Системы счисления. Описание понятия. Позиционные и непозиционные системы. Принципы перевода из одной системы счисления в другую

Федеральное агентство  по образованию

Государственное образовательное  учреждение

высшего профессионального  образования

 

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Кафедра Геоинформационных  систем

 

 

 

 

 

Реферат

по дисциплине Информатика

Системы счисления. Описание понятия. Позиционные и непозиционные системы. Принципы перевода из одной системы счисления в другую.

 

 

 

 

 

 

 

Выполнили:

студенты гр. ИСТ-111

Абрамов С. А.

 

 

Проверил преподаватель:

Васильева М.И.

 

 

 

 

 

Уфа 2007

 

 

 

Содержание.

 

 

 

 

1 Введение_____________________________________________________3

2 Непозиционные системы счисления______________________________3

3 Позиционные системы счисления________________________________3

3.1 Введение___________________________________________________3

3.2 Преобразование чисел________________________________________4

3.3 Шестидесятеричная система счисления__________________________6

4 Двоичная система счисления____________________________________7

5 Восьмеричная и шестнадцатеричная  системы счислений____________10

6 Перевод из одной  системы счисления в другую____________________12

7 Список используемой  литературы_______________________________14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 Для начала проведем границу между числом и цифрой. Число это некоторая абстрактная сущность для описания количества. Цифры это знаки используемые для записи чисел. Цифры бывают разные, самыми распространенными являются арабские цифры, они представляются известными знаками от нуля (0) до девяти (9), еще распространены римские цифры, мы их можем иногда встретить на циферблате часов или в обозначении века (IXX век).

Итак запомним: число, это абстрактная мера количества, цифра это знак для записи числа.

Существует множество  способов записи чисел с помощью  цифр. Эти способы грубо можно  разделить на две части:

• позиционные системы счислений;
• непозиционные системы счислений.

Позиционные системы  счислений мы рассмотрим более подробно ниже. Расскажем вкратце о непозиционных системах счислениях.

Непозиционные системы счислений.

В непозиционной системе  счисления величина числа не зависит от положения цифры в представлении числа. Если бы мы перемешали цифры в числе 603121200000, то мы бы не смогли понять сколько стоит пылесос, в непозиционной системе такого не случиться. Ярким примером непозиционной системы счисления является римская система.

Позиционные системы счислений.

Введение.

Чем хороши позиционные  системы счисления? Тем, что они  позволяют легко производить  арифметические расчеты. Попробуйте считать  используя, например римские цифры. Сколько будет  ? То-то, а вот достаточно представить эти числа арабскими цифрами и мы легко сможем посчитать в столбик .

Представление чисел с помощью  арабских цифр самая распространенная позиционная система счисления, она называется «десятичной системой счисления». Десятичной системой она  называется потому, что использует десять цифр. Вот эти цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Внимательно их пересчитайте – их ровно десять. Замете: максимальная цифра (9) на единичку меньше количества цифр (10).

Компьютер, в отличии от человека, хорошо разбирается в двоичной системе, он использует цифры: 0 и 1. Обратите внимание, что и здесь: система двоичная, а максимальная цифра 1.

Программисты пользуются, для упрощения  себе жизни, еще восьмеричной и шестнадцатеричной  системами счисления.

Количество цифр используемых в системе счисления называется «основанием». В десятичной системе основание равно десяти, в двоичной системе основание равно двум, ну а в восьмеричной и шестнадцатеричной соответственно восьми и шестнадцати.

В общем случае в позиционной  системе счисления числа представляются следующим образом: (a_na_{n − 1}...a₀)_f, где a₀,a₁,...,a_n - цифры, а f - основание системы счисления. Если используется десятичная система, то f – можно опустить.

Примеры чисел:

• 11001₂ - число в двоичной системе счисления, a₀ = 1,a₁ = 0,a₂ = 0,a₃ = 1,a₄ = 1;
• 221₃ - число в троичной системе счисления, a₀ = 1,a₁ = 2,a₂ = 2;
• 31₈ - число в восьмеричной системе счисления, a₀ = 1,a₁ = 3;
• 25₁₀ - число в десятичной системе счисления, a₀ = 5,a₁ = 2;

Преобразование чисел.

Такое представление чисел обозначает вот такое число: a_nfⁿ + ... + a₁f¹ + a₀f⁰, где a₀,a₁,...,a_n - цифры, а f - основание системы счисления.

Посмотрим чему равны числа из примеров. Используем только что приведенную  формулу:

• ;
• ;
• ;
• .

Мы знаем как узнать чему равно число в любой системе  счисления. Но как нам получить это  число? Представим что у нас есть некоторое число A, и мы хотим получить его представление в системе по основанию f. Как нам это сделать?

Мы знаем, что число A можно представить в виде (a_na_{n − 1}...a₀)_f, будем из этого исходить. Что будет, если мы поделим это число на f. Получим

и остаток от деления a₀. Почему a₀? Все члены суммы делятся на f без остатка, а последний член a₀ в результате деления дает 0 и a₀ в остатке, т.к. максимальное значение цифры всегда на единичку меньше основания системы. Итак мы получили самую правую цифру a₀ как остаток от деления и число (a_na_{n − 1}...a₁)_f как результат деления числа A на f. Если мы так будем продолжать делить, то получим все цифры a₁,a₂...a_n.

