Составление таблиц истинности. Составление функциональных схем по логическим формулам

Следовательно, одни и те же устройства компьютера могут применяться  для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных; на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.

Данные и команды в  памяти компьютера и в регистрах  процессора представляются в виде двоичных последовательностей различной структуры и длины.

Существуют различные  физические способы кодирования  двоичной информации, но чаще всего единица кодируется более высоким уровнем напряжения, чем ноль.

В логической схеме компьютера выделяют логические элементы. Логический элемент компьютера – это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую формулу.

Логическими элементами компьютеров  являются электронные схемы «И», «ИЛИ», «НЕ», «И-НЕ», «ИЛИ-НЕ» и другие (называемые также вентилями), а также триггер. С помощью этих схем можно реализовать любую логическую формулу, описывающую работу устройств компьютера.

Каждый логический элемент  имеет свое условное обозначение, которое  выражает его логическую формулу, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем

реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.

Схема «И» реализует конъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение на структурных схемах схемы «И» с двумя входами представлено на рис.

 

На выходе схемы «И»  значение «1» будет тогда и  только тогда, когда на всех входах будут

«1». Когда хотя бы на одном  входе будет «0», на выходе также  будет «0».

Операция конъюнкции на функциональных схемах обозначается знаком «&» (читается как «амперсэнд»), являющимся сокращенной записью английского слова and.

Схема «ИЛИ» реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение схемы «ИЛИ» представлено на рис.

 

Значение дизъюнкции равно  «1», если сумма значений операндов  больше или равна «1».

Когда хотя бы на одном входе  схемы «ИЛИ» будет «1», на её выходе также будет «1».

Операция дизъюнкции на функциональных схемах обозначается знаком «1».

Схема «НЕ» (инвертор) реализует операцию отрицания. Условное обозначение схемы НЕ представлено на рис.

Если на входе схемы  – «0», то на выходе будет «1». Когда  на входе – «1», на выходе будет  «0».

Схема «И-НЕ» состоит из элемента «И» и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы «И». Условное обозначение схемы «И-НЕ» представлено на рисунке (смотри рядом). Таблица истинности схемы «И-НЕ» – это таблица истинности для штриха Шеффера.

Схема «ИЛИ-НЕ» состоит из элемента «ИЛИ» и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы «ИЛИ». Условное обозначение схемы «ИЛИ-НЕ» представлено на рисунке (смотри рядом). Таблица истинности схемы «ИЛИ-НЕ» – это таблица истинности для стрелки Пирса.

Логическая схема – это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подается и с которых снимается электрический сигнал.

Каждый переключатель  имеет только два состояния: замкнутое  и разомкнутое. Переключателю Х  поставим в соответствие логическую переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае, когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель разомкнут, то х равен 0.

Две схемы называются равносильными, если через одну из них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую (при одном и том же входном сигнале).

Из двух равносильных схем более простой считается та схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических операций или переключателей.

При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи: синтез и анализ схемы.

СИНТЕЗ СХЕМЫ по заданным условиям ее работы сводится к следующим  трём этапам:

1. составлению функции  проводимости по таблице истинности, отражающей эти условия;

2. упрощению этой функции;

3. построению соответствующей  схемы.

АНАЛИЗ СХЕМЫ сводится к:

1. определению значений  её функции проводимости при  всех возможных наборах входящих в эту функцию переменных.

2. получению упрощённой формулы.

Построение логических схем

Как правило, построение и  расчет любой схемы осуществляется, начиная с ее выхода.

Допустим, задано булево выражение:

F = ØBA + BØA + CØB.

Первый этап: выполняется логическое сложение, логическую операцию ИЛИ, считая входными переменными функции ØBA , BØA и CØB:

Второй этап: к входам элемента ИЛИ подключаются логические элементы И, входными переменными которых являются уже A, B, C и их инверсии:

 

 

 

 

 

 

Третий этап: для получения инверсий ØA и ØB на соответствующих входах ставят инверторы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Данное построение основано на следующей особенности, – поскольку  значениями логических функций могут  быть только нули и единицы, то любые  логические функции могут быть представлены как аргументы других более сложных функций. Таким образом, построение логической схемы осуществляется с выхода к входу.

Индивидуальные задания  к практической работе №3

Вариант 1

1. Составить таблицу истинности  для данных операций:

а) ;  б) .

2. Составить логическую  схему по формулам:

а) ;   б) .

Вариант 2

1. Составить таблицу истинности  для данных операций:

а) ;  б) .

2. Составить логическую  схему по формулам:

а) ;   б) .

Вариант 3

1. Составить таблицу истинности  для данных операций:

а) ;  б) .

2. Составить логическую  схему по формулам:

а) ;   б) .

Вариант 4

1. Составить таблицу истинности  для данных операций:

а) ;  б) .

2. Составить логическую  схему по формулам:

а) ;   б) .

Вариант 5

1. Составить таблицу истинности  для данных операций:

а) ;  б) .

2. Составить логическую  схему по формулам:

а) ;   б) .

Вариант 6

1. Составить таблицу истинности  для данных операций:

а) ;  б) .

2. Составить логическую  схему по формулам:

а) ;  б) .

Вариант 7

1. Составить таблицу истинности  для данных операций:

а) ;  б) .

2. Составить логическую  схему по формулам:

а) ;   б) .

Вариант 8

1. Составить таблицу истинности  для данных операций:

а) ;  б) .

2. Составить логическую  схему по формулам:

а) ;  б) .

 

Вариант 9

1. Составить таблицу истинности  для данных операций:

а) ;  б) .

2. Составить логическую  схему по формулам:

а) ;  б) .

 

Вариант 10

1. Составить таблицу истинности  для данных операций:

а) ;   б) .

2. Составить логическую  схему по формулам:

а) ;  б) .

 

Вариант 11

1. Составить таблицу истинности  для данных операций:

а) ;  б) .

2. Составить логическую  схему по формулам:

а) ;   б) .

 

Вариант 12

1. Составить таблицу истинности  для данных операций:

а) ;  б) .

2. Составить логическую  схему по формулам:

а) ; б) .

 

Вариант 13

1. Составить таблицу истинности  для данных операций:

а) ;  б) .

2. Составить логическую  схему по формулам:

а) ;  б) .

 

Контрольные вопросы:

1. Основные формы абстрактного мышления.
2. Что изучает формальная логика?
3. Что изучает математическая логика?
4. Области применения математической логики.
5. Что такое высказывание?
6. Какие высказывания бывают?
7. Какие высказывания называются простыми, а какие – сложными?
8. Что не является высказыванием?
9. Основные логические операции и их свойства.
10. Приоритет логических операций.
11. Таблицы истинности. Алгоритм заполнения таблиц истинности.
12. Логические схемы. Составление схем по высказываниям.