Параметрический анализ

Содержание

Введение………………………………………………………………………….3

Понятие параметрического анализа……………………………………………6

Статистические методы в  параметрическом анализе…………………………7

Список литературы…………………………………………………………….15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение 

Параметрический анализ системы  управления является одним из основных этапов ее проектирования.

Общая методология этого  процесса соответствует принципам  проектирования и, в частности, понятиям типовых проектных процедур которые, как известно, делятся на процедуры  синтеза и анализа.

Процедуры синтеза заключаются  в создании описаний проектируемых  объектов. В таких описаниях отображаются структура и параметры объекта  и соответственно существуют процедуры  структурного и параметрического синтеза. Под структурой объекта понимают состав его элементов и способы  связи элементов друг с другом. Параметр объекта—величина, характеризующая  некоторое свойство объекта или  режим его функционирования. Примерами  процедур структурного синтеза служат синтез структурной схемы с корректирующими  устройствами (структура которой  выражается перечнем входящих в нее  звеньев и их соединений) или синтез алгоритма (его структура определяется составом и последовательностью  операторов). Процедура параметрического синтеза заключается в расчете  значений параметров элементов при  заданной структуре объекта, например коэффициентов корректирующих устройств.

Процедуры анализа заключаются  в исследовании проектируемого объекта  или его описания, направленном на получение полезной информации о  свойствах объекта. Цель анализа  — проверка работоспособности объекта.

Второй методологической основой анализа систем управления являются понятия одновариантного  анализа и многовариантного анализа, также введенное в общую теорию проектирования. Задачи, в которых  исследование свойств объекта сводится к однократному решению уравнений  модели при фиксированных значениях  внутренних и внешних параметров, называются задачами одновариантного  анализа. Задачи, требующие многократного  решения уравнений модели при различных значениях внутренних и внешних параметров, называются задачами многовариантного анализа.

Еще одно понятие из общей  теории проектирования – это анализ чувствительности, который заключается  в расчете коэффициентов чувствительности выходных параметров yi к изменениям параметров элементов (или внешних  параметров) xi. Различают абсолютный и относительный коэффициенты чувствительности:

где и —номинальные значения параметров и соответственно.

В качестве объекта параметрических  исследований возьмем систему автоматического  управления.

Система автоматического  управления (САУ)– совокупность объекта  управления и управляющей подсистемы (системы), подчиненных общей цели управления.

Цель управления процессом  или объектом – конечный технический  или экономический результат, который  может быть достигнут системой управления на отдельном временном интервале  ее нормального функционирования.

Более узким классом САУ  является система автоматического  регулирования.

Система автоматического  регулирования (САР)- класс систем автоматического  управления: активная динамическая система, стремящаяся сохранять в допустимых пределах отклонение между требуемым  и действительным изменениями регулируемой переменной при помощи их сравнения  на основе принципа обратной связи  и использования получающегося  при этом сигнала для управления источником энергии. Такие системы  с обратной связью имеют не только прямую связь между входом (входным управляющим воздействием или управлением) и выходом (регулируемой переменной) но и обратную связь между выходом и входом, служащая для сравнения этих величин (определения сигнала ошибки). Если ввести систему отсчета, то говорят об отклонении регулируемой величины - разности между значением регулируемой величины в данный момент времени и некоторым фиксированным значением, принятым за номинальное или начало отсчета. Сигнал главной обратной связи - сигнал, который поступает с выхода системы на ее вход. Сигнал ошибки - разность между входным сигналом и сигналом главной обратной связи. В зависимости от характера изменения входного (задающего) управляющего воздействия САР подразделяются на три основных типа:

- системы автоматической  стабилизации (собственно системы  автоматического регулирования) - системы,  в которых управляющие воздействия  представляют собой заданные  постоянные величины (уставки);

- системы программного  регулирования - системы, в которых  управляющие воздействия являются  известными функциями времени  (изменяются по программе);

- следящие системы - системы,  в которых задающие воздействия  представляют собой заранее неизвестные  функции времени.

