Разработка и исследование имитационной модели разветвленной СМО (системы массового обслуживания) в среде VB5

Аннотация к  работе «Разработка и исследование имитационной

модели разветвленной  СМО (системы массового обслуживания)

в среде VB5»

 

Работа посвящена созданию программы, позволяющей моделировать процесс  прохождения потока заявок (закон  распределения времени между поступлением заявок экспоненциальный или нормальный) по рабочим станциям (одноканальным СМО с неограниченной очередью; закон распределения времен обслуживания экспоненциальный или нормальный; максимальное число рабочих станций 10), с возможностью ветвления, объединения потоков и отбраковки заявок. Программа позволяет на основании результатов моделирования рассчитывать основные характеристики СМО, а также рассчитывать некоторые средние показатели СМО по формулам. Для создания программы выбрана среда программирования Visual Basic 5.

Исследование модели включает проведение с помощью программы ряда экспериментов  для различных систем и сравнение  результатов, полученных на основании  имитационного моделирования, с  результатами расчета по формулам. Цель исследования — сделать выводы о возможности применения приближенных формул расчета средних показателей для различных вариантов систем.

 

 

Содержание.

 

Глава 1 Введение 6

 

Глава 2 Математическое описание модели 11

 

Глава 3 Создание программы 27

 

Глава 4 Исследование модели 46

 

Глава 5 Экономическая  часть 63

 

Глава 6 Охрана труда 81

 

Глава 7 Заключение 87

 

Список литературы 89

 

Приложение

 

Введение

 

За последнее время  в самых разных областях практики возникла необходимость в решении различных вероятностных задач, связанных с работой так называемых систем массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем могут служить: телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, стоянки такси, парикмахерские и т.п.

В современном  мире существенно повысилась доступность компьютерной техники, которая стала применяться в самых различных научных и производственных областях. В связи с этим выросла аудитория потенциальных потребителей компьютерных программ и следовательно увеличилась целесообразность их создания.

Каждому из нас часто приходится сталкиваться с работой своеобразных систем, называемых системами массового обслуживания (СМО). Каждая из этих систем состоит из какого-то числа обслуживающих единиц (каналов обслуживания) Такими каналами могут быть: линии связи, рабочие точки, кассиры, продавцы, лифты, автомашины и др.

Всякая СМО предназначена  для обслуживания некоторого потока заявок (или «требований»), поступающих  в какие-то случайные моменты  времени. Обслуживание заявки продолжается некоторое время, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времен обслуживания приводит к тому, что в какие-то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое число заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными); в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.

Последовательная  линейная структура СМО характерна, например, для поточных (автоматических и неавтоматических) линий конвейерного типа. Различие во времени обработки деталей на таких линиях связано, в основном, с процессами «отказа» и «восстановления».

Оптимизация процесса обслуживания способна существенно  повысить эффективность работы предприятия.

Все вышеперечисленное  подтверждает актуальность создания разрабатываемой программы.

Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и  математическую статистику. На первичное развитие теории массового обслуживания оказали особое влияние работы датского ученого А.К. Эрланга (1878-1929).

Теория массового обслуживания – область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживан6ия, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами.

Задача теории массового  обслуживания – установить зависимость результирующих показателей работы системы массового обслуживания (вероятности того, что заявка будет обслужена; математического ожидания числа обслуженных заявок и т.д.) от входных показателей (количества каналов в системе, параметров входящего потока заявок и т.д.). Результирующими показателями или интересующими нас характеристиками СМО являются – показатели эффективности СМО, которые описывают способна ли данная система справляться с потоком заявок.

Задачи теории массового  обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и простоев каналов обслуживания.

На вход системы из N станций поступает поток заявок с заданным законом распределения времени прихода (экспоненциальным или нормальным). Задаются параметры распределения, количество станций и связи между ними и число заявок. Также задаются закон распределения времени обслуживания заявок на станциях (экспоненциальный или нормальный), параметры распределения и вероятности отбраковки заявок по станциям. Предусмотрены два варианта расчета показателей — с помощью имитационной модели и по формулам.

1. При имитационном  моделировании для каждой станции  рассчитываются:

1.1 Среднее время ожидания  обслуживания;

1.2 Среднее время простоя станции;

1.3 Максимальная длина  очереди;

1.4 Число снятых заявок;

1.5 Коэффициент использования;

1.6 Среднее время нахождения  заявки на станции;

1.7 Максимальное время  нахождения заявки на станции.

Также выводятся общие  показатели системы:

1.8 Общее время прихода N заявок;

1.9 Время выхода последней  заявки;

1.10 Общий коэффициент  использования системы по времени;

1.11 Общий коэффициент  использования системы по числу  заявок.

2. При расчете по  формулам для каждой станции  рассчитываются:

2.1 Среднее время ожидания обслуживания;

2.2 Среднее время простоя  станции;

2.3 Средняя число заявок  в очереди;

2.4 Среднее время нахождения  заявки на станции;

В некоторых случаях  расчет по формулам не способен предоставить корректные результаты и интересующие показатели можно рассчитывать только с помощью имитационной модели.

 

1 Математическое описание модели.

