Нахождение корней уравнения методом Ньютона

 

Следовательно, на отрезке [0;0,5] |f'(х)| £ 1 и к уравнению можно применить метод итерации.

За начальное приближение возьмем х0 =0, все остальные приближения будем определять из равенства: хi+1 = 0,5 – 0,5 lg(2xi +3), результа­ты сведем в табл. 4.

 

 

 

 

 

 

Таблица 4

Результаты расчетов по методу итерации

 

 

Ответ: х = 0,230.

 

 

2.3 Метод  Ньютона

 

При наличии хорошего приближения  xk к корню |x| функции f(∙) можно использовать метод Ньютона, называемый также методом линеаризации или методом касательных. Расчётные формулы метода могут быть получены путём замены исходного уравнения (1) линейным уравнением в окрестности корня

(2)

Решение этого уравнения принимается  за очередное приближение x_k+1:

(3)

Метод Ньютона имеет простую  геометрическую интерпретацию: график функции заменяется касательной  к нему в точке (xk; f(xk)) и за очередное приближение xk+1 принимается абсцисса точки пересечения её с осью OX. Используя эту интерпретацию легко получить расчётные формулы (3) метода Ньютона и вследствие этой интерпретации он именуется также методом касательных.

Рис. 7.

 

Здесь x0; x1; x3 поледовательные приближения к корню |x|, полученные в результате применения метода Ньютона.

Ясно, что сходимость последовательности fxkg к корню зависит от свойств функции f(∙) и не всегда имеет место. Так, легко представить, что уже приближение x1 не попадает на исходный интервал и процесс итераций останавливается.

Приведём полезную теорему, гарантирующую  сходимость метода.

Теорема 1. Если f(a) ∙ f(b) < 0, причём f’(x) и f’’(x) отличны от нуля (и, следовательно,

сохраняют определённые знаки при  x ϵ [a; b]), то, исходя из начального приближения x0 2[a; b], удовлетворяющего условию f(x0) ∙ f’’(x0) > 0, можно вычислить методом Ньютона по формуле (3) единственный корень x уравнения (1) с любой степенью точности.

Замечание. Практическим критерием  окончания вычислений является выполнение условия |xn+1 – xn| < ε, где ε – требуемая точность вычисления корня.

Метод Ньютона – удобный способ вычисления корня целой степени. Поскольку задача извлечения корня равносильна задаче решения уравнения (1) с функцией f(x) = xn-c, то расчётная формула метода Ньютона приобретает вид

Пусть n = 2; c = 2; и тогда f(x) = x² - 2: Можно принять [a; b] = [1; 2]: Проверим выполнение условий теоремы 1: f(1) = -1, f(2) = 2, f’(x) = 2x > 0, f’’(x) = 2 > 0 при x ϵ [1; 2]. Положим x0 = 2. Поскольку f(2) ∙ f’’(2) = 2 ∙ 2 = 4 > 0, то обеспечена сходимость последовательности {xk}, получаемой по формуле (3) к √2:

Все цифры последнего приближения  являются верными.

Если же условия теоремы 1 не выполняются  или проверка их затруднительна, то очередное "приближение" xk+1 может оказаться вне интервала, на котором расположен корень x. В этом случае xk+1 строится либо методом половинного деления либо методом хорд. В первом случае полагают

во втором –

Здесь a_k; b_k – левый и правый конец интервала, которому принадлежит корень x на предыдущем шаге.

На начальном этапе полагаем a0 = a; b0 = b. Пусть для определённости f(a) < 0;

f(b) > 0: Если x1 ϵ [a; b], то вычислив c = f(x1), полагаем a1 = c, b1 = b0 при c < 0, и

a1 = a0, b1 = c при c > 0 и повторяем вычисления.

Если же приближение x1 ϵ [a; b], то применяем формулы (4) либо (5) и поступаем как

и выше: вычисляя c = f(x1), полагаем a1 = c, b1 = b0 при c < 0, и a1 = a0, b1 = c при c > 0 и применяем метод Ньютона.

 

2.4 Пример  поиска корней  уравнений с помощью метода Ньютона

 

В методе Ньютона на каждом шаге проводится касательная к кривой y=F(x) при x=xn  и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс:

Рис. 8

 

 

 

Формула для (n+1) приближения имеет вид:

 

 

Если F(a)*F"(a)>0, x0=a, в противном случае x0=b.

 

 Итерационный  процесс продолжается до тех  пор, пока не будет обнаружено, что:

.

 

 Например, требуется уточнить корни уравнения  cos(2x)+x-5=0 методом касательных с точностью до 0,00001, используя:

1. Mathcad ;
2. Excel.

 

Для решения  такой задачи, используя Mathcad, необходимо выполнить следующие действия:

1 Запустить Mathcad.

 

2 Ввести в позиции ввода рабочего аргумента выражение, описывающее функцию f(x):

f(x):=cos(2·x)+x-5.

 

3 Ввести выражение:

  (описывающее производную второго порядка от функции f(x)).

