Решения дифференциального уравнения методом Эйлера

РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА

Суть его состоит в  последовательном построении ломаной, начинающейся в точке (Хо,Yо), заданной начальным условием и дающей приблизительный вид графика искомой функции Y(х). Для построения первого (а затем и каждого следующего) участка ломаной в этом методе мы вычисляем значение f(Xo,Yо), проводим прямую из данной точки с полученным угловым коэффициентом. Поскольку Y'(Хо)=f(Хо,Yо), то эта прямая будет касательной к интегральной кривой в точке (Хо,Yо). Поэтому мы и заменяем часть графика функции на отрезок касательной к ней. Далее, из новой полученной точки мы делаем следующий такой же шаг и т.д.

Метод Эйлера хорош тем, что  он прост и нагляден, но к сожалению , он очень плох в смысле точности приближения и дает лишь приблизительный вид интегральной кривой.

Говоря о численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений, мы ограничимся еще более частным случаем постановки задачи, в которой требуется лишь определить значение неизвестной функции Y(х) в одной точке b.

Общая схема численных  методов.

1.Делим отрезок [a,b] на n-равных частей точками а=X_o<X₁<X₂<…<X_n=b или X_i=a+ih

2.Последовательно, при  i=0,1,2,…,(n-1) осуществляем переход  от точки (Хi,Yi) к точке (Х_i+1,Y_i+1) по формуле Y_i+1=Yi+DУi, где на каждом отрезке величина DУi вычисляется по одному и тому же закону, задающему метод решения уравнений.

Метод Эйлера, который мы рассматривали как графический, легко интерпретировать и как  численный метод. Из описания этого  метода сразу же видно, что приращение DYi вычисляется как линейное приращение функции. На отрезке длины h формула для приращения функции примет вид DYi=h f(Xi,Yi), откуда и получаем закон перехода в методе Эйлера: Y _i+1=Yi+hf(Xi,Yi).

Как уже отмечалось, погрешность  этого метода очень велика, она  достигает величин порядка h, т.е. метод Эйлера -первого порядка точности. Для улучшения точности вычислений применяют многошаговую систему перехода от точки (Xi,Yi) к следующей.

 

Метод Эйлера (метод ломанных Эйлера).

Этот метод  для решения начальной задачи

y' = f(x,y) , a Ј x Ј b	(1)
y(a) =y0	(2)

был описан Эйлером (1768) в его "Интегральном исчислении" (раздел второй, гл.VII). Метод является одношаговым. Он прост для понимания и программирования.

Будем полагать, что f - заданная функция, x - независимая переменная. Надо найти функцию y, являющуюся решением задачи (1)-(2) на отрезке a Ј x Ј b.

Интересующий  нас метод определяется формулами

yk+1= yk + h f(xk,yk ) , k= 0,1,…,N-1

(3)

Вывод метода Эйлера очевиден. Из разложения Тейлора  функции y в окрестности точки x_k имеем

y(x k+1)= y(xk)+ h y'(xk)+ h2 y''(zk)/2 = = y(xk)+ h f(xk,y(xk))+ h2 y''(zk)/2

(4)

где z_k лежит внутри отрезка [x_k, x _k+1]. Мы будем считать, что все выписываемые производные действительно существуют. Если производная y'' ограниченна, а шаг h мал, то можем отбросить последний член, и написать

y(x _k+1)» y(x_k)+ h f(x_k,y_k).

Это и служит основой для (3). Геометрический смысл  метода Эйлера заключается в аппроксимации  решения на отрезке [x_k, x _k+1] отрезком касательной, проведённой к графику решения в точке x_k 

Приведём  теперь простой пример использования  этого метода. Рассмотрим задачу

y'(x)= y2(x)+ 2x - x4 , y(0)=0

(5)

Легко проверить, что точным решением этой задачи является функция y(x)= x². Здесь f(x,y)= y²+2x - x⁴ и, следовательно, формулы метода Эйлера для (5) с учётом того, что x_k=kh , принимают вид

yk+1= yk + h (yk2 + 2kh - k4h4) , k=0,1,…, y0=0

(6)

В Таблице 1 некоторые значения, вычисленные  по формулам (6) при h =1 и соответствующие значения точного решения.

Таблица 1

x	y численное решение	y точное решение	x	y численное решение	y точное решение
0,1 0,2 0,3	0,00 0,02 0,06	0,01 0,04 0,09	0,4 0,5 0,6	0,12 0,20 0,30	0,16 0,25 0,36

Как видно  из Таблицы 1, численное решение сильно отличается от точного и главный  вопрос при использовании метода Эйлера или любого другого численного метода состоит в оценке точности приближенных значений y_k. Вообще говоря, существуют два источника погрешности этих приближений: первый - ошибка дискретизации, возникающая в результате замены дифференциального уравнения (1) разностной аппроксимацией (3); второй источник погрешности - ошибка округления, накопившаяся при выполнении арифметических операций по формулам (3). Мы ошибки округления рассматривать не будем (подробно эта тема рассмотрена в книге Дж. Ортега, У. Пул "Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений"), а сейчас будем считать, что значения y_k в (3) вычисляются точно, так что погрешности обусловлены только ошибкой дискретизации. Введём величину

E(h)= max1Ј kЈ N | yk -y(xk)|

(7)

называемую глобальной ошибкой дискретизации (иногда эту величину называют глобальной ошибкой усечения). Отметим, что E(h) зависит от величины шага h , поскольку предполагается, что приближения вычисляются при заданном значении h . Интуитивно ожидаем и определённо надеемся, что при уменьшении h ошибка дискретизации будет убывать и, в частности, при стремлении h к нулю также будет стремиться к нулю.

