Программирование алгоритмов на примере численных методов

Данная функция является универсальной для подсчета определителя матрицы любого размера при выполнении условия метода Крамера, что первый левый член матрицы не равен 0.

 

5.3 Модуль 3 (процедура pr)

Процедура pr является внешне самой простой из приведенных выше нестандартных процедур. Так как просто производит вычисление суммы всех значений в контрольных точках, и полученный результат умножается на h равной половине разности конечного значения и начального. Процедура имеет свои внутренние переменные (i,n-integer и x,s,a,b,h-real), три из которых получают свои значения, используя стандартные функции ввода-вывода. После чего начальному значению суммы присваивается значение 0, и вычисляется шаг вычисления h. Далее в цикле for производится вычисление значений аргумента и сумма значений функций в этих значениях.

Вычисленное значение суммы, умноженное на шаг вычислений, и будет значение интеграла по формуле прямоугольников. Выводимое значение процедуры на экран монитора имеет тип real. Далее процедура осуществляет проверку путем вычисления определенного интеграла методом Ньютона-Лейбница и сравнением его с полученным результатом. Процедура использует стандартные процедуры и функции (clrscr, write, read, writeln, readkey), стандартные операторы присвоения и цикл for.

 

 

 

6 ОПИСАНИЕ ИНТЕРФЕЙСА

Основная программа GLAV (использующая методы структурного программирования) работает следующим образом. Используя способ запроса, определяет дальнейший ход развития. При получении любого результата отличного от 1,2,3 вновь возвращается на начало программы. Тем самым, исключая возможность ошибочного ввода. При получении ответа соответствующего цифрам 1,2,3 передает управление одной из процедур описанных в не стандартных модулях пользователя. При этом выполнение главной программы практически заканчивается за исключением оператора выхода. Управление передается соответственно одному из модулей (модуль 1, модуль 2, модуль 3) или другими словами процедурам пользователя (polovin, kramer, pr)

 Каждый из перечисленных  модулей по сути своей представляет  отдельную программу, являющуюся  составной частью другой. Это  позволяет в зависимости от  выбора пользователя выполнить  тот или иной самостоятельный  модуль, входящий в главную программу.

При выборе 1 управление передается модулю 1 (процедура polovin ) выполнение которого приводит к выходу из программы.

Аналогично построены и два других модуля входящих в программу GLAV, за исключением того, что процедура kramer в ходe своего выполнения не однократно передает управление функции det, op являющейся неотъемлемой частью выше названной процедуры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Численный пример

 Все вышеперечисленное в данном курсовом проекте проиллюстрировано на конкретных примерах.

7.1 Задано алгебраическое уравнение x2-2ln(x+2)=0 с заданной точностью вычисления ε=10-4 , которые необходимо решить методом половинного деления.

Для этого первоначально берем произвольные значения х и рассчитываем для них значения функции у, которые сводим в таблицу 1.

Таблица 1. Данные для построения графика функции у=x2-2ln(x+2)=0

x	1	1,5	2
y	-1,19722	-0,25552	1,22742

Из таблицы 1, что корень уравнения лежит на отрезке от 1 до 2 , т. к. функция меняет знак на противоположный (в соответствие с методом половинного деления). График функции у= x2-2ln(x+2) представлен  на рисунке 1.

Рис. 1. График функции у= x2-2ln(x+2)

Результаты решения по методу половинного деления были полученные с помощью программы Exсel и сведены в таблицу 2.                                                                        
   

Таблица 2. Результаты расчета функции у= x2-2ln(x+2)по методу половинного деления.

 

Решением функции у= x2-2ln(x+2) по методу половинного деления являются значения х=1,6007 а данным значением ε=0,0001 и значением  функции     f(x)= - 0,000015 отрезке [1;2].

