Простые вычисления в mathcad

Пример простых вычислений

 

Хотя MathCad предназначен для сложных  математических вычислений, его легко  использовать как простой калькулятор. Пример подобных вычислений описан ниже по шагам:  После щелчка в любом месте рабочего документа появляется небольшой крестик. Весь ввод с клавиатуры будет размещаться теперь в рабочем документе, начиная с места расположения крестика.

 

Напечатайте 15 - 8 / 104.5 = . После набора знака "=" MathCad вычисляет выражение  и выводит результат.

 

Определение переменных

 

Для того, чтобы определить переменную t, нужно

 

а) ввести t : (символ t, сопровождаемый двоеточием) или знак "=". MathCad показывает двоеточие, сопровождаемое символом присваивания ": =";

 

б) напечатать 10 в пустом поле, чтобы  завершить определение t.    

 

MathCad читает рабочий документ сверху вниз и слева направо. Определив переменную, например t, ее можно использовать в вычислениях везде ниже и правее равенства, которым она определена.

 

Приведем пример еще одного определения. Нажмите Enter. Крестик переместится под предыдущее равенство.

Чтобы определить acc как -9.8, нужно напечатать acc : - 9.8 и снова нажать Enter.

 

 

Вычисление результатов

 

Теперь, когда переменные acc и t определены, их значения могут быть использованы в других выражениях. Поместите указатель мыши ниже предыдущих определений.

Напечатайте acc / 2 [пробел] * t ^ 2.

Нажмите "=".

 

 

Окно теперь содержит два определения, которые определяют переменные, и  одно вычисление, которое дает результат.

 

MathCad пересчитывает результаты  сразу после внесения любых изменений в рабочий документ. Например, если заменить число 10 на другое, результат изменится, как только будет введен Enter или Вы щелкните вне уравнения.

 

Определение дискретного аргумента

 

Для того, чтобы вычислить выражение  для диапазона значений, сначала определите дискретный аргумент. В предыдущем примере можно вычислить результаты для диапазона значений t от 10 до 20 с шагом 1. Это делается следующим образом: Сначала нужно отредактировать определение t, чтобы сделать ее дискретным аргументом.

Для этого нужно щелкнуть мышью  на 10.

Напечатайте ,11 . Это действие определяет следующее число в диапазоне  как 11.

Напечатайте ;20 , чтобы определить последнее число в диапазоне  как 20.

После щелчка мышью вне равенства  для t MathCad вычисляет его для всех значений t, входящих в диапазон.

Так как t содержит в нашем случае одиннадцать различных значений, то получается одиннадцать различных  ответов.

Они отображаются в таблице.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение функции

 

Еще большей гибкости вычислений можно достичь, используя определения функций. Начните определение функции d(t), напечатав d(t):.

Завершите определение, напечатав  выражение: 1600 + acc / 2 [пробел] * t ^ 2.

Чтобы вычислить функцию для  значения 12.5 достаточно напечатать d(12.5).

Чтобы вычислить функцию для каждого значения t из диапазона, определенного ранее,

достаточно щелкнуть мышью внизу  других уравнений и ввести d(t) =.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Форматирование результата

 

MathCad может устанавливать формат  вывода чисел, то есть изменять  число выводимых десятичных знаков, менять экспоненциальный вид представления чисел на запись с десятичной точкой. Щелкните мышью на таблице, выделив ее.

Выбрав пункт Результат из меню Формат, откройте диалоговое окно Формат Результата.

Выбрав формат "Десятичное число", укажите число десятичных мест.

Нажмите ОК. Результаты в таблице  изменятся соответственно новому формату.

 

 

Создание графика

 

Чтобы создать график в MathCad, нужно  щелкнуть мышью в нужном месте  и выбрать пункт График из меню Вставка. Появляется пустой график с полями ввода для выражений, отображаемых по осям графика.

 

Построение графика функции d(t): Создайте пустой график.

Поле ввода возникнет под  осью абсцисс. В него нужно ввести имя переменной t, поставив таким  образом в соответствие этой оси переменную  t.

