Условные нечеткие подмножества Методы кластерного анализа

   1. ВВЕДЕНИЕ

Пожалуй, наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является

способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой

информации. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах будущих поколений представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.

    Значительное продвижение в этом направлении сделано 30 лет тому назад профессором Калифорнийского университета (Беркли) Лотфи А. Заде (Lotfi A. Zadeh). Его работа "Fuzzy Sets", появившаяся в 1965 году в журнале Information and Control, ╬ 8, заложила основы моделирования интеллектуальной деятельности человека и явилась начальным толчком к развитию новой математической теории.

     Что же предложил Заде? Во-первых, он расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале (0;1), а не только значения 0 либо 1. Такие множества были названы им нечеткими (fuzzy). Л.Заде определил также ряд операций над нечеткими множествами и предложил обобщение известных методов логического вывода modus ponens и modus

tollens. Введя затем понятие лингвистической переменной и допустив, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, Л.Заде создал аппарат для описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Дальнейшие работы профессора Л.Заде и его последователей заложили прочный фундамент новой теории и создали предпосылки для внедрения методов нечеткого

управления в инженерную практику.

Уже к 1990 году по этой проблематике опубликовано свыше 10000 работ, а число исследователей достигло 10000, причем в США, Европе и СССР по 200-300 человек, около 1000 - в Японии, 2000-3000 - в Индии и около 5000

исследователей в Китае. В последние 5-7 лет началось использование новых методов и моделей в промышленности. И хотя первые применения нечетких систем управления

состоялись в Европе, наиболее интенсивно внедряются такие системы в Японии.

Спектр приложений их широк: от управления процессом отправления и остановки

поезда метрополитена, управления грузовыми лифтами и доменной печью до стиральных машин, пылесосов и СВЧ-печей. При этом нечеткие системы позволяют

повысить качество продукции при уменьшении ресурсо и энергозатрат и обеспечивают более высокую устойчивость к воздействию мешающих факторов по сравнению с традиционными системами автоматического управления.

Другими словами, новые подходы позволяют расширить сферу приложения систем автоматизации за пределы применимости классической теории. В этом плане

любопытна точка зрения Л.Заде: "Я считаю, что излишнее стремление к точности стало оказывать действие, сводящее на нет теорию управления и теорию

систем, так как оно приводит к тому, что исследования в этой области сосредоточиваются на тех и только тех проблемах, которые поддаются точному

решению. В результате многие классы важных проблем, в которых данные, цели и ограничения являются слишком сложными или плохо определенными для того, чтобы

допустить точный математический анализ, оставались и остаются в стороне по той причине, что они не поддаются математической трактовке. Для того чтобы сказать

что-либо существенное для проблем подобного рода, мы должны отказаться от наших требований точности и допустить результаты, которые являются несколько размытыми или неопределенными".

     Смещение центра исследований нечетких систем в сторону практических приложений привело к постановке целого ряда проблем таких, как новые архитектуры компьютеров для нечетких вычислений, элементная база нечетких компьютеров и контроллеров, инструментальные средства разработки, инженерные

методы расчета и разработки нечетких систем управления и многое другое.

     Основная цель предлагаемого вниманию читателей учебного пособия – привлечь внимание студентов, аспирантов и молодых научных сотрудников к нечеткой проблематике и дать доступное введение в одну из интереснейших областей современной науки.

                                                         профессор Ю.Н.Золотухин

                                                                      май 1995г.

Математическая теория нечетких множеств, предложенная Л.Заде более четверти века назад, позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких систем существенно расширяют области

применения компьютеров. В последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и результативных областей исследований применения теории нечетких множеств. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Экспериментально

показано, что нечеткое управление дает лучшие результаты, по сравнению с получаемыми при общепринятых алгоритмах управления. Нечеткие методы помогают управлять домной и прокатным станом, автомобилем и поездом, распознавать речь и

изображения, проектировать роботов, обладающих осязанием и зрением. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности.

2. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

     Пусть E - универсальное множество, x - элемент E,

а R - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A

универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар A = {mA (х)/х}, где  mA(х) - характеристическая функция, принимающая значение 1, если x удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае.

     Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа "да-нет" относительно свойства R. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар A = {mA(х)/х}, где mA(х) - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M = [0,1]). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = {0,1}, то нечеткое подмножество A

может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Условные нечеткие подмножества.

      Пусть X и Y - универсальные множества, взаимосвязь которых

задана нечетким отношением R: (X´Y)®[0,1], т.е. для каждой

пары (x,y)ÎX´Y задано значение функции принадлежности

mR(x,y)Î[0,1].

      Пусть А - некоторое нечеткое множество, заданное на Х, т.е.

определена функция принадлежности mA(x) для всех х из

Х. Тогда нечеткое множество А и нечеткое отношение R

индуцируют в Y нечеткое подмножество B с функцией принадлежности

     mB(y) = min[mA(x), m R(x,y)] = [m A(x)L mR(x,y)].

     Обозначение: B = A·R.

  Пример:

Пусть X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2, y3, y4} и заданы нечеткое отношение

и нечеткое множество A = {0,3/x1,0,7/x2,1/x3}.

     Проведем операцию L для А и столбца y1 :

     После выполнения операции V на элементах полученного столбца имеем:

mB(y1) = 0,3V0,7V0,2 = 0,7.

     Проделав аналогичные вычисления для y2, y3, y4 имеем:

mB(y2) = 0,3

mB(y3) = 0,7

mB(y4) = 0,4.

И окончательно:

     Замечание. При заданном R, если А индуцирует В, то ближайшее четкое подмножество А индуцирует В.

     Нечеткие подмножества последовательно обуславливающие друг друга

Если

     А1 индуцирует А2 посредством R1,

     А2 индуцирует А3 посредством R2,

.............................................

     Аn-1 индуцирует Аn посредством Rn-1,

то

     А1 индуцирует Аn посредством Rn-1·Rn-2· ...·R1, где Rn-1·Rn-2· ...·R1 - определенная выше композиция нечетких отношений R1, R2 , ..., Rn.

     Пример:

Вернемся к примеру (max-min)-композиции.