Результаты программного решения дают следующие значения.

a	b	c=(a+b)/2	f(a)	f(b)	f(c )	[a-b]
1	2	1,5	-1,19722	1,227411	-0,25553	-1
1,5	2	1,75	-0,25553	1,227411	0,418988	-0,5
1,5	1,75	1,625	-0,25553	0,418988	0,064916	-0,25
1,5	1,625	1,5625	-0,25553	0,064916	-0,09952	-0,125
1,5625	1,625	1,59375	-0,09952	0,064916	-0,01835	-0,0625
1,59375	1,625	1,609375	-0,01835	0,064916	0,023019	-0,03125
1,59375	1,609375	1,601563	-0,01835	0,023019	0,002267	-0,01563
1,59375	1,601563	1,597656	-0,01835	0,002267	-0,00806	-0,00781
1,597656	1,601563	1,599609	-0,00806	0,002267	-0,0029	-0,00391
1,599609	1,601563	1,600586	-0,0029	0,002267	-0,00032	-0,00195
1,600586	1,601563	1,601074	-0,00032	0,002267	0,000974	-0,00098
1,600586	1,601074	1,60083	-0,00032	0,000974	0,000328	-0,00049
1,600586	1,60083	1,600708	-0,00032	0,000328	5,14E-06	-0,00024
1,600586	1,600708	1,600647	-0,00032	5,14E-06	-0,00016	-0,00012
1,600647	1,600708	1,600677	-0,00016	5,14E-06	-7,6E-05	-6,1E-05
1,600677	1,600708	1,600693	-7,6E-05	5,14E-06	-3,5E-05	-3,1E-05
1,600693	1,600708	1,6007	-3,5E-05	5,14E-06	-1,5E-05	-1,5E-05

 

 

Таким образом, результаты расчета функции у= x2-2ln(x+2) по методу половинного деления полученные с помощью программы Exсel дают более точный результат.

 

 

7.2 Необходимо решить систему уравнений методом Крамера.

Для этого считает основной определитель матрицы:

 

Аналогично считаются определители матриц, которые получаются из А заменой 1-ого, 2-ого, …, n-ого столбца соответственно на столбец свободных членов. После этого решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера осуществляется по следующим формулам .

..

Определитель матрицы, полученный  заменой столбца х на столбец свободных членов, считается по формуле:

Определитель матрицы, полученный  заменой столбца у на столбец свободных членов, считается по формуле:

Определитель матрицы, полученный  заменой столбца z на столбец свободных членов, считается по формуле:

 

 

 

Находим значения х, у и z по формулам:

Проверка  результатов расчета  осуществляются подстановкой данных в систему уравнений:

 

Что дает абсолютно точный результат.

Результаты программного решения показывают также абсолютно точный результат.

7.3 Необходимо вычислить определенный  интеграл на отрезке [1,2] методом прямоугольников c заданным количеством шагов n=20 и точностью ε =10-4.

Для этого находим шаг изменения аргумента .

Отсюда x=n+(i+0,5)*h и считается для всех шагов n=20

X1=1+(1+0,5)*0,05=1,075

X2=1+(2+0,5)*0,05=1,125

X3=1+(3+0,5)*0,05=1,175

X4=1+(4+0,5)*0,05=1,225

X5=1+(5+0,5)*0,05=1,275

X6=1+(6+0,5)*0,05=1,325

X7=1+(7+0,5)*0,05=1,375

X8=1+(8+0,5)*0,05=1,425

X9=1+(9+0,5)*0,05=1,475

X10=1+(10+0,5)*0,05=1,525

X11=1+(11+0,5)*0,05=1,575

X12=1+(12+0,5)*0,05=1,625

X13=1+(13+0,5)*0,05=1,675

X14=1+(14+0,5)*0,05=1,725

X15=1+(15+0,5)*0,05=1,775

X16=1+(16+0,5)*0,05=1,825

X17=1+(17+0,5)*0,05=1,875

X18=1+(18+0,5)*0,05=1,925

X19=1+(19+0,5)*0,05=1,975

X20=1+(20+0,5)*0,05=2,025

Результаты расчетов представлены  в таблице 3 полученной с помощью программы Excel

