Применение алгебры, логики в информатике

       Схемная реализация элементарных логических операций. 

 Любую достаточно  сложную функцию можно реализовать,  имея относительно простой набор  базовых логических операций. Первоначально  были разработаны и выпускались  микросхемы, соответствующие основным  логическим действиям. Потребитель,  комбинируя имеющиеся в его  распоряжении элементы, мог получить  схему с реализацией необходимой  логики. Но подобное «строительство  здания из отдельных кирпичиков»  не может удовлетворить практические  потребности. Промышленность начала  выпускать более сложные узлы: триггеры, регистры, счетчики, дешифраторы,  сумматоры и др. новые микросхемы  давали возможность реализовать  ещё более сложные электронные  логические устройства. Последовал  переход к большим интегральным  схемам (БИС), представлявшим из себя  функционально законченные узлы, а не отдельные компоненты  для их создания. Наконец, дальнейшая  эволюция технологий производства  ИМС привела к настолько высокой  степени интеграции, что в одной  БИС содержалось функционально  законченное изделие: часы, калькулятор,  небольшая специализированная ЭВМ…  

 Если посмотреть  на внутреннее устройство современного  компьютера , то там присутствуют  ИМС очень высокого уровня  интеграции: микропроцессор, модули  ОЗУ, контроллеры внешних устройств и др. фактически каждая микросхема или небольшая группа микросхем образуют функционально законченный блок.

Обработка информации в ЭВМ происходит путём последовательного  выполнения элементарных операций. Эти  операции менее многочисленны, нежели набор команд ЭВМ. К элементарным операциям относятся: установка – запись в операционный элемент (например, регистр) двоичного кода; приём – передача (перезапись) кода из одного элемента в другой; сдвиг – изменение положения кода относительно исходного; преобразование – перекодирование; сложение – арифметическое сложение целых двоичных чисел и т.д. Для выполнения каждой из этих операций сконструированы электронные узлы, являющиеся основными узлами вычислительных машин – регистры, счётчики, сумматоры, преобразователи кодов и т.д. 

В основе каждой из элементарных операций лежит некоторая  последовательность логических действий. Проанализируем, например, операцию сложения двух чисел: 3 и 6. Имеем:                                                 

011                            

                    +110               

                                  1011 

 На каждом  шаге этой деятельности двум  двоичным цифрам сопоставляется  двоичное число (одно- или двузначное) по правилам: (0,0)   0, логической  бинарной функцией. Если дополнить это логическим правилом переноса единицы в старший разряд, то сложение полностью сведётся к цепочке логических операций.  

 Для дальнейшего  рассмотрения необходимо знать  условные обозначения базовых  логических элементов.              

 Условные обозначения основных логических элементов. 

 

 

          И                    ИЛИ НЕ И-НЕ        исключающее                                                                                                     

 ИЛИ 

Простейшие логические элементы, изображённые выше, можно реализовать аппаратно. Это означает, что можно создать электронные устройства на транзисторах, резисторах и т.п., каждый из которых имеет один или два входа для подачи управляющих напряжений и один выход, напряжение на котором определяется соответствующей таблицей истинности. На практике логическому «да» («истина», или цифра 1 в таблицах истинности) соответствует наличие напряжения, логическому «нет» («ложь», или цифра 0) – его отсутствие. 

 Чтобы ответить  на вопрос: как с помощью таких элементарных схем реализовать сложные цифровые устройства, в качестве характерных устройств выберем два наиболее важных – триггер и сумматор. Триггер – основа устройств оперативного хранения информации; сумматор служит для сложения чисел.   

 Простейший вариант  триггера собирается из четырёх  логических элементов И-НЕ, причём два из них играют вспомогательную роль. Триггер имеет два входа, обозначенные на схеме R и S, а также два выхода, помеченные буквой Q – прямой и инверсный (черта над Q у инверсного выхода означает отрицание). Триггер устроен таким образом, что на прямом и инверсном выходах сигналы всегда противоположны. 

Как же работает триггер? Пусть на входе R установлена 1, а на S – 0.логические элементы D1 и D2 инвертируют эти сигналы, т.е. меняют их значения на противоположные. В результате на вход элемента D3 поступает 1, а на D4 – 0. Поскольку на одном из входов D4 есть 0, независимо от состояния другого входа на его выходе (он является инверсным выходом триггера) обязательно установится 1. Эта единица передаётся на вход элемента D3 и в сочетании с 1 на другом входе порождает на выходе D3 логический 0. Итак, при R=1 и S=0 на прямом выходе триггера устанавливается 0, а на инверсном – 1.                             

