Построение генератора случайного процесса с заданными характеристиками

Автономная Некоммерческая Организация

Высшего Профессионального Образования

 

СМОЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ОБРАЗОВАНИЯ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВая  работа

 

 

по учебной дисциплине:   Моделирование систем    

 

на тему:   Построение генератора случайного процесса с заданными характеристиками

 

 

 

 

Студентки: Рожковой Виктории   

 

группы  112И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2015 г.

 

Реферат

Пояснительная записка состоит из _ страниц, содержит 1 приложение. При написании работы использовалось _ источника.

Ключевые слова: ГЕНЕРАТОР СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА, МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ.

Цель работы: построить генератор случайного процесса с заданными характеристиками.

Результат работы: в данной работе был построен генератор случайного процесса с заданными характеристиками.  
Оглавление

 

 

 

Введение

Необходимо построить программный генератор случайного процесса с заданными характеристиками для имитационного моделирования динамической системы.

Моделирование предполагается проводить путем решения на ЦВМ системы дифференциальных уравнений численным методом с шагом h=0,001.

Расчеты, преобразования и моделирование производится в пакете Mathcad.

Требуется обеспечить заданную одномерную ПРВ случайного процесса F(z)=2-2z (0 ≤ z ≤ 1) и корреляционную функцию вида К(t)=De-at c заданным коэффициентом а=4, используя метод формирующего фильтра.

Оценить соответствие полученных характеристик заданным, использую критерий согласия Пирсона.

Оценку получаемого закона распределения и корреляционной функции проводить после каждого этапа преобразования процесса. Рекомендуемый объем выборки – не менее 500.

 

1. Получение исходной выборки

Была получена реализация стационарного белого шума в виде последовательности псевдослучайных чисел, воспроизведенных в интервале от 0 до 1 с равномерным распределением. Объем выборки Х равен 500.

Математическое ожидание рассчитывается по формуле:

 

где,    n- объем выборки,

x- псевдослучайное число.

После вычисления было получено значение Мх= 0,5.

Дисперсия рассчитывается по формуле:

 

где,   n- объем выборки,

x- псевдослучайное число,

Mx- математическое ожидание.

После вычисления этой формулы был получен результат Dx =0,08.

 

2. Проверка закона распределения полученной выборки.

Для оценки соответствия полученной выборки требуемому закону распределения был использован критерий согласия Пирсона.

Выборка разбивается на 30 интервалов. Длина каждого интервала вычисляется по формуле:

 

Где m – количество интервалов, xmax и xmin- соответственно максимальный и минимальный элементы выборки Х.

В качестве меры расхождения теоретического и выборочного законов используется величина:

 

Вероятность P=P(X2 ≤ Xq2) является функцией Xq2 и числа степеней свободы распределения Х2. Обозначим ее r=m-S-1, где S – количество параметров теоретического закона, оценивавшихся по выборке.

СКРИН

Рис. 1 – Выборочная и требуемая плотности распределения вероятностей исходной выборки.

В результате оценки критерия согласия были получены значения Xq2=41,1; P=0,05: X2=30,9. Гипотеза о соответствии закона распределения принимается.

 

3. Расчет корреляционной функции.

Для дальнейшего анализа полученной выборки необходимо получить корреляционную функцию:

 

где, n- объем выборки,

x- псевдослучайно число

Md- математическое ожидание

j-количество точек

СКРИН

 

Рис. 2 – Корреляционная функция реализация стационарного белого шума.

Полученный график корреляционной функции имеет близкие к теоретическим (нулевым) значениям корреляционной функции стационарного белого шума.

 

4. Изменение корреляционной функции выборки с использованием метода формирующего фильтра.

 

Проверка закона распределения после формирующего фильтра.

Метод формирующего фильтра основан на использовании  закономерностей преобразования линейным динамическим звеном спектральной плотности случайного сигнала описываемых соотношениями. Если на вход динамического звена поступает белый шум со спектральной плотностью, спектральная плотность выходного сигнала будет определяться через частоту передаточную функцию звена следующим образом:

 

 Формирующий  фильтр – это динамическое  звено, обеспечивающее получение  требуемых корреляционных свойств  выходного сигнала.

Модель случайного процесса с заданной корреляционной функцией можно построить на основе формирующего фильтра, используя в качестве его входного сигнала белый шум. Необходимая передаточная функция формирующего фильтра определяется из соотношения:

 

где,

 

Используя полученное выражение, был построен формирующий фильтр. После преображения с помощью фильтра функции распределения приняла вид (рис.3):

СКРИН

5. В результате оценки критерия согласия были получены значения Xq2=41,1; P=0,05: X2=29,2.  
   Расчет корреляционной функции.

Полученная выборка была рассмотрена как реализация с шагом h=0,001 непрерывного случайного процесса. Рассчитана корреляционная функция при t=[0,3/α] и представлена в виде графика (рис. 4):

СКРИН!!!

Рис.4 – Корреляционная функция.

Полученная корреляционная функция соответствует требуемой.

 

6. Изменение закона распределения выборки

Изменение закона распределения выборки методом обратных функций.

Метод обратных функций, обеспечивающий получение заданного закона распределения, основан на основании известного результата теории вероятностей: независимо от вида непрерывного закона распределения при известных его ПРВ f(x) и ФРВ, функция F(х) случайная величина и распределена по равномерному закону в интервале [0, 1].

Для преобразования исходного закона распределения необходимо найти требуемую функцию распределения из ПРВ.

 

 

После преобразования методом обратных функций получено выражение:

 

 

 

7. Проверка закона распределения после метода обратной функции.

Используя полученное соотношение, строится график плотности распределения вероятностей:

СКРИН!!!!!

В результате оценки критерия согласия были получены значения Xq2 = 41,1; P=0,05; X2=32,85. Гипотеза о соответствии закона распределения принимается.

График корреляционной функции принял вид:

СКРИН!!!

Полученная корреляционная функция имеет близкие значения к требуемой.

 

Заключение

В результате работы на основе стандартного генератора случайных чисел был построен генератор, пригодный для работы,  соответствующий  требуемым теоретическим зависимостям.

Данные наблюдения согласуются с выдвинутой гипотизой.

 

Список используемых источников

 

1. Макаров Е.Г.- Самоучитель MathCad 14.- Новый диск, 2008 г.
2. Емельянов В.Ю. – Методы исследования стохастических систем управления.- СПб: БГТУ, 2004 г.
3. Чистяков В.П. – Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1987 г.

 

Приложение

 

h:=0.001

n:=500

i:=1..n

Xi:=rnd(1)

 

Md= 0,509

 

Dx=0,086

L:= round(1+3.222*log(n))

L:=12

i:=0..L-1

P:=hist(L,X)

 

 

 

 

a:=4

h:=0.001