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3. Результаты расчетов по методу прямоугольников

n	h	f(x)	S
1	1,075	-1,09098	-1,17281
2	1,125	-1,01324	-1,1399
3	1,175	-0,92999	-1,09274
4	1,225	-0,84124	-1,03052
5	1,275	-0,74701	-0,95244
6	1,325	-0,64731	-0,85769
7	1,375	-0,54217	-0,74548
8	1,425	-0,43158	-0,615
9	1,475	-0,31556	-0,46546
10	1,525	-0,19414	-0,29606
11	1,575	-0,06731	-0,10601
12	1,625	0,064916	0,105489
13	1,675	0,202519	0,339219
14	1,725	0,345491	0,595972
15	1,775	0,493824	0,876538
16	1,825	0,647508	1,181702
17	1,875	0,806534	1,512251
18	1,925	0,970892	1,868968
19	1,975	1,140576	2,252637
20	2,025	1,315575	2,66404
		-1,38629	0

Значения функции f(x) определяются  по формуле f(x)= x*x-2ln(x+2) отсюда:

f(x1)= 1,075*1,075-2ln(1,075+2)= -1,17281

f(x2)= 1,125*1,125-2ln(1,125+2)= -1,1399

f(x3)= 1,175*1,175-2ln(1,175+2)= -1,09274

f(x4)= 1,225*1,225-2ln(1,225+2)= -1,03052

f(x5)= 1,275*1,275-2ln(1,275+2)= -0,95244

f(x6)= 1,325*1,325-2ln(1,325+2)= -0,85769

f(x7)= 1,375*1,375-2ln(1,375+2)= -0,74548

f(x8)= 1,425*1,425-2ln(1,425+2)= -0,615

f(x9)= 1,475*1,475-2ln(1,475+2)= -0,46546

f(x10)= 1,525*1,525-2ln(1,525+2)= -0,29606

f(x11)= 1,575*1,575-2ln(1,575+2)= -0,10601

f(x12)= 1,625*1,625-2ln(1,625+2)= 0,105489

f(x13)= 1,675*1,675-2ln(1,675+2)= 0,339219

f(x14)= 1,725*1,725-2ln(1,725+2)= 0,595972

f(x15)= 1,775*1,775-2ln(1,775+2)= 0,876538

f(x16)= 1,825*1,825-2ln(1,825+2)= 1,181702

f(x17)= 1,875*1,875-2ln(1,875+2)= 1,512251

f(x18)= 1,925*1,925-2ln(1,925+2)= 1,868968

f(x19)= 1,975*1,975-2ln(1,975+2)= 2,252637

f(x20)= 2,025*2,025-2ln(2,025+2)= 2,66404

 

Находим суммарное значение полученных функций:

-1,09098-1,01324-0,92999-0,84124-0,74701-0,64731-0,54217-0,43158-0,31556-0,19414-0,06731+0,064916+0,202519+0,345491+0,493824+0,647508+

0,806534+0,970892+1,315575+1,140576=-1,38629

 

Нахождение определенного интеграла по формуле прямоугольников сводится к нахождению произведения суммы значений функции в изменение значений аргумента с шагом равным частному от деления разности конечного и начального значений аргумента  на заданное количество  шагов

А также по формуле S=h*f(x) определяем значение интегралов на каждом из отрезков:

S1=0,05*(-1,09098)= -0,0461

S2=0,05*(-1,01324)= -0,04333

S3=0,05*(-0,92999)= -0,04041

S4=0,05*(-0,84124)= -0,03732

S5=0,05*(-0,74701)= -0,03407

S6=0,05*(-0,64731)= -0,03065

S7=0,05*(-0,54217)= -0,02705

S8=0,05*(-0,43158)= -0,02326

S9=0,05*(-0,31556)= -0,01929

S10=0,05*(-0,19414)= -0,01512

S11=0,05*(-0,06731)=-0,01076

S12=0,05*(0,064916)= -0,00619

S13=0,05*(0,202519)= -0,00143

S14=0,05*(0,345491)= 0,003543

S15=0,05*(0,493824)= 0,008721

S16=0,05*(0,647508)= 0,01411

S17=0,05*(0,806534)= 0,019712

S18=0,05*(0,970892)= 0,025528

S19=0,05*(1,315575)= 0,03156

S20=0,05*(1,140576)= 0,03781

 

 

Суммарное значение интегралов равно: -1,17281-1,1399-1,09274-1,03052-0,95244-0,85769-0,74548-0,615-0,46546-0,29606-0,106010,1054890,3392190,5959720,8765381,1817021,5122511,868968

2,2526372,66404=0

Погрешность метода находим по формуле .