 

 4 Вывести ниже значение этой производной: 

 

5 Ввести выражение:

 

(описывающее производную первого порядка от функции f(x)).

 

6 Вывести ниже значение этой производной:

 

7 Вести граничные значения отрезка изоляции: a:=5 и b:=6.

 

8 Ввести значение данной погрешности: e:=0,00001.

 

9 Описать функцию casat(f,a,b,e) с помощью программы, используя панель «Программирования», для этого выполнить следующие действия:

 

• Добавить строку программы.

 

• В первом темном прямоугольнике задать условие: if f(a)·f(b)>0 , вернуться в темный прямоугольник перед условием и в нем добавить строку программы.

 

• В первом темном прямоугольнике ввести присваивание переменных x1 и a , а в следующем - c и a ( для присваивания использовать кнопку "Локальное присвоение" на панели "Программирование": ).

 

• Встать в нижний темный прямоугольник и добавить строку программы, ввести otherwise и в темном прямоугольнике, стоящем перед otherwise добавить строку программы.

 

• В первом темном прямоугольнике присвоить x1 значение b, а в следующем - c и b.

 

• В следующем темном прямоугольнике добавить строку программы и ввести while |f(x1)|>e.

 

• В следующем темном прямоугольнике добавить строку программы и в двух полученных темных прямоугольниках последовательно ввести следующие выражения:

  и x1 присвоить x2.

 

• В последнем темном прямоугольнике ввести x1.

 

10 В поле ввода вывести значение функции casat(f,a,b,e)=5,33.

В итоге получаем следующее:

 

 

Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5,33.

 

Для решения такой задачи, используя Excel, необходимо выполнить следующие действия:

 1 Изначально необходимо определиться с тем, чему равно x0: либо a, либо b. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

 

• Найти производную первого порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f1(x)=-2sin(2x)+1.
• Найти производную второго порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f2(x)=-4cos(2x).
• Заполнить ячейки следующим образом (обратить внимание на названия и номера столбцов при заполнении - они должны быть такими же, как на рисунке):

 

• В итоге получается следующее:

 

2 Так как x0=b, то необходимо выполнить следующие действия:

 

• Заполнить ячейки следующим образом (обратить внимание на названия и номера столбцов при заполнении - они должны быть такими же, как на рисунке):

 

 

• В ячейку A6 ввести формулу =D5.

 

• Выделить диапазон ячеек B5:E5 и методом протягивания заполнить диапазон ячеек B6:E6.

 

• Выделить диапазон ячеек A6:E5 и методом протягивания заполнить диапазон нижерасположенных ячеек до получения в одной из ячеек столбца E результата (диапазон ячеек A6:E9).

 

В итоге получаем следующее:

 

 

Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5,32976.  

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Проблема  повышения качества вычислений, как  несоответствие между желаемым и  действительным, существует и будет  существовать в дальнейшем. Ее решению  будет содействовать развитие информационных технологий, которое заключается  как в совершенствовании методов  организации информационных процессов, так и их реализации с помощью  конкретных инструментов – сред и  языков программирования.

В данной курсовой работе были рассмотрены методы нахождения корней систем нелинейных алгебраических уравнений: метод итераций, метод Ньютона, а также метод  Ньютона для решения нелинейных уравнений. На примерах было показано, что с помощью данных методов  можно достаточно быстро решить нелинейное уравнение или систему нелинейных алгебраических уравнений с указанной  степенью точности. При этом использование  таких программ, как Excel и MathCad также существенно облегчает проводимые вычисления для нахождения корней уравнения или системы уравнений.

 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1) Быков А. Ю. Вычислительная математика - учебное пособие по дисциплине «Вычислительная математика» для подготовки бакалавров технических наук по направлению 552800 «Информатика и вычислительная техника», Москва 2005.

   2) Б.П. Демидович, И.А Марон. Основы вычислительной математики. – Москва, изд. «Наука»; 1970.

3) В.М. Вержбицкий. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). – Москва, «Высшая школа»; 2000.

4) Зайцева, О.С. Численные методы: Учебное пособие. Часть 1 [Текст] / О.С. Зайцева. – Тобольск: Изд-во ТГПИ им. Д. И. Менделеева, 2005. – 75 с.

5)  Метод Ньютона – Википедия [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_Ньютона

6)  Мэтьюз, Джон, Г.,Финк, Куртис, Д. Численные методы MATLAB, 3-е издание.- Москва, «Вильяс»; 2001.

7) Каганов, В.И. Компьютерные вычисления в средах Excel и MathCAD [Текст] / В.И. Каганов.– М.: Горячая линия – Телеком, 2003. – 328 с.

8) Калиткин Н. Н. Численные методы – учебник для студентов математических, физических и технических специальностей: Москва, 2000.

9)  Краткий курс вычислительной математики, Чита 1998.

10) Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Е.В.Чижонков. Численные методы в задачах и упражнениях. – Москва, «Высшая школа»; 2000.

11)Турчак, Л.И. Основы численных методов: Учеб. пособие [Текст] / Л.И. Турчак , П.В. Плотников. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 304 с.