Визуализация в Maple

Графическая функция dfieldplot служит для построения поля направления с помощью векторов по результатам решения дифференциальных уравнений. Фактически эта функция как бы входит в функцию DEplot и при необходимости вызывается последней. Но она может использоваться и самостоятельно.

Графическая функция phaseportrait служит для построения фазовых портретов по результатам решения одного дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений.

В целом надо отметить, что  возможности визуализации решений  дифференциальных уравнений с помощью  системы Maple весьма велики и

приведенные выше примеры  лишь частично иллюстрируют сказанное.

Однако хотелось бы предостеречь читателя от чрезмерного увлечения

красочными визуализациями решений. Порой строгое «черно-белое решение» способно лучшим образом выявить смысл решаемой задачи.

Приведем пример этого. Многие наяву или в кино видели, как большие

волны в море или океане теряют свой гармонический характер. Их гребни явно движутся быстрее, чем  впадины, в результате во времени  гребень достигает предшествующую ему впадину и может даже перегнать ее. Радиотехники давно научились использовать распространение волн напряжения и тока в нелинейных средах для получения очень коротких их перепадов. Моделирование этого сложного явления (обострение фронта волн и потеря ими устойчивости) достаточно просто осуществляется с помощью волнового дифференциального уравнения Бюргерса. Что происходит в этом случае с морскими и океанскими волнами, мы знаем — гребень волны отрывается от нее и рассыпается на каскад брызг. Этот эффект (нарушение устойчивости волны) уравнение Бюргерса не учитывает. Тем не менее, оно показывает, что в данном случае мы сталкиваемся с новым интересным явлением — появлением отрицательного параметра — крутизны фронта волн, который и может вызвать их неустойчивость.

Визуализация  решения систем неравенств

Мы уже рассмотрели  визуализацию решения системы линейных уравнений. Не менее полезной является визуализация решения системы неравенств. В пакете plots имеется специальная графическая функция inequal, которая строит все граничные линии неравенств и позволяет раскрасить разделенные ими области различными цветами. График дает весьма наглядную интерпретацию действия ряда неравенств (или равенств).

Визуализация  вычисления определенных интегралов

Часто возникает необходимость  в геометрическом представлении  в виде алгебраической суммы площадей определенных интегралов, ограниченных кривой подынтегральной функции. При этом желательно обеспечение закраски верхней и нижней (отрицательной и положительной) площадей разными цветами, например, зеленым для верхней площади и красным для нижней. Как известно, численное значение определенного интеграла есть разность этих площадей.

Поможет в этом процедура a_plot, решающая эту задачу. Параметрами процедуры являются интегрируемая функция f (x) (заданная как функция пользователя), пределы интегрирования a и b и пределы слева am и справа bm, задающие область построения графика f (x).

Визуализация  дифференциальных параметров кривых

Дифференциальные параметры  функции f (x), описывающей некоторую кривую, имеют большое значение для анализа ее особых точек и областей существования. Так, точки с нулевой первой производной задают области, где кривая нарастает (первая производная положительна) или убывает (первая производная отрицательна) с ростом аргумента x. Нули второй производной задают точки перегиба кривой. Для такого анализа удобен пакет Calculus 1, включенный в пакет расширения Student. На рис. 16 показано применение функции FunctionChart для визуализации дифференциальных параметров кривой, которая представляет собой сложную функцию. По умолчанию анализ ведется в интервале изменения x от –10 до +10. Экстремальные точки помечаются ромбиком, точки перегиба крестиком, нули кружочками, а области кривых — заливкой цветом.

Рекомендуется опробовать данную процедуру на других функциях. Поскольку процедура использует функции mimimize и maximize, она

может давать сбои при исследовании сложных функций, содержащих специальные математические функции или особенности. Данная процедура дает хорошие результаты при анализе функций, представленных полиномами. Функция FunctionChart может использоваться с многочисленными опциями, существенно влияющими на вид рисунка. Пример анализа функции sin(x) / x показан на рис. 17.

Рис. 16. Анализ и визуализация сложной функции, заданной пользователем.

Рис. 17. Визуализация функции sin(x) / x.

Список литературы

1. Дьяконов В. П. Компьютерная математика. Теория и практика.— М.: Нолидж, 2001.
2. Дьяконов В. П. Maple V— мощь и интеллект компьютерной алгебры! // Монитор Аспект, 1993.— №2.
3. Прохоров Г. В., Леденев М. А., Колбеев В. В. Пакет символьных вычислений Maple V. — М.: Петит, 1997.
4. Манзон Б. М. Maple V Power Edition.— М.: Филинъ,1998.
5. Дьяконов В. П. Математическая система Maple V R3/R4/R5.— М.: Солон, 1998.
6. Дьяконов В. П. Maple 6. Учебный курс.— СПб.: Питер, 2001.
7. Дьяконов В. П. Maple 7. Учебный курс.— СПб.: Питер, 2002.
8. Матросов А. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики.— СПб.: БХВПетербург, 2001.
9. Аладьев В. З., Шишаков М. Л. Автоматизированное рабочее место математика.— М.: Лаборатория базовых знаний, 2000.
10. Аладьев В. З., Богдявичюс М. А. Maple 6: Решение математических, статистических и физико-технических задач.— М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.