Для метода прямоугольников формула примет вид .

0,05*(-3,87969)=-0,1938

=

Правая часть формулы прямоугольников является интегральной суммой и при h 0 стремится к данному интегралу. Однако при фиксированном h отличается от соответствующего интеграла на величину Rn(f). По заданной абсолютной погрешности ε подбирается параметр n, при котором выполняется равенство < ε.

0<0,0001, что соответствует  условию задачи.

 

Рис. 2. График функции построенной по методу прямоугольников

 

.

функции вида. дает следующий результат: определенный интеграл равен 0,99959.Rn(f)<E,  где Rn(f)= Sn(f)= n  x*f(xk)

 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В заключение хотелось бы отметить, что применение языка программирования Turbo Pascal 7.0 значительно упрощает работу по вычислению значений функций, нахождения корней уравнений и вычисления программы. Достаточно усовершенствовать отдельный модуль откомпилировать его и появляется возможность решать различные варианты задач с использованием данных методов. Более того, текст главной программы более читаем, и занимает меньше места. Имеющиеся наработки в отдельных модулях можно использовать в других программах. Четко выраженная структура программы позволяет более ясно представить цели и задачи стоящие перед программистом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

1. Информатика: учебник для вузов / А.Н. Гуда [и др.]; под ред. В.И. Колесникова. – М.: Дашков и К, 2008. – 400 с.
2. Чекмарев, Ю.В. Вычислительные системы, сети и телекоммуникации [Электронный ресурс]/ Ю.В. Чекмарев.– «ДМК Пресс», 2010. – Загл. с экрана.– Режим доступа:  http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=258&pl1_id=1108.
3. Шаньгин, В.Ф. Защита компьютерной информации [Электронный ресурс]/ В.Ф. Шаньгин.– «ДМК Пресс», 2010. – Загл. с экрана.– Режим доступа:  http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=258&pl1_id=1146 .
4. Артемова, С.В. Информатика. Методические указания по выполнению лабораторных работ/ С.В. Артемова, Т.И. Чернышова, Н.Г. Чернышов. – Тамбов, Тамб. гос. техн. ун-т, 2006. – 54 с.
5. Галявов, И.Р. Borland C++ для себя [Электронный ресурс]/ И.Р.. Галявов. – «ДМК Пресс», 2009. – Загл. с экрана.– Режим доступа:  http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=258&pl1_id=1230.
6. Алексеев, Е.Р FreePascal и Lazarus: Учебник по программированию [Электронный ресурс]/ О.В. Чеснокова, Т.В.Кучер.– «ДМК Пресс», 2010. – Загл. с экрана.– Режим доступа: http: //e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid =258&pl1_id =1267.
7. Буч, Г. Язык UML руководство пользователя [Электронный ресурс]/ Г.Буч, Д. Рамбо, И. Якобсон. – «ДМК Пресс», 2008. – Загл. с экрана.– Режим доступа: http: //e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid =258&pl1_id =1246.
8. OpenOffice.org для профессионала [Электронный ресурс].– «ДМК Пресс», 2009. – Загл. с экрана.– Режим доступа: http: //e.lanbook.com/books/ element.php?pl1_cid =258&pl1_id =1223.

 

9. Дьяконов, В.П. MATHLAB 9.5 /10/11 в математике, физике и образовании [Электронный ресурс]/ В.П.Дьяконов. –«ДМК Пресс»,– 2010. – Загл. с экрана.– Режим доступа: http: //e.lanbook.com/books/ element.php?pl1_cid =258&pl1_id =1181.
10. http//crems.jesby.tstu.ru.88
11. www.kib.ru/info/course
12. http://study.utmn.ru/~izaharova

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

program glav;                                        {присвоение имени программы}                                          

uses crt, modul1, modul2, modul3;      {объявление модулей}

var                                                           {объявление переменных}