Санау жүйесі

Сан түсiнiгi – математикалық сияқты ақпараттануда да басты негiз. Егер математикада сандрды өңдеу әдiстерiне көп көңiл бөлiнетiн болса, онда ақпараттану үшiн сандарды ұсынуды пайдаланады. Себебi, тек солар ғана жадтың қажеттi қорын, жылдамдықты есептеуде жiберетiн қатенi анықтайды.  
Санау жүйесi деп белгiлi бiр мөлшердегi таңбалардың көмегiмен сандарды өрнектеу мен жазудың жиынтығы. Санау жүйесi екi топқа бөлiнедi: позициялық және позициялық емес.  
Позициялық емес санау жүйесiнде әрбiр цифрдық мәнi оның алатын орнына байланысты емес. Мұндай санау жүйесiнiң мысалы ретiнде римдiк жүйенi алуға болады. Осы жүйеде жазылған ХХХ санында Х цифры кез келген позицияда 10-ды бiлдiредi. Позициялық емес санау жүйесiнде арифметикалық әрекеттердi орындау қиын болғандықтан, позициялық санау жүйесi қолданылады.  
Позициялық санау жүйесiнде цифрдық мәнi оның орнына байланысты болды. Позициялық мән санау жүйесiнiң негiзiнде дәрежесi арқылы анықталады. Позициялық санау жүйесiнiң негiзi деп қолданылатын цифрлар санын айтады.  
Санау жүйесi төртке бөлiнедi:  
1. ондық санау жүйесi;  
2. екiлiк санау жүйесi;  
3. сегiздiк санау жүйесi;  
4. оналтылық санау жүйесi.

Ондық санау жүйесi  
Ондық санау жүйесiнегi сандарды өрнектеу үшiн 0-9 дейiнгi араб цифрлары қолданылады:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.  
Мыс: 234=200+30+4  
2 жүздiктер разрядынан, 3 ондықтар разрядынан, 4-бiрлiктер разрядынан тұрады.  
Ондық жүйе позициялық болып табылады, өйткенi ондық санды жазуда цифрдың мәнi оның позициясына немесе санда орналасқан орнына байланысты. Санның цифрына бөлiнетiн позицияны разряд деп атайды.  
Егер 234 санын қосынды түрiнде былай жазамыз: 2*102+3*101+4*100 Бұл жазбадағы 10-саны санау жүйесiн негiздеушi. Санның әрбiр цифры үшiн 10 негiздеушi цифрлың орнына байланысты дәрежеленедi және осы цифрға көбейтiледi.  
Бiрлiктер үшiн – 0; ондықтар үшiн – 1, жүздiктер үшiн – 2-ге тең негiздеушi дәреже және т.с.с  
Егер сан ондық бөлшек болса, ол терiс дәрежеде жазылады. Мыс: 38,956=3*101+8*100+9*10-1+5*10-2+6*10-3  
Компьютерде ондық емес екiлiк санау жүйесi, яғни екi негiздеушiсi бар санау жүйесi қолданылады.

Екiлiк санау жүйесi  
Екiлiк жүйеде кез келген сан екi 0 және 1 цифрларының көмегiмен жазылады және екiлiк сан деп аталады. Екiлiк санның әрбiр разрядын (цифрын) бит деп атайды. Кез келген санау жүйесiнiң негiзiн осы санау жүйесiнде қолданылатын цифрлар санын анықтап ЭЕМ-де ақпаратты өрнектеу үшiн екiлiк жүйе қолданылады. Екiлiк жүйеде қосындыда негiздеушi ретiнде 2 санын қолданады. Мысалы, 1001,11 екiлiк сан үшiн қосынды мына түрде болады:  
1*23+0*22+0*21+1*20+1*2-1+1*2-2  
Бұл қосынды ондық сан үшiн жазылған қосындының ережесi бойынша жазылады.  
Екiлiк жүйенiң маңыздғы құндылығы – цифрды ұсыну ыңғайлылығы және компьютер аппаратурасының қарапайымдылығы.  
Екiлiк жүйенiң кемшiлiгi – мұнда санды жазу үшiн 0 мен 1 цифрлары көп қажет болады. Бұл адамның екiлiк санды қабылдауын қиындатады. Мысалы 156 ондық санының екiлiк жүйедегi түрi мынадай:10011100. Сондықтан екiлiк жүйе әдетте компьютердiң “iшкi қажеттiлiгi” үшiн қолданылады, ол адамның компьютермен жұмыс iстеуi үшiн үлкен негiздеуiшi санау жүйесi таңдалды. Бұл сегiздiк және он алтылық жүйелер. Осы екi жүйелердiң және екiлiк жүйенiң арасында санды бiр жүйеден басқаға ауыстыруды жеңiлдететiн қарапайым байланыс бар.