 

Данный раздел описания базируется на работах Е. С. Вентцель.

 

1.1 Марковские случайные процессы.

 

Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние

Пусть в момент t₀ система находится в определенном состоянии S₀. Мы наблюдаем процесс со стороны и в момент t₀ знаем состояние системы S₀ и всю предысторию процесса, все, что было при t < t₀. Нас интересует будущее (t > t₀). В точности невозможно его предугадать, так как процесс — случайный, а значит — непредсказуемый. Но вероятностные характеристики процесса в будущем мы найти можем. Например, вероятность того, что через некоторое время t система S окажется в состоянии S₁ или сохранит состояние S₀, и т. п.

Для марковского  случайного процесса такое «вероятностное предсказание» оказывается гораздо проще, чем для немарковского. Если процесс — марковский, то предсказывать можно, только учитывая настоящее состояние системы S₀ и забыв о его «предыстории» (поведении системы при t < t₀). Само состояние S₀, разумеется, зависит от прошлого, но как только оно достигнуто, о прошлом можно забыть. В марковском процессе «будущее зависит от прошлого только через настоящее».

На практике часто встречаются  процессы, которые если не в точности марковские, то могут быть в каком-то приближении рассмотрены как марковские. Пример: система S — группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Состояние системы характеризуется числом самолетов «красных» — x и «синих» — y, сохранившихся (не сбитых) к определенному моменту. В момент t₀ нам известны численности сторон — x₀ и y₀. Нас интересует вероятность того, что в момент времени t₀ + t численный перевес будет на стороне «красных». В первую очередь эта вероятность будет зависеть от того, в каком состоянии находится система в момент t₀, а не от того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до момента t₀ самолеты.

В сущности, любой  процесс можно рассматривать  как марковский, если все параметры  из «прошлого», от которых зависит  «будущее», включить в «настоящее». Например, пусть речь идет о работе некоторого технического устройства; в момент t₀ оно еще исправно, и нас интересует вероятность того, что оно проработает еще время t. Если за настоящее состояние системы считать просто «система исправна», то процесс безусловно немарковский, потому что вероятность того, что она не откажет за время t, зависит, в общем случае, от того, сколько времени она уже проработала и когда был последний ремонт. Если оба эти параметра (общее время работы и время после последнего ремонта) включить в настоящее состояние системы, то процесс можно будет считать марковским. Однако такое «обогащение настоящего за счет предыстории» далеко не всегда бывает полезно, поэтому в дальнейшем, говоря о марковском процессе, будем подразумевать его простым, с небольшим числом параметров, определяющих «настоящее».

На практике марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются, но нередко приходится иметь дело с процессами, для которых  влиянием «предыстории» можно пренебречь. При изучении таких процессов  можно с успехом применять марковские модели.

В исследовании операций большое значение имеют так называемые марковские случайные процессы с  дискретными состояниями и непрерывным  временем. Процесс называется процессом  с дискретными состояниями, если его возможные состояния S₁, S₂, S₃, ... можно заранее перечислить (перенумеровать), и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно. Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны, т. е. если переход может осуществиться в любой момент времени. При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой — так называемым графом состояний. Состояния системы изображаются прямоугольниками (или кругами, или точками), а возможные переходы из состояния в состояние — стрелками, соединяющими состояния. Мы будем изображать состояния прямоугольниками, в которых записаны обозначения состояний: S₁, S₂, ..., S_n.

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени. Например: поток вызовов на телефонной станции; поток отказов (сбоев) ЭВМ; поток железнодорожных составов, поступающих на сортировочную станцию, и т. д.

Важной характеристикой  потока событий является его интенсивность l — среднее число событий, приходящееся на единицу времени. Интенсивность потока может быть как постоянной (l= const), так и переменной, зависящей от времени t. Например, поток автомашин, движущихся по улице, днем интенсивнее, чем ночью, в часы пик — интенсивнее, чем в другие часы.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные, равные промежутки времени. На практике чаще встречаются потоки нерегулярные, со случайными интервалами.

Поток событий  называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся интервалов времени t₁ и t₂ число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. По сути это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга, причем каждое вызвано своими собственными причинами.

Поток событий  называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами по несколько сразу. Например, поток клиентов, направляющихся в парикмахерскую или к зубному врачу, обычно ординарен, чего нельзя сказать о потоке клиентов, направляющихся в загс для регистрации брака. Поток поездов, подходящих к станции, ординарен, а поток вагонов — неординарен. Если поток событий ординарен, то вероятностью попадания на малый интервал времени t двух или более событий можно пренебречь.

Поток событий  называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: стационарен, ординарен и не имеет последействия. Название «простейший» связано с тем, что процессы, связанные с простейшими потоками, имеют наиболее простое математическое описание. Самый простой, на первый взгляд, регулярный поток не является «простейшим», так как обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке связаны жесткой функциональной зависимостью.

Простейший  поток играет среди других потоков особую роль. А именно, при наложении (суперпозиции) достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к простейшему.

Для простейшего  потока с интенсивностью l интервал между соседними событиями имеет так называемое экспоненциальное распределение с плотностью