 

 

                                               Логическая схема триггера.                                

 

 

  
  
                   

 Таблица  истинности RS-триггера.

Обозначение состояния  триггера по договорённости связывается  с прямым выходом. Тогда при описанной выше комбинации входных сигналов результирующее состояние можно условно назвать нулевым: говорят, что триггер «устанавливается в 0» или «сбрасывается. Сброс по-английски называется «Reset», отсюда вход, появление сигнала на котором приводит к сбросу триггера, обычно обозначают буквой R. 

 Проведя  аналогичные рассуждения для  «симметричного» случая R=0 и S=1, мы увидим, что на прямом выходе получится логическая 1, а на инверсном – 0. триггер перейдёт в единичное состояние – «установится» (установка по-английски «Set»). 

 Теперь рассмотрим  наиболее интересную ситуацию  R=0 и S=0 – входных сигналов нет. Тогда на входы элементов D3 и D4, связанные с R и S, будет подана 1 и их выходной сигнал будет зависеть от сигналов на противоположных входах. Такое состояние будет устойчивым. Пусть, например, на прямом выходе 1. Тогда наличие единиц на обоих вводах элемента D4 «подтверждает» нулевой сигнал на его выходе. В свою очередь, наличие 0 на инверсном выходе передаётся на D3 и поддерживает его выходное единичное состояние. Аналогично доказывается устойчивость картины и для противоположного состояния триггера, когда Q=0. 

 Таким образом,  при отсутствии входных сигналов  триггер сохраняет своё «предыдущее»  состояние. Иными словами, если на вход R подать 1, а затем убрать, триггер установится в нулевое состояние и будет сохранять его, пока не поступит сигнал на другой вход S. В последнем случае он перебросится в единичное состояние и после прекращения действия входного сигнала будет сохранять на прямом выходе 1. Из выше сказанного видно, триггер обладает замечательным свойством: после снятия входных сигналов он сохраняет своё состояние, а значит может служить устройством для хранения одного бита информации. 

 В заключение  проанализируем последнюю комбинацию  входных сигналов: R=1 и S=1. В этом случае на обоих выходах триггера установится 1! Такое состояние помимо своей логической абсурдности ещё и является неустойчивым: после снятия входных сигналов триггер случайным образом перейдёт в одно их своих устойчивых состояний. Вследствие этого, комбинация R=1 и S=1 никогда не используется на практике и является запрещённой. 

 Мы рассмотрели  простейший RS- триггер. Существуют и другие разновидности этого устройства. Все они различаются не столько принципом работы, сколько входной логикой, усложняющей «поведение» триггера. 

 Триггеры  очень широко применяются в  вычислительной технике. На их  основе изготовляются всевозможные  регистры для хранения и некоторых  видов обработки двоичной информации, счётчики импульсов, интегральные микросхемы статистического ОЗУ, не требующие для сохранения информации специальных процессов регенерации. Множество триггеров входят в состав любого микропроцессора. 

 В качестве  второго примера применения логических  элементов в вычислительной технике рассмотрим устройство, называемое сумматором. Его назначение состоит в нахождении суммы двух двоичных чисел. Этот узел лежит в основе арифметического устройства ЭВМ и иллюстрирует некоторые принципы выполнения вычислительных операций в компьютере.  

 Начнём с изучения  логической структуры простейшего  возможного устройства, являющегося  звеном сумматора. Это устройство  – полусумматор – реализует  сложение двух одноразрядных  двоичных чисел, которые обозначим А и В. В результате получается двухразрядное двоичное число. Его младшую цифру обозначим S, а старшую, которая при сложении многоразрядных чисел будет перенесена в старший разряд, через С0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                   Практическая часть. 
 
В бухгалтерии предприятия «Гамма» производится расчёт налоговых вычетов, предоставляемых сотрудникам, и формирование платёжных ведомостей. Данные для выполнения расчёта налоговых вычетов приведены . Стандартный налоговый вычет предоставляется каждому сотруднику в размере 400 руб. до тех пор, пока совокупный доход  с начала года не превысит 50 000 руб., налоговый вычет на ребёнка предоставляется в размере 600 руб. НДФЛ – налог на доходы физических лиц (13%) рассчитывается с начисленной суммы за минусом размера налогового вычета. 
 
1.  Построить таблицы по приведённым ниже данным. 
2. Выполнить расчёт размера налогового вычета, предоставляемого сотрудникам в текущем месяце, результаты вычислений представить в виде таблицы. 
3.  Сформировать и заполнить форму расчётной ведомости по заработной плате за текущий месяц. 
 
