Основные понятия алгебры логики. Основные логические операции. Бинарная логика. Логические основы ЭВМ

Министерство  образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Сибирский государственный  индустриальный университет»

 

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра прикладной информатики

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

 Колпакова  Г.В.

Группа: ЭНЭПВ-132

 

 

 

 

 

 

 

Новокузнецк 2013

 

 

1 Основные понятия алгебры логики. Основные логические операции. Бинарная логика. Логические основы ЭВМ

 

1. Основное понятие алгебры логики – высказывание

 

Высказывание  – некоторое предложение, о котором  можно утверждать, что оно истинно  или ложно. Например, высказывание "Земля  – это планета Солнечной системы" истинно, а о высказывании "на улице идет дождь" можно сказать, истинно оно или ложно, если указаны дополнительные сведения о погоде в данный момент.

Любое высказывание можно обозначить символом x и считать, что x=1, если высказывание истинно, а x=0 – если высказывание ложно.

Логическая (булева) переменная – такая величина x, которая может принимать только два значения: x= {0,1}.

Высказывание абсолютно истинно, если соответствующая ей логическая величина принимает значение x=1 при любых условиях. Пример абсолютно истинного высказывания – высказывание "Земля – планета Солнечной системы".

Высказывание абсолютно ложно, если соответствующая ей логическая величина принимает значение x=0 при любых условиях. Например, высказывание "Земля – спутник Марса" абсолютно ложно.

Логическая функция (функция алгебры логики) – функция f(x₁, x₂,...x_n), принимающая значение, равное нулю или единице на наборе логических переменных x₁, x₂,...x_n.

В соответствии с введенными определениями функция f₁(x) является абсолютно истинной (константа единицы), а функция f₂(х) – абсолютно ложной функцией (константа нуля).

Функция f₃(x), повторяющая значения логической переменной, – тождественная функция [f₃(x)?х], а функция f₄(х), принимающая значения, обратные значениям х, – логическое отрицание, или функция НЕ [f₄(x)= ?].

Дизъюнкция (логическое сложение) – функция f₇(х₁,х₂), которая истинна тогда, когда истинны или х₁, или х₂, или обе переменные.

Дизъюнкцию часто называют также функцией или и условно обозначают так:

f₇(х₁,х₂)=х₁+х₂= х₁? х₂.

От дизъюнкции следует  отличать функцию f₆(х₁,х₂), которая называется функцией сложения по модулю 2 (функцией исключительное ИЛИ) и является истинной, когда истинны или х₁, или х₂ в отдельности. Условное обозначение этой функции:

f₆(х₁, х₂)=₁?₂.

Конъюнкция (логическое умножение) – функция f₁(х₁,х₂), которая истинна только тогда, когда и х₁, и х₂ истинны. Конъюнкцию часто называют также функцией И; условно обозначают так:

f₁(х₁,х₂)=х₁&х₂= х₁? х₂.

Пример. Имеются два  высказывания: "Завтра будет холодная погода", "Завтра пойдет снег". Дизъюнкция этих высказываний – новое  высказывание "Завтра будет холодная погода или пойдет снег". Соединительный союз, который образовал новое предложение, – ИЛИ. Конъюнкция образуется следующим образом: "Завтра будет холодная погода и пойдет снег". Это высказывание образовано с помощью союза И.

Штрих Шеффера – функция f₁₄(x₁,x₂), которая ложна только тогда, когда х₁ и х₂ истинны. Условное обозначение функции Шеффера:

f₁₄(x₁,x₂)=х₁/х₂.

Немецкий математик Д. Шеффер на основе этой функции создал алгебру, названную алгеброй Шеффера.

Функция Пирса (Вебба) – функция f₈(х₁,х₂), которая истинна только тогда, когда х₁ и х₂ ложны. Условное обозначение этой функции:

f₈(х₁, х₂)=х₁?х₂.

Математики Ч.Пирс и Д.Вебб, независимо друг от друга изучавшие свойства этой функции, создали алгебру, названную  алгеброй Пирса (Вебба).

Импликация – функция f₁₃(x₁, х₂), которая ложна тогда и только тогда, когда х₁ истинно и х₂ ложно. Условное обозначение:

f₁₃(х₁, х₂)=х₁?х₂.

Две функции равносильны друг другу, если принимают на всех возможных  наборах переменных одни и те же значения:

f₁(x₁,x₂,...x_n)= f₂(x₁,x₂,...x_n).

Булевы переменные могут  быть действительными или фиктивными. Переменная х_i действительна, если значение функции f(x₁,...x_i,...x_n) изменяется при изменении х_i. Переменная х_i фиктивна, если значение функции f(x₁,...x_i,...x_n) не изменяется при изменении х_i.

Переменные х₁ и х₂ – действительные, а переменная х₃ – фиктивная, так как f(х₁,х₂,0)= f(х₁,х₂,1) для всех наборов х₁, х₂.

Использование фиктивных  функций дает возможность сокращать  или расширять количество переменных для логических функций.

Так как число значений переменных х_i ограничено, то можно определить количество функций N от любого числа переменных n: N равно 2 в степени 2ⁿ.

Рассмотрим некоторые  практические примеры использования  алгебры логики.