Теперь нужно щелкнуть в поле напротив середины оси ординат и  ввести здесь d(t), указав MathCad откладывать  значения d(t) по этой оси. Остающиеся поля предназначены для ввода границ на осях - максимального и минимального, откладываемых на оси. Если оставить их пустыми, MathCad автоматически заполнит их при создании графика.

 

 

Сохранение рабочего документа

 

Чтобы сохранить файл нужно: Выбрать пункт Сохранить из меню Файл. Если файл прежде не сохранялся, то появится диалоговое окно "сохранить как", иначе MathCad просто сохраняет изменения в файле.

Указать папку, в которую нужно  сохранить файл и ввести имя файла.

Задания

Задания Вычислите значение выражения:

 

 

 

 

 

 

Определив переменные x и y равными 0,54 и 24 соответственно, вычислите:

x / y + 1 / x

ln (x + y) / 9

y * ex

x * sin (x-y)

 

(y+ 1) / x2

Вычислите предыдущие выражения при  дискретной величине y, изменяющейся от 24 до 30 с шагом 1.

Задайте функцию f(x), заменив в предыдущих выражениях y на число 3, и вычислите  ее значение при х = 0,65.

Вычислите значения функции f(x) при  дискретном аргументе х, изменяющемся от 1 до 3 с шагом 0,2.

В таблице значений функции f(x) установите десятичный формат числа с четырьмя знаками после запятой.

Постойте график функции f(x).

 

Нахождение корней уравнения

 

Функции произвольного вида

 

Найдем  нули функции   на интервале х = [-2, 7], используя MathCad.

 

Изобразим сначала функцию на графике.

 

х : = -2, -1.95 .. 7

 

 

На заданном интервале функция три раза обращается в ноль. Определим нули функции, используя встроенную функцию root (f(x), x). Первый аргумент - функция, нуль которой необходимо найти, второй - переменная, которую необходимо варьировать. (Вообще говоря, функкция f можетбыть функцией нескольких переменных и необходимо указывать, по какой именно переменной мы ищем нуль функции.)

 

Задаем  начальное приближение: х : = -1

 

И вычисляем  корень: root (f(x), x) = -1.572970402

 

Если требуется  найти несколько корней, как в  нашей задаче, имеет смысл определить новую функцию:

 

r(x) : = root (f(x), x)

 

Функция r(x) возвращает значение корня  ближайшее к х, то есть начальное  приближение мы задаем через агрумент функции. Задаем вектор начальных приближений  х и находим соответствующие  им корни Х:

 

 

Нахождение корней полиномов

 

Для нахождения корней полиномов имеется встроенная функция polyroots(a). Аргументом функции является вектор коэффициентов полинома , то есть для уравнения   вектор а имеет вид

 

 

Если в  полиноме отсутствуют некоторые  степени, то на соответствуюих местах следует писать 0. Пусть требует найти корни полинома

 

 

 

 

Коэффициенты  полинома могут быть и комплексными.

 

Нахождение корней путем символических  преобразований

 

Во многих случаях, MathCad позвооляет найти аналитическое  решение уравнения. Для этого  необходимо воспользоваться командой Символы - Переменные - Вычислить. Для того, чтобы найти решение уравнения необходимо записать выражение и выделить в нем переменную (поставить указатель курсора возле переменной). Это необходимо для того, чтого, чтобы показать, какая имеено величина является переменной, а какая - фиксированным параметром. Посте этого проходим путь Символы - Переменные - Вычислить

 

 

и решение  готово

 

 

Обратите внимание! В данном случае был найден только один корень, хотя, очевидно, их бесконечно много.

 

В случае полинома MathCad находит все  корни.

 

Задания 

Найдите корни функции на указанном  отрезке 

f(x) = 2 + x cos x, [0, 5]

f(x) = , [-2, 3]

f(x) = , [0.5, 8]

f(x) = 2 - 6 / x3 , [0, 5]

Найдите корни полинома

12 x - x3

x3 -12 x +1 0

x4 - 2 x3 + 3/2

2 x3 + 12 x2 + 45 x +20

2 x3 + 3 x2- 2/3 x + 2

x4 + 4 x + 5

Найдите корни полинома путем символических  преобразований

2x4 + 4 x + 9

3x3 + 12 x2 + 5 x +20

Системы линейных и нелинейных уравнений и неравенств

Системы линейных и нелинейных уравнений и неравенств позволяет решать в MathCad блок given в сочетании с функцией Find.