Специфика задачи параметрического анализа систем управления состоит  в использовании специальных  методов, соответствующих структурам и технической реализации таких  систем. К ним можно отнести  исследование области устойчивости систем с помощью аппарата D- разбиения, анализа чувствительности систем, представленных в пространстве состояний и в  частотной области. Оценка робастности  систем и использование метода корневого  годографа также активно используются при проектировании систем управления.

В представленном электронном  пособии наряду с вышеперечисленными методами исследования систем управления рассмотрены также общие методики. К ним относятся организация  исследований на равномерной и равномерно распределенной сетках, применение аппарата визуализации и построение графического интерфейса пользователя и др.

Сквозной пример, используемый для иллюстраций и практических заданий, основан на исследовании следящего  привода на базе двигателя постоянного  тока.

При изложении методик  исследований нами будет использоваться понятие алгоритм - точное предписание  действий над входными данными, задающее процесс, направленный на преобразование произвольных входных данных из множества  допустимых для данного алгоритма  входных данных в полность определяемый этими входными данными результат.

Понятие параметрического анализа

Понятие параметрический  анализ объединяет несколько терминов, используемых в проектировании систем:

анализ - определение свойств выходных параметров и характеристик проектируемого объекта при известных структуре объекта и числовых значениях параметров его элементов.,

одновариантный  анализ - проектная процедура, заключающаяся в определении вектора выходных параметров исследуемого объекта и/или установившихся значений фазовых переменных, или их зависимостей от времени при заданных значениях внутренних и внешних параметров

многовариантный анализ, - проектная процедура, сводящаяся к многократному выполнению одновариантного анализа

критерии оптимальности - правило, по которому осуществляется оценка качества сравниваемых альтернатив (в частности, проектных решений)

Исходя из вышеперечисленных  определений, предлагается следующая  формулировка:

параметрический анализ системы - это многовариантный анализ, направленный на изучение влияния внешних и  внутренних параметров системы на качество ее функционирования, определяемое с  помощью прямых и косвенных критериев  качества, конечной целью которого является выявление областей в пространстве параметров, обеспечивающих приемлемое качество системы. При этом выдвигается  требование вычислительной эффективности  процедур реализации параметрического анализа.

Приведенной обзор оценок качества позволяет выделить две  группы задач анализа качества систем: устойчивость системы – показатель, носящий качественный характер, который  количественно оценивается с  помощью запаса устойчивости, и количественные прямые и косвенные оценки поведения  динамической системы.

Параметрический анализ систем предполагает проведение исследований влияния параметров системы на указанные  группы их свойств.

Статистические  методы в параметрическом анализе

Необходимость использования  статистических методов в параметрическом  анализе связано с двумя классами проблем.

Во первых, базовые методы параметрического анализа систем предполагают детерминированную постановку задачи, т.е. модели объекта и системы  управления известны и параметры  их постоянны. Процессы в реальной системе  отличаются от указанных моделей, а  именно:

- изменение параметров  системы относительно используемых  в модели при проектировании;

- наличие неизвестных  или неучитываемых для простоты  моделирования динамических эффектов;

- наличие эффектов запаздывания (временной задержки);

- изменение положения  рабочей точки системы, которую  принимали как условие проектирования;

- шумы измерительных систем;

Далее используется понятие  неопределенности параметров модели -наличие  случайной составляющей в значении параметра модели системы автоматического  управления.

Выделяют два типа неопределенности модели: внешнюю и внутреннюю.

В простейшем случае, если не известен закон распределения случайной  составляющей, рассматривают неопределенность через задание диапазона изменения  рассматриваемой величины, который  можно оценить, например, с помощью  допусков на изготовление элементов  системы, диапазона изменения внешних  факторов, например, ветровых нагрузок в данном регионе и т.п.