Сегiздiк санау жүйесi  
Сегiздiк санау жүйесi, яғни сегiздiк негiздеушi санау жүйесi, сегiз цифрдың көмегiмен санды көрсетедi: 0,1,2,3,4,5,6,7.  
Мысалы, 356 санын негiздеушi 8 қосындысы түрiнде жазайық:  
356=3*82+5*81+6*80

Оналтылық санау жүйесi  
Оналтылық санау жүйесiнде санды жазу үшiн ондық санау жүйесiнiң цифрлары 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 және жетпейтiн алты цифрды белгiлеу үшiн ондық сандарының мәнi 10,11,12,13,14,15 болатын сәйкес латын алфавитiнiң алғашқы үлкен әрiптерi: A,B,C,D,E,F қолданылады. Сондықтан оналтылың сандарда, мысалы, 3Е5А түрi болуы мүмкiн. Осы санды негiздеушi 16 қосындысы түрiнде жазайық:  
3Е5А=3*163+Е*162+5*161+А*160

Сандардың қандай сандық жүйеде тұрғанын бiлу үшiн, оның төменгi жағына индекс жазылады және индекске қандай жүйеде екенi көрсетiледi.

Сандарды бiр санау жүйесiнен басқа санау жүйесiне ауыстыру  
Ондық санау жүйесiндегi сандарды басқа санау жүйелерiне ауыстыру  
Ондық санау жүйесiндегi санды екiлiк санау жүйесiне ауыстыру үшiн санды 2-ге бөлу керек. Алынған бөлiндi екiден кiшi болғанша бөлiнедi де, қалған қалдықты керi бағытта жазады. Мыс:  
129:2=64 (1) 12910=100000012  
64:2=32 (0)  
32:2=16 (0)  
16:2=8 (0)  
8:2=4 (0)  
4:2=2 (0)  
2:2=1 (0)  
1:2=0 (1)

Ондық санау жүйесiндегi санды сегiздiк санау жүйесiне ауыстыру үшiн екiлiк жүйесiне ауыстырған әдiстi қолданады. Бiрақ бұл кезеде санды сегiзге бөледi. Мыс:  
129:8=16 (1) 12910=2018  
16:8=2 (0)  
2:8=0 (2)

Ондық санау жүйесiндегi санды оналтылық санау жүйесiне ауыстыру үшiн тек санды сегiздiң орнына он алтыға бөлу керек. Мыс:  
129:16=8 (1) 12910=8116  
8:16=0 (8)

Басқа санау жүйесiндегi сандарды ондық санау жүйесiне ауыстыру  
 
Екiлiк санау жүйесiндегi санды ондық санау жүйесiне аудару:  
100000012=1*27+0*26+0*25+0*24+0*23+0*22+0*21+1*20=128+1=12910

Сегiздiк санау жүйесiндегi санды ондық санау жүйесiне аудару:  
2018=2*82+0*81+1*80=128+1=12910

Оналтылық санау жүйесiндегi санды ондық санау жүйесiне аудару:  
8116=8*161+1*160=128+1=12910

Екiлiк санау жүйесiндегi санды сегiздiк және он алтылық санау жүйелерiне ауыстыру  
Екiлiк жүйедегi санды сегiздiк жүйеге аудару үшiн екiлiк санды оңнан солға қарай цифрларды үштен жеке-жеке топқа бөледi. Содан кейiн цифрлардың әрбiр тобын кестеде көрсетiлген цифр түрiнде жазады.

Екiлiк жүйе Сегiздiк жүйе  
000 0  
001 1  
010 2  
011 3  
100 4  
101 5  
110 6  
111 7

Мыс: 1001011012=4558

Екiлiк жүйедегi санды оналтылық жүйесiне аудару сегiздiкке ұқсас жүредi, тек айырмашылықы әрбiр түрленетiн екiлiк сан оңнан солға қарай цифрларды төрттен жеке-жеке топқа бөлiп, цифрлардың әрбiр тобын кестеде көрсетiлген цифр түрiнде жазады.

Ондыј жүйе Екiлiк жүйе Оналтылық жүйе  
0 0000 0  
1 0001 1  
2 0010 2  
3 0011 3  
4 0100 4  
5 0101 5  
6 0110 6  
7 0111 7  
8 1000 8  
9 1001 9  
10 1010 A  
11 1011 B  
12 1100 C  
13 1101 D  
14 1110 E  
15 1111 F

Мыс: 0001001011012=12D16

Екiлiк сандармен орындалатын арифметикалық әрекеттер

Екiлiк санау жүйесiнде арифметикалық әрекеттер ондық жүйедегi ереже бойынша орындалады, тек қана айырмашылығы – санау жүйесiнiң негiздеушiсi екiге тең және тек екi цифр қолданылады.

Қосу  
Екiлiк санды қосу тасымалдау есебiмен сәйкес разрядтар қосумен жүредi.  
Екi екiлiк санды қосу кезiнде мынадай төрт ереже қолданылады:  
0+0=0  
0+1=1  
1+0=1  
1+1=10 бiрлiктердi көршi разрядқа тасымалдайды  
М: 101 мен 11 екi екiлiк санды қосайық.  
+  
1000  
Қосу – екiлiк арифметикадағы маңызды амал.  
Компьютердегi екiлiк сандармен жүзеге асатын басқа амалдар қосудың көмегiмен орындалады.  
Азайту  
Екi екiлiк санды азайту кезiнде мынадай төрт ереже қлданылады:  
0-0=0  
0-1=1 бiрлiктi көршi үлкен разрядтан алады  
1-0=1  
1-1=0

М: 1010 мен 101 екiлiк сандарының айырмасын табайық.  
-  
101  
Көбейту  
Екi екiлiк санды көбейту ондық сандарды көбейтумен бiрдей жүредi:  
М: 1001 мен 101 екiлiк сандарын көбейтейiк.  
*  
1001  
0000  
1001  
101101