Внимание! В блоке given записываетсясистема уравнений и / или неравенств, подлежащих решению.

Система уравнений и / или неравенств должна быть записана после или правее слова given.

При записи уравнений вместо знака = следует набирать Ctrl + =.

Перед словом given необходимо указыватьначальные приближения для всех переменных.

Блок given не пригоден для поиска индексированных переменных.

Если мы хотим найти комплексный  корень, следует задавать комплексное начальное приближение.

Признаком окончания системы служит функция Find, если мы хотим найти точное решение системы, либо функция Minerr, если система не может быть решена точно, и мы хотим найти наилучшее приближение, обеспечивающее минимальную погрешность.

Функции Minerr и Find должны иметь столько же или меньше аргументов, сколько уравнений и неравенств содержит блок given. Если окажется, что блок содержит слишком мало уравнений или неравенств, то его можно дополнить тождествами или повторяющимися выражениями.

В том случае, если решение не может  быть найдено при заданном выборе начального риближения, появится сообщение  в красной рамке Did not find solution - решение не найдено.

Зададим начальное приближение  и решим систему нелинейных уравнений.

Если необходимо найти решение  при различных начальных приближениях, имеет смысл определить новую  функцию

Обратите внимание! В этом случае не нужно задавать начальные приближения  перед началом блока given - Find. Начальные приближения задаются в качестве аргументов функции f (x, y).

Подобным же образом можно решать системы, зависящие от параметра.

Решение систем линейных уравнений и неравенств

Совершенно аналогично решаются системы  линейных уравнений.

Однако в том случае, когда  система линейных уравнений невырождена, то есть ее определитель отличен от нуля, более изящным (хотя и не самым эффективным с точки зрания вычислительной математики) является матричный способ решения.

Решим систему одним и другим методом.

Решим ту же самую систему матричным  методом.

Запишем матрицу системы и вектор свободных членов.

Решим систему, умножая слева столбец  свободных членов b на матрицу обратную матрице a.

Если вы работаете с продвинутой  версией MathCad, то для этих же целей  можно воспользоваться встроенной функцией lsolve.

Символическое решение систем уравнений

Во многих случаях решение системы  уравнений может быть найдено  не только численно, но и аналитически. Для этого так же используется блок given и функция Find, но вместо знака равенства после функции следует поставить знак символического преобразования ( Ctrl + . ).

Решение записано в виде матрицы. Каждый столбец соответствует паре (x, y), то есть найдены решения (1, 3) и (3, 1).

Решение систем дифференциальных уравнений

Для решения дифференциальных уравнений MathCad имеет ряд встроенных функций, в частности, функцию rkfixed. Фактически эта функция предназначена для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Функция rkfixed (y, x1, x2, npoints, D) возвращает матрицу. Первый столбец этой матрицы содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы - решения и его первые n - 1 производные.

Аргументы функции:

y - вектор начальных значений (n элементов).

x1 и x2 - границы интервала, на котором имется решение дифференциального уравнения.

npoints - число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение. Функция rkfixed возвращает матрицу из 1 + npoints строк.

D - вектор, состоящий из n элементов, который содержит первые производные искомой фунции.

В качестве примера рассмотрим решение системы Вольтерры-Лотки. Эта система описывает динамику численности хищников и жертв на замкнутом ареале и является одной из базовых моделей экологии.

Для решения систем дифференциальных уравнений  используется функция rkfixed.

Пусть в начальный момент времени число  хищников  и число жертв .

Задаем  вектор начальных значений

параметры системы

интервал  времени и количество точек, в  которых будет вычислено решение

и вектор правых частей системы.

Решаем  систему с помощью встроенной функции

представим  на графике результаты расчета - зависимость  численности популяций от времени:

и зависимость числа хищников от числа хищников:

Поскольку дифференциальное уравнение порядка  выше первого может быть преобразовано  к системе дифференциальных уравнений первого порядка, функция rkfixed может быть использована и для решения дифференциальных уравнений.