференциальных уравнений.

• Методы оптимизации.

Эти темы охватывают широкий спектр методов и являются минимумом, необходимым  для дальнейшего успешного решения  различных задач математического  моделирования, возникающих при  исследовании реальных объектов промышленного  производства, экономических, финансовых и других и управления ими. Все рассмотренные методы снабжены достаточно подробными примерами реализации вычислительных алгоритмов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Метод поиска в  узлах решетки

Начальные данные:

Значения переменной x1 зададим в столбце, для чего занесем в верхние ячейки первые два значения(0 и 0,5) затем применим операцию копирования. Значения переменной x2 зададим в строчке, для чего зададим в ячейке начальные значения (0 и 0,5) затем применим операцию копирования.

Шаг 0,5 -Предельное значение 8.

Присвоим столбцу x1 имя х_1, а строчке x2 имя х_2.

Выделим диапазон значений функции z=f(x1,x2) и в ячейке в верхнем левом  углу запишем формулу (=(64*(x_1-A2)^2)/4+((x_2-B2)^2)/16) после чего нажмем клавиши Ctrl+Shift+Enter и получаем массив данных.

Выделим возрастание значений условным форматированием цветовыми шкалами.

Для нахождения минимума и максимума  f(x1,x2) применим соответствующие функции Excel – МИН(f) и МАКС(f).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Метод Бокса

1. Выбор х ⁽⁰⁾ – начальная точка
2. построение квадрата (сторона задается самостоятельно)
3. Вычисление

4.

Начальные данные:

Точка с минимальным значением  функции начинает выполнять роль точки х⁽⁰⁾ – центр квадрата. Точка х⁽⁰⁾ на каждой итерации выбирается в качестве начальной, уменьшается в заданное количество раз величина стороны квадрата.

 

 

 

 

 

3. Метод Хука-Дживса

Производится вдоль координатных осей заранее заданным приращением  по каждой координате. Возможны случаи успешного и не успешного поиска. В случае успешного поиска по данной координате заканчивается и начинается поиск по другой координате.

Начальные данные:

 

Например:

 и т.д.

 

 

 

4. Метод Каши

- длина шага

Формула используется в методе Каши. Поиск ведётся в направлении  обратном градиенту. Значением  определится путём решения задачи минимизации. Метод устойчивости используется в качестве начальной процедуры. При реализации градиентных методов, т.к. позволяет существенно уменьшить значение целевой функции при движении из точки, расположенной на значительном расстоянии от точки минимума.

Начальные данные:

 

∆х1 = α·df/dx1; ∆х2 = α·df/dx2;

x1=x1-∆х1; x2=x2-∆х2;

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Метод Ньютона

Начальные данные:

Сначала находим производные требуемых  порядков:

Составляем матрицу и находим  обратную матрицу МОБР(m_1):

Находим градиент функции и производим умножение функцией МУМНОЖ():

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Метод понижения  размерности

Используется при m<n. Использование метода затр-но случае:

-большого значения m

-невозможности аналитического  разрешения управления для целевой  функции относительно независимой  переменной.

Начальные данные:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Использованная литература

1. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании – М: Финансы и статистика, 2002.
2. Интерактивный курс. Microsoft Office Excel 2007. – Москва: Новая Школа, 2007.
3. Уокенбах Дж. Excel 2007. Библия пользователя - СПб.: Питер, 2008.