4. результаты расчёта заработной платы за текущий месяц представить в графическом виде. 
 
Решение 
 
Программа Microsoft Excel  предназначена для работы с таблицами данных, преимущественно числовых. При формировании таблицы выполняют ввод, редактирование и форматирование текстовых и числовых данных, а также формул. Созданная таблица может быть выведена на печать. 
 
Документ Excel называется рабочей книгой, которая представляет собой набор рабочих листов, каждый из которых имеет табличную структуру и может создать одну или несколько таблиц. В окне документа программы Excel отображается только текущий рабочий лист, с которым и ведётся работа. Каждый рабочий лист имеет название, которое отображается на ярлычке листа, отображаемом в его нижней части. С помощью ярлычков можно переключаться к другим рабочим листам, входящим в ту же самую рабочую книгу. Чтобы переименовать рабочий лист, надо дважды щёлкнуть на его ярлычке. 
 
Рабочий лист состоит из строк и столбцов. Столбцы озаглавлены прописными латинскими буквами, строки последовательно нумеруются цифрами. 
 
На пересечении столбцов и строк образуются ячейки. Они являются минимальными элементами для хранения данных. Обозначение отдельной ячейки сочетает в себе номера столбца и строки (в этом порядке), на пересечение которых она расположена, например: A1; D5 и т.д.обозначение ячейки выполняет функцию её адреса. Адреса ячеек используются при записи формул, определяющих взаимосвязь между значениями, расположенными в разных ячейках. 
 
Вычисления в таблицах программы Excel осуществляется при помощи формул. Правило использования формул состоит в том, что, если значение ячейки действительно зависит от других ячеек таблицы, всегда следует использовать формулу, даже если операцию легко выполнить «в уме». Это гарантирует, что последующее редактирование таблицы не нарушит её целостности и правильности производимых в ней вычислений. 
 
В программе Excel термин диаграмма используется для обозначения всех видов графического представления числовых данных. Построение графического изображения производится на основе ряда данных. Так называют группу ячеек с данными в пределах отдельной строки или столбца. На одной диаграмме можно отображать несколько рядов данных. 
 
Диаграмма представляет собой вставной объект, внедрённый на один из листов рабочей книги. Она может располагаться на том же листе, на котором находятся данные, или на любом другом. Диаграмма сохраняет связь с данными, на основе которых она построена, и при обновлении этих данных изменят свой вид.  
 
Для построения диаграммы используется Мастер диаграмм. На первом этапе работы Мастера выбирают форму диаграммы. (Допустимые формы перечислены в списке Тип на вкладке Стандартные). После задания формы диаграммы следует щёлкнуть на кнопке Далее. Второй этап работы Мастера служит для выбора данных, по которым будет строиться диаграмма. Третий этап работы Мастера (после щелчка на кнопке Далее) состоит в выборе оформления диаграммы. На вкладках окна задаются: 
 
 -    название диаграммы, подписи осей (вкладка Заголовки); 
 
 -   отображение и маркировка осей координат (вкладка Оси); 
 
 -    отображение сетки линий, параллельным осям координат (вкладка Линии сетки); 
 
 -    отображение надписей, соответствующих отдельным элементам данных на графике (вкладка Подписи данных); 
 
-     представление данных, использованных при построении графика, в виде таблицы (вкладка Таблица данных). 
 
На последнем этапе работы Мастера указывают, следует ли использовать для размещения диаграммы новый рабочий лист. Это выбор важен для последующей печати документа. После щелчка на кнопке Готово диаграмма строится автоматически и вставляется в указанный рабочий лист. 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                        Список используемой литературы. 
 
1.     Н. Д. Угринович: Информатика и информационные технологии.Учебник/ 3-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний,2006.,511 стр. 
2.     И. Г. Семакин: Информатика. Базовый курс. – 2-е изд., испр. и доп. – М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003.,390 стр. 
3.     А. В. Шилейко, Т. И. Шилейко: Беседы об информатике. – М.: Мол. гвардия, 1989.,287 стр. 
4.     В.А. Острейковский: Информатика: Учеб. пособие для студ. сред. спец. учеб. заведений  - М.: Высш. шк., 2003, 319 стр.  
5.     Могилёв А. В.: Информатика. Учеб пособие для пед. вузов. – М.: 1999.,816. 
6.     В. А. Каймин. Информатика: Учебник – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2002, 272 с.