Мы не будем  давать полный анализ глобальной ошибки дискретизации, а удовлетворимся лишь тем, что покажем, как такой анализ обычно проводится. Во-первых предположим, что точное решение y имеет на отрезке [a,b] ограниченную вторую производную y'' :

maxaЈ xЈ b | y''(x)| = M

(8)

Далее рассмотрим величину

L(x,h)= (1/h)[y(x+h)- y(x)]- f(x,y(x)),

(9)

которая называется локальной ошибкой дискретизации метода Эйлера в точке x и служит мерой того, насколько разностная аппроксимация y'(x) отличается от f(x,y(x)). Предположим теперь, что y_k равно значению точного решения y(x_k). Тогда разность между аппроксимацией по Эйлеру y_k+1 и точным решением y(x_k+1) выражается формулой

y(xk+1)-yk+1=y(xk+1)-y(xk)-h f(xk,y(xk))=h L(xk,h)

(10)

Таким образом умноженная на h локальная ошибка дискретизации равна ошибке на одном шаге метода Эйлера, стартовавшего с точного решения.

Нас интересует максимум L(x,h) по x ,так что определим локальную ошибку дискретизации метода Эйлера как

L(h)= maxaЈ xЈb-h|L(x,h)|

(11)

Отметим, что  величина L(h) зависит, как от величины шага h , так и от вида правой части дифференциального уравнения и от отрезка [a,b]. Мы, однако, выделили явно только зависимость от h , поскольку в предположении (8) с помощью разложения Тейлора, аналогичного(4), можно получить оценку

L(h)ЈMh/2 = O(h)

(12)

Мы здесь  воспользовались стандартным обозначением O(h) для величины стремящейся к нулю при h® 0 с той же скоростью, что и h. В общем случае будем говорить, что функция g(h) равна <O(h ^p), если при h® 0 величина g(h)/ h ^p ограничена.

Задача теперь состоит в том, чтобы связать  локальную ошибку дискретизации  с глобальной ошибкой дискретизации. Если обозначить ошибку y(x_k)-y_k через e_k, то, согласно (3) и (10), получим

ek+1= y(xk+1)-yk+1 = y(xk)+ h f(xk,y(xk))+h L(xk,h)- yk -h f(xk,yk)= = ek+h[f(xk,y(xk))-f(xk,yk)]+h L(xk,h)

(13)

Предположим теперь, что функция f имеет ограниченную частную производную по второй переменной:

|¶f(x,y)/¶y|ЈM1 , a ЈxЈb , |y|<Ґ

(14)

Тогда по теореме  Лагранжа о среднем значении при некотором 0<q <1 имеем

| f(x_k,y(x_k))-f(x_k,y_k)| =

=| ¶ f(x_k ,q y(x_k)+(1-q )y_k)/¶ y *( y(x_k)- y_k)| Ј M₁e_k .

Используя эту  оценку и заменяя L(x_k,h) на L(h), из (13) получаем

|ek+1|Ј (1+h M1)|ek|+h|L(h)|

(15)

Полагая здесь c=1+h M₁ и раскрывая последовательность в (15) получаем

|ek+1|Ј c|ek+1| +h|L(h)|Јс2|ek -1| +ch|L(h)|+h|L(h)| Ј … …Ј сk |e1| +ck-1 h|L(h)| +…+ ch|L(h)| +h|L(h)|

(16)

В частности, оценка ошибки e_N в конечной точке интервала будет содержать сумму N членов каждый из которых равен O(h ²) . Так как N=(b-a)/h , то сумма будет равна O(h).Таким образом, у нас есть основания ожидать, что будет справедлива следующая

Теорема (ошибка дискретизации метода Эйлера).

Если функция  имеет ограниченную частную производную  по второй переменной и если решение  задачи (1)-(2) имеет ограниченную вторую производную, то глобальная ошибка дискретизации  метода Эйлера E(h)=O(h).

Чтобы эта  теорема была доказана полностью, следует  доказать, что величина c^N=(1+h M₁)^N ограничена при k® 0 . Доказательство этого известного факта мы опускаем.

 

Ташкентский Институт Инженеров Железнодорожного Транспорта

 

 

Кафедра “Информатики”

 

Самостоятельная работа

Тема: Решения дифференциального уравнения методом Эйлера

 

 

 

 

 

Выполнил: Махкамов Г.К.

       Проверила: Кадирова Е.В.

 

 

 

Ташкент-2012