Возьмем для примера  полюбившиеся нам число 25 и получим представление этого числа в двоичной системе счисления:

• 25 / 2 = 12, остаток 1;
• 12 / 2 = 6, остаток 0;
• 6 / 2 = 3, остаток 0;
• 3 / 2 = 1, остаток 1;
• 1 / 2 = 0, остаток 1.

Что и следовало ожидать, получили: 11001₂.

Представим число 25 в троичной системе  счисления:

• 25 / 3 = 8, остаток 1;
• 8 / 3 = 2, остаток 2;
• 2 / 3 = 0, остаток 2.

Получили число: 221₃.

Для укрепления наших знаний проделаем  вычисления для восьмеричной и десятичной систем счисления.

Восьмеричная система счисления:

• 25 / 8 = 3, остаток 1;
• 3 / 8 = 0, остаток 3.

Результат: 31₈.

Десятичной система счисления:

• 25 / 10 = 2, остаток 5;
• 2 / 10 = 0, остаток 2.

Результат: 25₁₀.

Чтобы еще лучше понять перевод  в различные системы счислений  посмотрим какие трансформации  происходят внутри числа 4567₁₀.

Представим это число в виде

.

Посмотрим что у нас  получиться при последовательном делении  на 10:

• делим на 10, получаем и 7 в остатке;
• делим еще раз на 10, получаем и 6 в остатке;
• и еще раз делим на 10, получаем 4 и 5 в остатке;
• делим в последний раз на 10, получаем 0 и 4 в остатке.

 Шестидесятеричная система счисления.

То как мы представляем время на часах это пример шестидесятеричной  позиционной системы счисления. В представлении времени используется три позиции для часов, минут и секунд; так как для каждой позиций приходиться использовать 60 цифр, а у нас только десять цифр, то для каждой шестидесятиричной позиции используется две десятичные цифры (00, 01, 02, ..., 59), а позиции разделяются двоеточием.

h:m:s

Чтобы получить время в секундах мы должны посчитать вот по такой формуле:

h60² + m60¹ + s60⁰ = h3600 + m60 + s

.

Рассмотрим действия с шестидесятеричной  системой на двух небольших задачках:

1. Пирог нужно печь в духовке 45 минут, сколько это будет в секундах?
2. Нужно испечь десять пирогов, сколько потребуется времени?

Чтобы производить вычисления в шестидесятеричной системе  счисления нужно знать таблицу  сложений и умножений шестидесятеричных  чисел. Каждая таблица очень большая, она размером 60х60 ячеек, мы то обычную  таблицу умножения еле запомнили, а уж выучить шестидесятиричную таблицу умножения нам врядли окажется по силам.

Чтобы решить эти задачи можно посчитать  все в десятичной системе, а потом  результат перевести назад в  шестидесятиричную систему.

Приступим. Чтобы перевести 45 минут в количество секунд, нужно просто, подставить числа в верхнюю формулу: h равняется нулю, m равняется 45 и s – нулю, получаем

.

Ответ на первый вопрос: пирог нужно печь в духовке 2700 секунд.

Чтобы узнать сколько  потребуется времени чтобы испечь десять пирогов нужно время готовки  умножить на количество пирогов, то есть на десять. , но это время в секундах, а нам бы хотелось получить время в привычных нам часах, минутах и секундах, для этого воспользуемся стандартным способом перевода из одной системы счисления в другую, делением на основание счисления. Приступим:

• 27000 / 60 = 450 и 0 в остатке, записываем остаток в младший разряд хх:хх:00;
• 450 / 60 = 7 и 30 в остатке, записываем остаток в следующий разряд хх:30:00;
• 7 / 60 = 0 и 7 в остатке, записываем остаток в старший разряд 07:30:00.

Ответ на второй вопрос: чтобы испечь десять пирогов потребуется 7 часов 30 минут и 0 секунд.

Двоичная система счисления.

В компьютерной технике  очень часто используется двоичная система счисления. Такую систему  очень легко реализовать в железе (кремнии, транзисторах, микросхемах).

Двоичная система счисления  является позиционной системой. В  ней используется две цифры: 0 и 1. В железе это может быть реализовано  присутствием какого-либо физического  явления или его отсутствием. Например: есть электрический заряд или его нет, есть напряжение или нет, есть ток или нет, есть сопротивление или нет, отражает свет или нет, намагничено или ненамагничено, есть дырка или нет и т.п.

Мы уже знаем, как  переводить числа в различные  системы счисления. Посмотрим, как это происходит с двоичной системой счисления. Переведем число в двоичной системе счисления в десятичную.

;

 
Вы это можете проверить на калькуляторе в Windows. Он умеет производить расчеты в двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной системах счисления. Теперь вы знаете, как он это проделывает. Если вы заходите посвятить свою жизнь программированию, то вам часто придется работать со степенями двойки. Хорошо бы было их вам поскорее выучить. Вот таблица:

Степень	Значение
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128
8	256
9	512
10	1024
11	2048
12	4096
13	8192
14	16384
15	32768
16	65536