В более общем случае в  связи с фактором неопределенности параметров системы имеется необходимость  использования статистических методов  в параметрическом анализе.

В связи с разделением  неопределенных параметров на внешние  и внутренние, можно выделить задачу статистического моделирования  входных воздействий на систему (внешних параметров) и статистический анализ влияния вариаций внутренних параметров модели на качество ее функционирования.

Первый класс задач  параметрического анализа в статистической постановке может быть описан как  анализ в условиях параметрической  неопределенности

Во-вторых, в процессе многовариантного анализа ставится задача повышения  его эффективности с точки  зрения выявления областей параметров, в которых система обладает приемлемым качеством. В этом смысле задача параметрического анализа приближается к задаче оптимизации. Наиболее близкими при этом являются такие методы оптимизации, как прямой поиск и случайный поиск.

Второй класс задач  параметрического анализа в статистической постановке может быть описан в связи  с этим как эффективный анализ.

Рассмотрим первый класс задач применительно к исследованию внешних параметров, например, исследование случайных воздействий на систему управления. Статистический анализ включает в себя вычисление математических ожиданий, дисперсий ошибок, корреляционных функций, спектральных плотностей и др. Важнейшие показатели качества, которые необходимо оценить в процессе этих исследований, это точность (ошибка) устойчивость и колебания системы.

Рассмотрим стационарную линейную систему с передаточной функцией

  (1)

Пусть на вход системы поступает  стационарный центрированный случайный  процесс x(t), имеющий спектральную плотность  Выходную переменную системы обозначим через y(t). Спектральная плотность реакции системы (1) на x(t) в установившемся режиме определяется по формуле:

  (ω) (2)

где квадрат модуля частотной  характеристики

|W(jω)|2=W(jω)W(-jω) (3)

 Дисперсия  выходной  переменной y(t) исследуемой системы:

|W(jω)|2Sx(ω)dω (4)

Если задана импульсная характеристика системы w(t), тогда формула для  определения дисперсии получается из формулы для корреляционной функции  случайного процесса y(t) на выходе исследуемой системы. Дополнительно используется информация о корреляционной функции входного процесса

  (5)

В процессе моделирования  решается также задача получения  стационарного случайного процесса с дробно-рациональной спектральной плотностью

, где

  (6)

Известно, что такой стационарный случайный процесс x(t) может быть получен из белого шума ξ(t) с корреляционной функцией и спектральной плотностью вида:

(τ),

Процесс получается как реакция  системы с передаточной функцией, называемой формирующим фильтром:

Если рассмотреть систему  с двумя последовательно соединенными передаточными функциями: формирующим  фильтром и собственно объектом исследования, т.е.

(9)

и определить импульсную характеристику этой объединенной системы ŵ(t), тогда  формула для дисперсии исследуемой  системы будет иметь вид:

Рассмотрим первый класс задач применительно к исследованию внутренних параметров

Пусть дана непрерывная система  управления со случайными (неопределенными) параметрами. Природа неопределенностей  указана выше, например вследствие допусков на изготовление отдельных  элементов или изменения их свойств  в процессе работы. Случайные параметры  в систему, даже линейную относительно переменных, входят мультипликативно с этими переменными. В нелинейную систему они входят еще более  сложным образом, поэтому любая  система со случайными параметрами  является нелинейной.

Один из способов исследования таких систем заключается в статистической линеаризации по статистическому ансамблю.

Для линейной системы управления, описываемой уравнением

A

полиномы относительно переменной Лапласа s A и B имеют случайные параметры (коэффициенты) . Кроме того, входное воздействие x также состоит из полезного неслучайного сигнала f(t) и стационарной случайной помехи n(t)

u(t)=f(t)+n(t) (12)

Случайные параметры представляются в виде суммы математического  ожидания (номинальной величины) и и центрированной случайной составляющей ac c дисперсией  и центрированной случайной составляющей c дисперсией  соответственно.