Пример. Предположим, что  имеется система кондиционирования воздуха для помещения, где установлена ЭВМ, состоящая из двух кондиционеров малой и большой мощности и работающая при таких условиях: кондиционер малой мощности включается, если температура воздуха в помещении достигает 19°С , кондиционер большой мощности включается, если температура воздуха достигает 22°С (малый кондиционер при этом отключается), оба кондиционера включаются при температуре воздуха 30° С.

Пусть информация о температуре  воздуха поступает от датчиков, которые  срабатывают при достижении температуры соответственно 19, 22, 30°С. Каждый из этих датчиков выдает входную информацию для устройства управления кондиционерами. Первые три датчика определяют рабочие режимы, и их можно представить как входы управляющего автомата.

Впервые теория Дж. Буля была применена П.С. Эренфестом к анализу контактных цепей (1910). Возможность описания переключательных схем с помощью логических формул оказалась весьма ценной по двум причинам. Во-первых, с помощью формул удобнее проверять работу схем. Во-вторых, задание условий работы любой переключательной схемы в виде формул упрощает процесс построения самой переключательной схемы, так как оказалось, что существует ряд эквивалентных преобразований, в результате которых логические формулы упрощаются. При описании переключательных схем замкнутое состояние контакта принимается за истинное высказывание, а разомкнутое – за ложное, поэтому последовательное соединение контактов можно рассматривать как функцию И, а параллельное – как функцию ИЛИ.

Использование логических функций оказалось особенно полезным для описания работы логических элементов ЭВМ.

 

2. Основные логические операции

 

Операторы в программе-обработчике  событий выполняются в той  последовательности, в которой они  записаны. Однако достаточно часто  требуется изменить порядок выполнения операторов в зависимости от выполнения (или невыполнения) определенного условия. Существуют управляющие конструкции, предназначенные для управления порядком выполнения операторов. Основанием для принятия решений в управляющих операторах является истинность или ложность условного (логического) выражения.

Условные выражения  — это такие выражения, которые  возвращают одно из двух значений True (Истина) или False (Ложь). Простые логические выражения  содержат операции отношения (операции сравнения): = (равно), > (больше), < (меньше), <> (не равно), >= (больше или равно), <= (меньше или равно). Сложные логические выражения строятся из простых логических выражений и логических операций, примененных к ним.

Таблица 1- A и B – логические выражения

№	Операция	Обозначение	Истолкование
1	Отрицание (инверсия)	not A	Не А;  Неверно, что А
2	Конъюнкция (логическое произведение, логическое И)	А and В	А и В;  А, но В;  А, а В;  как А, так и В;  А вместе с В;  А в то время, как В
3	Дизъюнкция (логическое сложение, логическое ИЛИ)	А or В	А или В;  А или В или оба
4	Дизъюнкция (исключающее  ИЛИ)	А xor В	А либо В;  А или В, но не оба

 

1.3 Приоритеты выполнения логических операций в логических выражениях

1. Отрицание (not)
2. Логическое произведение (and)
3. Логическое сложение (or), исключающее или (xor)

Скобки меняют порядок выполнения операций.

Таблица 2 - Истинности для основных логических операций

А	В	Not A	A and B	A or B	A xor B
False	False	True	False	False	False
False	True	True	False	True	True
True	False	False	False	True	True
True	True	False	True	True	False

Условные операторы  предназначены для выбора на исполнение одного из возможных действий (операторов) в зависимости от некоторого условия, при этом одно из действий может  отсутствовать.

Выбор действия в зависимости от выполнения условия может быть реализован при помощи оператора IF.

Оператор  условия If

Различают два типа условных операторов: If…Then и If…Then…Else.

Конструкция If…Then применяется, когда  необходимо выполнить определенные действия только в том случае, если значение некоторого условия равно «истина». 

Синтаксис оператора If…Then 

If <условие> Then < Инструкция  для обработки истинного условия  >

Вначале вычисляется значение условия (выражения логического типа), и  если значение условия равно «истина» выполняется инструкция следующая за словом Then.

Если в результате выполнения условного  оператора должно выполняться 2, 3 или  более инструкций, то необходимо использовать составной оператор.

Синтаксис составного оператора

Begin

Оператор1;

Оператор2;

End;

Пару Begin…End часто называют операторными скобками и в программе для наглядности записывают на одном уровне (End под соответствующим ему Begin). Внутри одного составного оператора может находиться другой составной оператор.

Синтаксис оператора If…Then…Else:

If условие Then 
<Инструкция для обработки истинного условия > 
Else 
< Инструкция для обработки ложного условия>  

 

Оператор If…Then…Else выполняется  следующим образом:

1.      Вычисляется значение условия (выражения логического типа).

2.      Если значение условия равно «истина», то выполняется инструкция  следующая за словом Then. Если значение условия равно «ложь», то выполняется инструкция следующая за словом Else.

Оператор Case

Оператор Case позволяет  реализовать множественный выбор. Переход организуется на одну их ветвей в зависимости от значения заданного выражения (селектора выбора).

Оператор Case  существует также в двух вариантах:

Case k of

A1: <инструкция1>; 
A2: <инструкция2>; 
……… 
AN: <инструкцияN>;

End;

и

Case k of

A1: < инструкция 1>; 
A2: < инструкция 2>; 
………………………. 
AN: < инструкция N> 
Else  
< инструкция, выполняемая в случае, если значение выражения 
не попало ни в один из списков констант A1, A2, …,AN>